Deterministisches Chaos: Difference between revisions
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65px|Kein GFDL | Der Artikel Deterministisches Chaos basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit
( autonom):
Seltsamer ( chaotischer) Attraktor
komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.
Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:
quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen
wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-
niedrigdimensionaler Phasenraum grade. ( Statistisches Ensemble)
d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
für
für
- Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum):
diskrete Frequenzen
b r e i t e s F r e q u e n z b a n d
Instabilität der Bewegung bei kleinen
Störungen der Anfangsbedingungen
typische universelle
Bifurkationszenarien
Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.
Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:
Bahnstabilität / Orbitale Stabilität
bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer
- Röhre um
Aymptotisch bahnstabil:
Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t-> unendlich
Ljapunov- stabil
für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)
Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve
Dabei:
Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren
Formale Lösung:
Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um
, also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten
Nebenbemerkung: Sei
der führende ( größte) Ljapunov- Exponent
Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit
.
Für <0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft
>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)
Für den chaotischen Attraktor im gilt:
Auf dem Attraktor: auf dem Attraktor: chaotische Bewegung
- Bifurkationspunkte
- Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell).
Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: