Drehimpuls und Bewegungsgleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Drehimpuls und Bewegungsgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Drehimpuls

1. diskret:

$\begin{array}{rl}& \overline{l}=\sum _{i=1}^n{m}_i{\overline{r}}_i\times {\dot{\overline{r}}}_i=\sum _{i=1}^n{m}_i({\overline{r}}_S+{\overline{x}}^{(i)})\times (\overline{V}+\overline{\omega }\times {\overline{x}}^{(i)})\\ & \overline{l}=\sum _{i=1}^n{m}_i({\overline{r}}_S\times \overline{V})+\sum _{i=1}^n{m}_i{\overline{x}}^{(i)}\times \overline{V}+{\overline{r}}_S\times (\overline{\omega }\times \sum _i{m}_i{\overline{x}}^{(i)})+\sum _i{m}_i{\overline{x}}^{(i)}\times (\overline{\omega }\times {\overline{x}}^{(i)})\\ & \sum _{i=1}^n{m}_i{\overline{x}}^{(i)}\times \overline{V}=\sum _{i=1}^n{m}_i\left({\overline{x}}^{(i)}\right)=0\\ & \overline{l}=\sum _{i=1}^n{m}_i({\overline{r}}_S\times \overline{V})+\sum _i{m}_i{\overline{x}}^{(i)}\times (\overline{\omega }\times {\overline{x}}^{(i)})=M({\overline{r}}_S\times \overline{V})+\sum _i{m}_i{\overline{x}}^{(i)}\times (\overline{\omega }\times {\overline{x}}^{(i)})\\ \end{array}$ Mit $M({\overline{r}}_S\times \overline{V})$

als Schwerpunktsdrehimpuls

$\sum _i{m}_i{\overline{x}}^{(i)}\times (\overline{\omega }\times {\overline{x}}^{(i)})$

als Relativdrehimpuls

1. kontinuierliche Situation

$\begin{array}{rl}& \overline{l}={\overline{r}}_s\times M\overline{V}+\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}x\rho (\overline{x})\overline{x}\times (\overline{\omega }\times \overline{x})\\ & \overline{L}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}x\rho (\overline{x})\overline{x}\times (\overline{\omega }\times \overline{x})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}x\rho (\overline{x})[x^2\overline{\omega }-(\overline{x}\cdot \overline{\omega })\overline{x}]\\ \end{array}$

Also:

$\overline{L}=\overline{\overline{J}}\overline{\omega }$

Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:

$L_m=\sum _{n=1}^3\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}x\rho (\overline{x})[x^2{\delta }_{mn}-x_m{x}_n]{\omega }_n=\sum _{n=1}^3{J}_{mn}{\omega }_n$

Nebenbemerkung:

Im Allgemeinen ist $\overline{L}$ nicht parallel zu $\overline{\omega }$ , nur falls $\overline{\omega }$ in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt !

Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls

$\frac{d}{dt}\overline{l}=\sum _i{\overline{r}}_i\times {\overline{F}}_i$ . Dabei sind ${\overline{F}}_i$ äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft $\overline{F}({\overline{r}}_S)=\sum _i{\overline{F}}_i$ soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:

$\sum _i\frac{{\overline{F}}_i}{m_i}=\frac{\overline{F}({\overline{r}}_S)}{M}$

Somit:

$\frac{d}{dt}\overline{l}=\sum _i{m}_i{\overline{r}}_i\times \frac{{\overline{F}}_i}{m_i}={\overline{r}}_S\times \overline{F}({\overline{r}}_S)$

Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:

$M{\ddot{\overline{r}}}_S=\overline{F}({\overline{r}}_S)$ (Newton)

$\frac{d}{dt}\overline{l}=\frac{d}{dt}({\overline{r}}_s\times M\overline{V}+\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}x\rho (\overline{x})\overline{x}\times (\overline{\omega }\times \overline{x}))=\frac{d}{dt}({\overline{r}}_s\times M{\dot{\overline{r}}}_s)+\frac{d}{dt}\overline{L}=M{\dot{\overline{r}}}_s\times {\dot{\overline{r}}}_s+{\overline{r}}_S\times M{\ddot{\overline{r}}}_S+\frac{d}{dt}\overline{L}$

$\begin{array}{rl}& M{\dot{\overline{r}}}_s\times {\dot{\overline{r}}}_s=0\\ & {\overline{r}}_S\times M{\ddot{\overline{r}}}_S={\overline{r}}_S\times \overline{F}({\overline{r}}_S)\\ \end{array}$

$\frac{d}{dt}\overline{l}={\overline{r}}_S\times \overline{F}({\overline{r}}_S)+\frac{d}{dt}\overline{L}$

Gleichzeitig gilt: $\frac{d}{dt}\overline{l}=\sum _i{m}_i{\overline{r}}_i\times \frac{{\overline{F}}_i}{m_i}={\overline{r}}_S\times \overline{F}({\overline{r}}_S)$

Somit:

$\frac{d}{dt}\overline{L}=0$

Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.

Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen .

Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System $\overline{K}$ erfolgen:

Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung $\left(\frac{d}{dt}\right)\stackrel{´}{}$ , die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.

Also:

$\left(\frac{d}{dt}\right)={\left(\frac{d}{dt}\right)}^{\stackrel{´}{}}+\overline{\omega }\times$

Somit gilt für das körperfeste System $\overline{K}$

$\begin{array}{rl}& \dot{\overline{L}}+\overline{\omega }\times \overline{L}=0\\ & {\left(\frac{d}{dt}\right)}^{\stackrel{´}{}}\overline{L}+\overline{\omega }\times \overline{L}=0\\ \end{array}$

Mit $\overline{L}=\overline{\overline{J}}\overline{\omega }$ folgt im körperfesten System,wo gilt: $\dot{\overline{\overline{J}}}$ =0

$\overline{\overline{J}}\dot{\overline{\omega }}+\overline{\omega }\times \overline{\overline{J}}\overline{\omega }=0$

Dies ist eine nichtlineare DGL in $\overline{\omega }$

Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls $\overline{\overline{J}}$ diagonal ( Hauptträgheitsachsensystem):

$\begin{array}{rl}& J_1{\dot{\omega }}_1=(J_2-J_3){\omega }_2{\omega }_3\\ & J_2{\dot{\omega }}_2=(J_3-J_1){\omega }_3{\omega }_1\\ & J_3{\dot{\omega }}_3=(J_1-J_2){\omega }_1{\omega }_2\\ \end{array}$

Beispiel: Symmetrischer Kreisel: $J_1=J_2\equiv J\ne J_3$

${\dot{\omega }}_3=0$ , also ${\omega }_3=const$ im mitrotierenden System

$\begin{array}{rl}& J{\dot{\omega }}_1=(J_{}-J_3){\omega }_2{\omega }_3\\ & {\ddot{\omega }}_1=\frac{(J_{}-J_3)}{J}{\dot{\omega }}_2{\omega }_3=-{\left[\frac{(J_{}-J_3)}{J}{\omega }_3\right]}^2{\omega }_1\\ \end{array}$

Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten

${\omega }_{\mathrm{\perp }},{\varphi }_0$ und der Zusammenfassung ${\omega }_0:=\frac{(J-J_3)}{J}{\omega }_3$

folgt:

${\omega }_1={\omega }_{\mathrm{\perp }}\cos ({\omega }_{0}t+{\varphi }_0)$

Dies kann in

$J{\dot{\omega }}_1=(J_{}-J_3){\omega }_2{\omega }_3$ eingesetzt werden und es ergibt sich:

${\omega }_2=-{\omega }_{\mathrm{\perp }}\sin ({\omega }_{0}t+{\varphi }_0)$

Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:

Dabei ist x3 die Figurenachse ( Achse durch die Drehachse von J3)

Es gilt:

${\omega }_1{(t)}^2+{\omega }_2{(t)}^2={{\omega }_{\mathrm{\perp }}}^2=const$

${\omega }_1{(t)}^2+{\omega }_2{(t)}^2+{\omega }_3{(t)}^2={{\omega }_{\mathrm{\perp }}}^2+{\omega }_3{(t)}^2=const$

Das heißt

$\overline{\omega }$ und damit auch $\overline{L}$ mit $L_i=J_i{\omega }_i$

rotieren um die Figurenachse

$\overline{f}\left|\right|x_3$

Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen, so gilt mit $\frac{d}{dt}\overline{L}=0\Rightarrow \overline{L}fest$

$\overline{\omega }$ und $\overline{f}$ präzedieren um die raumfeste Achse $\overline{L}$ . Dabei müssen $\overline{\omega }$ , $\overline{f}$ und $\overline{L}$ stets in einer Ebene liegen.

Anwendung:

Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:

$\begin{array}{rl}& \frac{(J_{}-J_3)}{J}\approx \frac{1}{300}\\ & \frac{2\pi }{{\omega }_3}=1Tag\\ \end{array}$

Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:

$T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{2\pi J}{{\omega }_3(J-J_3)}=\frac{J}{(J-J_3)}\cdot 1Tag=300Tage$

Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse! rac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>