Drehimpuls und Bewegungsgleichungen: Difference between revisions

Revision as of 23:45, 28 August 2010

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Drehimpuls und Bewegungsgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=6|Abschnitt=3}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__

Drehimpuls

diskret:

$\begin{aligned} \bar{l} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\bar{r}}_{i} \times {\dot{\bar{r}}}_{i} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} ({\bar{r}}_{S} + {\bar{x}}^{(i)}) \times (\bar{V} + \bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)}) \\ \bar{l} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} ({\bar{r}}_{S} \times \bar{V}) + \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times \bar{V} + {\bar{r}}_{S} \times (\bar{ω} \times \sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)}) + \sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times (\bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)}) \\ \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times \bar{V} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} ({\bar{x}}^{(i)}) = 0 \\ \bar{l} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} ({\bar{r}}_{S} \times \bar{V}) + \sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times (\bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)}) = M ({\bar{r}}_{S} \times \bar{V}) + \sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times (\bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)}) \end{aligned}$

Mit

$M ({\bar{r}}_{S} \times \bar{V})$

als Schwerpunktsdrehimpuls

$\sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times (\bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)})$

als Relativdrehimpuls

kontinuierliche Situation

$\begin{aligned} \bar{l} = {\bar{r}}_{s} \times M \bar{V} + \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) \bar{x} \times (\bar{ω} \times \bar{x}) \\ \bar{L} = \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) \bar{x} \times (\bar{ω} \times \bar{x}) = \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) [x^{2} \bar{ω} - (\bar{x} \cdot \bar{ω}) \bar{x}] \end{aligned}$

Also:

$\bar{L} = \bar{\bar{J}} \bar{ω}$

Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:

$L_{m} = \sum_{n = 1}^{3} \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) [x^{2} δ_{m n} - x_{m} x_{n}] ω_{n} = \sum_{n = 1}^{3} J_{m n} ω_{n}$

Nebenbemerkung:

Im Allgemeinen ist $\bar{L}$ nicht parallel zu $\bar{ω}$ , nur falls $\bar{ω}$ in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt !

Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls

$\frac{d}{d t} \bar{l} = \sum_{i} {\bar{r}}_{i} \times {\bar{F}}_{i}$ . Dabei sind ${\bar{F}}_{i}$ äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft $\bar{F} ({\bar{r}}_{S}) = \sum_{i} {\bar{F}}_{i}$ soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:

$\sum_{i} \frac{{\bar{F}}_{i}}{m_{i}} = \frac{\bar{F} ({\bar{r}}_{S})}{M}$

Somit:

$\frac{d}{d t} \bar{l} = \sum_{i} m_{i} {\bar{r}}_{i} \times \frac{{\bar{F}}_{i}}{m_{i}} = {\bar{r}}_{S} \times \bar{F} ({\bar{r}}_{S})$

Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:

$M {\ddot{\bar{r}}}_{S} = \bar{F} ({\bar{r}}_{S})$ (Newton)

$\frac{d}{d t} \bar{l} = \frac{d}{d t} ({\bar{r}}_{s} \times M \bar{V} + \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) \bar{x} \times (\bar{ω} \times \bar{x})) = \frac{d}{d t} ({\bar{r}}_{s} \times M {\dot{\bar{r}}}_{s}) + \frac{d}{d t} \bar{L} = M {\dot{\bar{r}}}_{s} \times {\dot{\bar{r}}}_{s} + {\bar{r}}_{S} \times M {\ddot{\bar{r}}}_{S} + \frac{d}{d t} \bar{L}$

$\begin{aligned} M {\dot{\bar{r}}}_{s} \times {\dot{\bar{r}}}_{s} = 0 \\ {\bar{r}}_{S} \times M {\ddot{\bar{r}}}_{S} = {\bar{r}}_{S} \times \bar{F} ({\bar{r}}_{S}) \end{aligned}$

$\frac{d}{d t} \bar{l} = {\bar{r}}_{S} \times \bar{F} ({\bar{r}}_{S}) + \frac{d}{d t} \bar{L}$

Gleichzeitig gilt: $\frac{d}{d t} \bar{l} = \sum_{i} m_{i} {\bar{r}}_{i} \times \frac{{\bar{F}}_{i}}{m_{i}} = {\bar{r}}_{S} \times \bar{F} ({\bar{r}}_{S})$

Somit:

$\frac{d}{d t} \bar{L} = 0$

Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.

Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen .

Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System $\bar{K}$ erfolgen:

Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung $(\frac{d}{d t}) \overset{´}{}$ , die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.

Also:

$(\frac{d}{d t}) = {(\frac{d}{d t})}^{\overset{´}{}} + \bar{ω} \times$

Somit gilt für das körperfeste System $\bar{K}$

$\begin{aligned} \dot{\bar{L}} + \bar{ω} \times \bar{L} = 0 \\ {(\frac{d}{d t})}^{\overset{´}{}} \bar{L} + \bar{ω} \times \bar{L} = 0 \end{aligned}$

Mit $\bar{L} = \bar{\bar{J}} \bar{ω}$ folgt im körperfesten System,wo gilt: $\dot{\bar{\bar{J}}}$ =0

$\bar{\bar{J}} \dot{\bar{ω}} + \bar{ω} \times \bar{\bar{J}} \bar{ω} = 0$

Dies ist eine nichtlineare DGL in $\bar{ω}$

Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls $\bar{\bar{J}}$ diagonal ( Hauptträgheitsachsensystem):

$\begin{aligned} J_{1} {\dot{ω}}_{1} = (J_{2} - J_{3}) ω_{2} ω_{3} \\ J_{2} {\dot{ω}}_{2} = (J_{3} - J_{1}) ω_{3} ω_{1} \\ J_{3} {\dot{ω}}_{3} = (J_{1} - J_{2}) ω_{1} ω_{2} \end{aligned}$

Beispiel: Symmetrischer Kreisel: $J_{1} = J_{2} \equiv J \neq J_{3}$

${\dot{ω}}_{3} = 0$ , also $ω_{3} = c o n s t$ im mitrotierenden System

$\begin{aligned} J {\dot{ω}}_{1} = (J_{} - J_{3}) ω_{2} ω_{3} \\ {\ddot{ω}}_{1} = \frac{(J_{} - J_{3})}{J} {\dot{ω}}_{2} ω_{3} = - {[\frac{(J_{} - J_{3})}{J} ω_{3}]}^{2} ω_{1} \end{aligned}$

Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten

$ω_{⊥}, ϕ_{0}$ und der Zusammenfassung $ω_{0} : = \frac{(J - J_{3})}{J} ω_{3}$

folgt:

$ω_{1} = ω_{⊥} \cos (ω_{0} t + ϕ_{0})$

Dies kann in

$J {\dot{ω}}_{1} = (J_{} - J_{3}) ω_{2} ω_{3}$ eingesetzt werden und es ergibt sich:

$ω_{2} = - ω_{⊥} \sin (ω_{0} t + ϕ_{0})$

Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:

Dabei ist x3 die Figurenachse ( Achse durch die Drehachse von J3)

Es gilt:

$ω_{1} {(t)}^{2} + ω_{2} {(t)}^{2} = {ω_{⊥}}^{2} = c o n s t$

$ω_{1} {(t)}^{2} + ω_{2} {(t)}^{2} + ω_{3} {(t)}^{2} = {ω_{⊥}}^{2} + ω_{3} {(t)}^{2} = c o n s t$

Das heißt

$\bar{ω}$ und damit auch $\bar{L}$ mit $L_{i} = J_{i} ω_{i}$

rotieren um die Figurenachse

$\bar{f} | | x_{3}$

Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen, so gilt mit $\frac{d}{d t} \bar{L} = 0 \Rightarrow \bar{L} f e s t$

$\bar{ω}$ und $\bar{f}$ präzedieren um die raumfeste Achse $\bar{L}$ . Dabei müssen $\bar{ω}$ , $\bar{f}$ und $\bar{L}$ stets in einer Ebene liegen.

Anwendung:

Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:

$\begin{aligned} \frac{(J_{} - J_{3})}{J} \approx \frac{1}{300} \\ \frac{2 π}{ω_{3}} = 1 T a g \end{aligned}$

Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:

$T = \frac{2 π}{ω_{0}} = \frac{2 π J}{ω_{3} (J - J_{3})} = \frac{J}{(J - J_{3})} \cdot 1 T a g = 300 T a g e$

Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse! rac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>

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 <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|6|3}}</noinclude>
-Betrachten wir eine infinitesimale Verrückung
+====Drehimpuls====
+# diskret:
 <math>\begin{align}
-   & d\bar{r}=d{{{\bar{r}}}_{S}}+d\bar{x}=d{{{\bar{r}}}_{S}}+d\bar{\phi }\times \bar{x} \\
+   & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}+{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)\times \left( \bar{V}+\bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
-  & d\bar{\phi }:=\bar{n}d\phi  \\
+ & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}+{{{\bar{r}}}_{S}}\times \left( \bar{\omega }\times \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
+  & \sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=0 \\
+ & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
 \end{align}</math>
-In Kapitel 3.3 haben wir bereits mit infinitesimalen Drehungen gearbeitet.  Dort handelte es sich um passive Drehungen. Hier haben wir es nun mit aktiven Drehungen zu tun -> anderes Vorzeichen.
+Mit
-<math>\bar{V}:=\frac{d{{{\bar{r}}}_{s}}}{dt}</math> Schwerpunktsgeschwindigkeit
+<math>M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)</math>
+ als Schwerpunktsdrehimpuls
-<math>\bar{\omega }:=\frac{d\bar{\phi }}{dt}</math> Winkelgeschwindigkeit
+<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{\bar{x}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)</math>
+ als Relativdrehimpuls
-Damit ergibt sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Aufpunktes des starren Körpers:
+# kontinuierliche Situation
-<math>\bar{v}=\bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x}</math>
+<math>\begin{align}
+  & \bar{l}={{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \\
+ & \bar{L}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}\bar{\omega }-\left( \bar{x}\cdot \bar{\omega } \right)\bar{x} \right]} \\
+\end{align}</math>
-Nebenbemerkungen:
+Also:
-<math>\bar{\omega }</math> hängt von der Wahl von S ab.
+<math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>
-Falls S der Schwerpunkt ist, so gilt:
+Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:
-<math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}}=0</math>
- nach Def. A) des starren Körpers
+<math>{{L}_{m}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]{{\omega }_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{J}_{mn}}{{\omega }_{n}}</math>
-<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\bar{x}\rho (\bar{x})}=0</math>
- Definition B) -> Schwerpunktsvektor im körperfesten System
-<math>\bar{K}</math>
-:
-====Kinetische Energie:====
+Nebenbemerkung:
-#<math>\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{v}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( V+\omega \times {{x}^{(i)}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{V}^{2}}+V\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( \omega \times {{x}^{(i)}} \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( \omega \times {{x}^{(i)}} \right)}^{2}}</math>
+Im Allgemeinen ist
+<math>\bar{L}</math>
+nicht parallel zu
+<math>\bar{\omega }</math>
+, nur falls
+<math>\bar{\omega }</math>
+in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt !
-Mit den Beziehungen
+====Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls====
-<math>\begin{align}
-  & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}=M \\
- & \bar{V}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=\left( \bar{V}\times \bar{\omega } \right)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}=0,da\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}=0 \\
- & {{\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha ={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}(1-{{\cos }^{2}}\alpha )={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}-{{\left( \bar{\omega }\cdot \bar{x} \right)}^{2}}=\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]}{{\omega }^{n}} \\
-\end{align}</math>
-Somit folgt:
-<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{v}}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}</math>
-mit dem Trägheitstensor
-<math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ {{{{x}}}^{(i)}}^{2}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math>
+<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}}}</math>
+. Dabei sind
+<math>{{\bar{F}}_{i}}</math>
+äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft
+<math>\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{F}}_{i}}</math>
+soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:
-Der Trägheitstensor ist also durch die Massenverteilung bestimmt
+<math>\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{\bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}{M}</math>
-Im Sinne der Definition B) dagegen gilt:
+Somit:
-<math>\begin{align}
-  & T=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{\left( \bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{V}^{2}}+\left( \bar{V}\times \bar{\omega } \right)\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}}} \\
- & mit\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}=0} \\
-\end{align}</math>
+<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math>
-und dem Trägheitstensor
+Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:
-<math>{{J}_{mn}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]}</math>
+<math>M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}=\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})</math>
+(Newton)
-Also gilt die Zerlegung der kinetischen Energie:
+<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \right)=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}} \right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}\times {{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+\frac{d}{dt}\bar{L}</math>
-<math>\begin{align}
-  & T=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{\left( \bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}} \\
- &  \\
-\end{align}</math>
 <math>\begin{align}
-   & T=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\bar{\omega }\bar{\bar{J}}\bar{\omega } \\
+   & M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}=0 \\
- &  \\
+ & {{{\bar{r}}}_{S}}\times M{{{\ddot{\bar{r}}}}_{S}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}}) \\
 \end{align}</math>
-Dabei ist
+<math>\frac{d}{dt}\bar{l}={{\bar{r}}_{S}}\times \bar{F}({{\bar{r}}_{S}})+\frac{d}{dt}\bar{L}</math>
-<math>{{T}_{trans}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}</math>
-kinetische Energie der translatorischen Bewegung
+Gleichzeitig gilt:
+<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math>
-<math>{{T}_{rot}}=\frac{1}{2}\bar{\omega }\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>
-kinetische Energie der Rotationsbewegung
-====Eigenschaften des Trägheitstensors====
+Somit:
-<math>\bar{\bar{J}}</math>
+<math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0</math>
-ist ein Tensor zweiter Stufe. Das heißt unter Drehungen
+ Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.
-<math>R\in SO(3)</math>
-transformiert er sich wie folgt:
-R kennzeichnet dabei die Drehmatrizen im
+Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen .
-<math>{{R}^{3}}</math>
-mit Orthogonalitätseigenschaft:
-<math>R{{R}^{T}}=1,\det R=1</math>
+Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System
+<math>\bar{K}</math>
+erfolgen:
-Nun , er transformiert sich unter Drehungen wie folgt:
+Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung
+<math>\left( \frac{d}{dt} \right)\acute{\ }</math>
+, die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.
-Wenn
+Also:
-<math>{{x}_{m}}\to {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math>
-Dann:
+<math>\left( \frac{d}{dt} \right)={{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}+\bar{\omega }\times </math>
-<math>{{J}_{mn}}\to {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math>
-Kompakt:
+Somit gilt für das körperfeste System
+<math>\bar{K}</math>
+:
 <math>\begin{align}
-   & \bar{x}\to \bar{x}\acute{\ }=R\bar{x} \\
+   & \dot{\bar{L}}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\
-  & \bar{\bar{J}}\to \bar{\bar{J}}\acute{\ }=R\bar{\bar{J}}{{R}^{T}} \\
+  & {{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}\bar{L}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\
 \end{align}</math>
-Dabei bemerken wir: Matrizen sind einfach Zahlenschemata mit Zeilen und Spalten. Aber erst das Transformationsverhalten definiert einen Tenor ( Im Gegensatz zu einer Matrix).
+'''Mit '''
+<math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>
+'''folgt '''im körperfesten System,wo gilt:
+<math>\dot{\bar{\bar{J}}}</math>
+=0
-Tensor 1. Stufe:
-<math>{{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math>
-= Vektor
-Tensor 2. Stufe
+<math>\bar{\bar{J}}\dot{\bar{\omega }}+\bar{\omega }\times \bar{\bar{J}}\bar{\omega }=0</math>
-<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math>
-Tensor n-ter STufe:
+Dies ist eine nichtlineare DGL in
-<math>{{A}_{mn....x}}\acute{\  }=\sum\limits_{l,s,...,t=1}^{3}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}...{{R}_{xt}}{{A}_{ls...t}}}</math>
+<math>\bar{\omega }</math>
- wobei links n Indices stehen und rechts n mal die Drehmatrix angewendet wird ( und jeweils von 1-3 summiert !)
+:
-====Beweis des Transformationsverhaltens für====
+Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls
+<math>\bar{\bar{J}}</math>
-<math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math>
+diagonal ( Hauptträgheitsachsensystem):
-Zunächst zum Skalarprodukt:
 <math>\begin{align}
-   & {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}} \\
+   & {{J}_{1}}{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{2}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
- & \Rightarrow \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{\acute{\ }}^{2}}}=\sum\limits_{t}{\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{tl}}{{R}_{ts}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=}\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{\left( \sum\limits_{t}{{}}{{R}_{lt}}^{T}{{R}_{ts}} \right){{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{\delta }_{ls}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{{{x}_{l}}^{2}}}}} \\
+ & {{J}_{2}}{{{\dot{\omega }}}_{2}}=\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\
+ & {{J}_{3}}{{{\dot{\omega }}}_{3}}=\left( {{J}_{1}}-{{J}_{2}} \right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}} \\
 \end{align}</math>
-das Skalarprodukt ist also invariant
+'''Beispiel:  Symmetrischer Kreisel: '''
+<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}\equiv J\ne {{J}_{3}}</math>
-Aber auch das Delta- Element ist invariant:
-<math>\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{\delta  }_{ls}}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{nl}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{\ln }}^{T}={{\delta }_{mn}}}</math>
-Kompakt:
-<math>R1{{R}^{T}}=R{{R}^{T}}=1</math>
-Also:
+<math>{{\dot{\omega }}_{3}}=0</math>
+, also
+<math>{{\omega }_{3}}=const</math>
+im mitrotierenden System
 <math>\begin{align}
-   & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{ls}}-{{x}_{l}}^{(i)}{{x}_{s}}^{(i)} \right]} \\
+   & J{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
- & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ } \right] \\
+ & {{{\ddot{\omega }}}_{1}}=\frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{{\dot{\omega }}}_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{\left[ \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}} \right]}^{2}}{{\omega }_{1}} \\
 \end{align}</math>
-Der Trägheitstensor J´ in den neuen Koordinaten ist also gleich dem alten, was Transformationsverhalten eines Tensors zweiter Stufe belegt:
+Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten
-Dabei gilt:
+<math>{{\omega }_{\bot }},{{\phi }_{0}}</math>
+und der Zusammenfassung
+<math>{{\omega }_{0}}:=\frac{\left( J-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}}</math>
-<math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math>
-ist der invariante Anteil
-<math>{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ }</math>
-hängt von der Wahl des körperfesten koordinatensystems ab.
-<u>'''Weitere Eigenschaften'''</u>
-#
-<math>{{J}_{mn}}</math>
-enthält einen kugelsymmetrischen, also rotationsinvarianten Anteil
-<math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math>
-#
-<math>{{J}_{mn}}</math>
- ist linear in der Massendichte. Der Trägheitstensor ist also additiv beim Zusammenfügen zweier starrer Körper
-#
-<math>{{J}_{mn}}</math>
-ist ein reeller, symmetrischer Tensor, dargestellt durch die reelle, symmetrisch Matrix
-<math>\bar{\bar{J}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left( \begin{matrix}
-   {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} & -{{x}_{1}}{{x}_{2}} & -{{x}_{1}}{{x}_{3}}  \\
-   -{{x}_{1}}{{x}_{2}} & {{x}_{3}}^{2}+{{x}_{1}}^{2} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}}  \\
-   -{{x}_{1}}{{x}_{3}} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}} & {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}  \\
-\end{matrix} \right)}</math>
-Der Tensor ist diagonalisierbar durch die orthogonale Transformation
-<math>{{R}_{0}}\in SO(3):</math>
-<math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }={{R}_{0}}\bar{\bar{J}}{{R}_{0}}^{T}=\left( \begin{matrix}
-   {{J}_{1}} & 0 & 0  \\
-& {{J}_{2}} & 0  \\
-& 0 & {{J}_{3}}  \\
-\end{matrix} \right)</math>
+folgt:
-Das heißt: Es existiert ein gedrehtes, körperfestes Koordinatensystem (y1,y2,y3)  in Richtung der '''Hauptträgheitsachsen:'''
+<math>{{\omega }_{1}}={{\omega }_{\bot }}\cos \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math>
-<math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}y\rho (\bar{y})\left( \begin{matrix}
-   {{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2} & 0 & 0  \\
-& {{y}_{3}}^{2}+{{y}_{1}}^{2} & 0  \\
-& 0 & {{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}  \\
-\end{matrix} \right)}</math>
+Dies kann in
-Also:
-<math>{{J}_{i}}\ge 0</math>
-i=1,..,3, Matrix positiv semidefinit.
-Die Diagonalisierung führt auf das Eigenwertproblem:
+<math>J{{\dot{\omega }}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}</math>
+eingesetzt werden und es ergibt sich:
-<math>\bar{\bar{J}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}={{J}_{i}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
+<math>{{\omega }_{2}}=-{{\omega }_{\bot }}\sin \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math>
-mit Eigenvektoren
-<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
-und Eigenwerten Ji. Ein homogenes, lineares Gleichungssystem
-Ziel ist es nun, die Hauptachsenrichtung
-<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
-so zu suchen, dass
-<math>\bar{\bar{J}}</math>
-diagonal wird:
+Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:
-<math>\Leftrightarrow \det \left( \bar{\bar{J}}-{{J}_{i}}1 \right)=0</math>
+Dabei ist x3 die Figurenachse ( Achse durch die Drehachse von J3)
-Somit ergeben sich 3 reelle, positiv semidefinite Eigenwerte Ji
-====Das Trägheitsmoment====
-<u>'''Trägheitsmoment bezüglich Achse '''</u>
-<math>\bar{n}:J(\bar{n}):=\bar{n}\bar{\bar{J}}\bar{n}</math>
- Diese quadratische Form ist positiv semidefinit.
-<math>\bar{\omega }=\bar{n}\omega \Rightarrow T=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}J(\bar{n})</math>
-<u>'''Trägheitsellipsoid'''</u>
-Die Normierung des Trägheitsmomentes liefert eine Ellipsoidgleichung:
-<math>\bar{n}\bar{\bar{J}}\bar{n}=1</math>
-.
-Die Lage des Ellipsoids sind ist durch die Eigenvektoren
-<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
-, die Maße folgen aus den Ji derart, dass die zu
-<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
-gehörige Achse die Länge
-<math>\frac{1}{\sqrt{{{J}_{i}}}}</math>
-trägt:
-# Die Ji heißen Hauptträgheitsmomente ( Trägheitsmomente entlang der Eigenvektoren= Hauptachsen)
 Es gilt:
-<math>{{J}_{1}}\ne {{J}_{2}}\ne {{J}_{3}}</math>
+<math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}=const</math>
- unsymmetrischer Kreisel
-<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}\ne {{J}_{3}}</math>
- symmetrischer Kreisel ( axialsymmetrisch)
-<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}={{J}_{3}}</math>
-kugelsymmetrischer Kreisel ( nicht notwendigerweise Kugelform)
-====Satz von Steiner====
+<math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}=const</math>
-Sei''' '''
-<math>{{J}_{mn}}</math>
- der Trägheitstensor in einem körperfesten System
-<math>\bar{K}</math>
-, welches im Schwerpunkt S zentriert ist. Sei nun
-<math>\bar{K}\acute{\ }</math>
-ein zu
-<math>\bar{K}</math>
- achsparalleles, um den Vektor
-<math>\bar{a}</math>
-verschobenes System. Dann ist
-<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }</math>
-in
-<math>\bar{K}\acute{\ }</math>
- gegeben durch
+Das heißt
-<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }={{J}_{mn}}+M\left[ {{a}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right]</math>
-Die beiden Koordinatensystem dürfen dabei nur durch die Translation um
-<math>\bar{a}</math>
-unterschiedlich sein. Wesentlich ist vor allem, dass bei roationsvarianten Systemen keine Verdrehung der Achsen erfolgt !
-Beweis:
-<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\acute{\ }}\rho \acute{\ }(\bar{x}\acute{\ })\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}\acute{\ }{{x}_{n}}\acute{\ } \right]</math>
-Bei uns:
-<math>\bar{x}\acute{\ }=\bar{x}+\bar{a}</math>
-<math>\begin{align}
-  & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{\left( {{x}_{t}}+{{a}_{t}} \right)}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-\left( {{x}_{m}}+{{a}_{m}} \right)\left( {{x}_{n}}+{{a}_{n}} \right) \right] \\
- & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left[ {{\left( {{x}_{t}} \right)}^{2}}+2\left( {{a}_{t}}{{x}_{t}} \right)+{{a}_{t}}^{2} \right]} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}}-{{x}_{m}}{{a}_{n}}-{{x}_{n}}{{a}_{m}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\
- & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\sum\limits_{t}{\left( {{a}_{t}}{{x}_{t}} \right)}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left( {{x}_{m}}{{a}_{n}}+{{x}_{n}}{{a}_{m}} \right)=0\quad wegen\ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\bar{x}=0 \\
-\end{align}</math>
-Somit:
-<math>\begin{align}
-  & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left( {{x}_{t}}^{2}+{{a}_{t}}^{2} \right)} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\
- & {{J}_{mn}}\acute{\ }={{J}_{mn}}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left( {{a}_{t}}^{2} \right)} \right){{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right]={{J}_{mn}}+M\left[ {{a}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\
-\end{align}</math>
-'''Speziell im Hauptachsensystem:'''
-keine Außerdiagonalelemente: m=n:=i
+<math>\bar{\omega }</math>
+und  damit auch
+<math>\bar{L}</math>
+mit
+<math>{{L}_{i}}={{J}_{i}}{{\omega }_{i}}</math>
+ rotieren um die Figurenachse
+<math>\bar{f}||{{x}_{3}}</math>
-<math>{{J}_{i}}\acute{\ }={{J}_{i}}+M({{a}^{2}}-{{a}_{i}}^{2})\quad i=1,..,3</math>
+Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit '''raumfesten '''Achsen, so gilt mit
+<math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0\Rightarrow \bar{L}\ fest</math>
-mit
-<math>({{a}^{2}}-{{a}_{i}}^{2})</math>
-als Quadrat des Abstandes der beiden Drehachsen.
-Dabei wird bei einer Verschiebung um
-<math>\bar{a}</math>
-nur der Abstand der Drehachsen berücksichtigt. das heißt, die Komponente der Verschiebung in Richtung der Drehachse wird wieder quadratisch subtrahiert:
+<math>\bar{\omega }</math>
+und
+<math>\bar{f}</math>
+präzedieren um die raumfeste Achse
+<math>\bar{L}</math>
+. Dabei müssen
+<math>\bar{\omega }</math>
+,
+<math>\bar{f}</math>
+und
+<math>\bar{L}</math>
+stets in einer Ebene liegen.
-<u>'''Beispiele'''</u>
+'''Anwendung:'''
-. Kugelsymmetrische Massendichte:
+Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:
 <math>\begin{align}
-   & \rho (\bar{x})=\rho (r) \\
+   & \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}\approx \frac{1}{300} \\
- & {{J}_{1}}={{J}_{2}}={{J}_{3}}=:J \\
+  & \frac{2\pi }{{{\omega }_{3}}}=1Tag \\
- & 3J={{J}_{1}}+{{J}_{2}}+{{J}_{3}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (r)\left[ \left( {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} \right)+\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} \right)+\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right) \right]=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (r)2{{r}^{2}} \\
-  & 3J=2\cdot 4\pi \int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}\rho (r)} \\
 \end{align}</math>
-Bei homogener Massenverteilung:
+Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:
-<math>M=\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}</math>
-bezüglich Schwerpunkt S
-folgt:
-<math>\begin{align}
-  & J=\frac{8}{3}\pi \int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}\rho (r)}=\frac{2M}{{{R}^{3}}}\int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}} \\
- & J=\frac{2}{5}M{{R}^{2}} \\
-\end{align}</math>
-. Abrollende Kugel: Momentaner Auflagepunkt ist A
-Das Trägheitsmoment bezüglich der momentanen Drehachse durch den Auflagepunkt A:
+<math>T=\frac{2\pi }{{{\omega }_{0}}}=\frac{2\pi J}{{{\omega }_{3}}(J-{{J}_{3}})}=\frac{J}{(J-{{J}_{3}})}\cdot 1Tag=300Tage</math>
-<math>{{J}_{A}}=J+M{{R}^{2}}=\frac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>
+Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse!
+rac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>

Drehimpuls und Bewegungsgleichungen: Difference between revisions

Revision as of 23:45, 28 August 2010

Drehimpuls

Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls

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