Wirkungs- und Winkelvariable

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Wirkungs- und Winkelvariable basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.

Klassifikation von periodischem Verhalten:

• geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
• dabei gilt:

$\begin{array}{rl}& q(t+\tau )=q(t)\\ & p(t+\tau )=p(t)\\ \end{array}$

• periodische (hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen (dies sind nicht Schwingungen im ortsraum!) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:

$\begin{array}{rl}& q(t+\tau )=q(t)+q_0\\ & p(t+\tau )=p(t)\\ \end{array}$

• Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:

$\begin{array}{rl}& q(t)=\varphi \\ & q_0=2\pi \\ \end{array}$

Beispiel: Das mathematische Pendel (mit beliebig großen Auslenkungen)

f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel

$\varphi$.

, s=

$\varphi$ l $\begin{array}{rl}& T=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\varphi }}^2\\ & V=mgl(1-\cos \varphi )\\ \end{array}$

verallgemeinerter kanonischer Impuls:

$\begin{array}{rl}& p_{\varphi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi }}=m{l}^2\dot{\varphi }\\ & H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})=T+V=\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{l}^2}+mgl(1-\cos \varphi )\\ \end{array}$

für ein konservatives System

Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:

$\begin{array}{rl}& \dot{\varphi }=\frac{\partial H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})}{\partial p_{\varphi }}=\frac{p_{\varphi }}{m{l}^2}\\ & {\dot{p}}_{\varphi }=-\frac{\partial H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})}{\partial \varphi }=-mgl\sin \varphi \\ \end{array}$

1. Integral (Enrgieerhaltung): Phasenbahn

$H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})=T+V=\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{l}^2}+mgl(1-\cos \varphi )=E=const.$

Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:

$\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{l}^2}+mgl\frac{{\varphi }^2}{2}=E=const.$

→ Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.

Gleichgewichtslagen: Fixpunkte:

$\begin{array}{rl}& \dot{\varphi }={\dot{p}}_{\varphi }=0\\ & p_{\varphi }=0\\ & \varphi =n\pi ,n\in N\\ \end{array}$

$E\le 2mgl$

Libration: Schwingung mit

$\left|\varphi \right|\le {\varphi }_0$

$E>2mgl$

Rotation: überschlagendes Pendel:

$\varphi$

unbeschränkt

Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn (Separatrix zwischen a) und b):

Übergang zu neuen kanonischen Variablen (f=1)

$\begin{array}{rl}& (q,p)\to (\theta ,I)\\ & I(E):=\underset{{\mathrm{\Gamma }}_E}{\oint }pdq\\ \end{array}$

I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn

${\mathrm{\Gamma }}_E$

zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. (= Phasenintegral).

$\theta$

ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.

Gelegentlich findet sich:

$\begin{array}{rl}& (q,p)\to (\theta ,I)\\ & I(E):=\frac{1}{2\pi }\underset{{\mathrm{\Gamma }}_E}{\oint }pdq\\ \end{array}$

In diesem Fall ist

$\theta$ auf $2\pi$

normiert.

gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:

$\begin{array}{rl}& p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}\\ & \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I}\\ \end{array}$

Mit der neuen Hamiltonfunktion:

$H(q,\frac{\partial W(q,I)}{\partial q})=E(I)$

Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn

$\frac{dI}{dE}\ne 0$.

Da

$\theta$

zyklisch ist muss I konstant sein.

Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für

$\theta$

lautet:

$\begin{array}{rl}& \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={\nu }_I=const.\\ & \theta ={\nu }_{I}t+{\theta }_{0}mod1\\ & I=const\\ \end{array}$

Die Lösung für

$\theta$

ist bei Normierung auf

$2\pi$

natürlich modulo

$2\pi$

zu verstehen.

Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz

${\nu }_I$

berechnet.

Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:

Beispiel: eindimensionaler Oszillator

$H(q,p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q})=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2}{2}{q}^2=E(I)$

Phasenbahn:

$\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}=p=\pm m\omega \sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}-q^2}$

Umkehrpunkte:

$q_{\pm }=\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}}$

Wirkungsvariable:

$\begin{array}{rl}& I(E)=\oint pdq=2m\omega \underset{q_{-}}{\overset{q_{+}}{\int }}\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}-q^2}dq\\ & I(E)=2m\omega {[\frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}-q^2}+\frac{E}{m{\omega }^2}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}}}]}_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E\\ \end{array}$

Transformierte Hamiltonfunktion:

$\begin{array}{rl}& \overline{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I\\ & \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={\nu }_I\\ \end{array}$

Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

Nebenbemerkungen:

1.

$I=\frac{2\pi }{\omega }E=\tau E$

hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

$\theta$

ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum (des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

• die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 (Kreis mit Radius 1) abgebildet.

Verallgemeinerung auf beliebiges f:

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz

${\omega }_j=\frac{2\pi }{{\tau }_j}$

ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls!

Falls:

${\omega }_1:{\omega }_2:{\omega }_3:...:{\omega }_f$

rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls:

$\mathrm{\exists }i,j\to {\omega }_i:{\omega }_j$

irrational → offene Bahn (quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable

${\theta }_j$ zu ${\omega }_j$

Abbildung auf

$S^1\times S^1\times S^1\times ...\times S^1=:T^f$

(f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus!

Satz über integrable Systeme

Einautonomes System (Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung

$g_k(\overline{q},\overline{p})$

k=1,...,f

mit

$g_1(\overline{q},\overline{p})=H(\overline{q},\overline{p})$

Energie und

$\{g_i,g_j\}=0\mathrm{\forall }i,j$

Dann gilt:

1. die durch

$g_k(\overline{q},\overline{p})={\alpha }_k=const$

gegebene Hyperfläche des Phasenraums (falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus

$T^f$

abbilden.

1. die Allgemeine Bewegung auf

$T^f$

ist quasiperiodisch:

$\frac{d{\theta }_i}{dt}={\omega }_i$,

${\theta }_i$

ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f

1. das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren.

Beispiele: 2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren

Gegenbeispiel: 3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung:

$E,{\overline{P}}_{gesamt},l^2,l_3$

Nebenbemerkung:

Wegen

$\{l_3,l_1\}=l_3$

und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung

$\{g_i,g_j\}=0$

obgleich gilt:

$\{l_i,H\}=0$.

Wirkunsgvariable:

$I_k({\alpha }_1,...,{\alpha }_f):=\underset{{\mathrm{\Gamma }}_k}{\oint }{p}_{k}d{q}_k(k=1,..,f)$

Für ein separables System gilt:

$\begin{array}{rl}& W=\sum _{j=1}^f{W}_j(q_j,\overline{\alpha })\\ & p_k=\frac{d{W}_k}{d{q}_k}\\ \end{array}$

Die Umkehrung liefert die Energie:

$E\equiv {\alpha }_1={\alpha }_1(I_1,...,I_f)$

Die Hamiltongleichungen lauten:

$\begin{array}{rl}& \dot{\theta }=\frac{\partial E(I_1,...,I_f)}{\partial I_k}={\nu }_k(I_1,...,I_f)\\ & \Rightarrow {\theta }_k={\nu }_{k}t+{\beta }_k\\ & {\nu }_k=\frac{1}{{\tau }_k}\\ \end{array}$

Fazit:

Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen

${\nu }_k$

periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen.