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| ====Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion====
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| * wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
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| * und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V
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| Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):
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| mit
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| :<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=0und\frac{\partial }{\partial t}L=0</math>
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| Dann nämlich ist
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| :<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}=2T</math> | |
| (nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der
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| :<math>{{\dot{q}}_{k}}</math>.
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| Somit:
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| :<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=2T-T+V=T+V</math>
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| beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!
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| Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz
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| folgt dann Gesamtenergieerhaltung.
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| Dies läßt sich leicht nachweisen:
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| :<math>\begin{align}
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| & \frac{dH}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}-L \right)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\
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| & wegen\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!
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| =====Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:=====
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| Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:
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| Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit
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| :<math>V=-m{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}</math>.
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| Aus
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| :<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math>
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| folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.
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| ====Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:==== | | ====Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:==== |
Revision as of 17:50, 1 July 2011
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=2}}
Kategorie:Mechanik
__SHOWFACTBOX__
Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die
gefunden werden.
Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für
aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:
Eine Variable:
Differenziale:
- wegen
Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für
Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung
Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.
Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)
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Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:
- Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:
- Transformation des Radiusvektors
- Aufstellung der Lagrangegleichung:
- Bestimmung der generalisierten Impulse:
- Anschließend Legendre Trafo:
- Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:
Beispiele:
Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen
- q1=3, q2=Phi, q3 = z
- Generalisierte Impulse:
Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses
- Aufstellung der Legendretrafo:
- Kanonische Gleichungen:
Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):
F(Zentrifugal)=
- ,
die den radialen Impuls ändert.
Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:
Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.
sind zyklische Variablen
oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene
Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:
Das System ist skleronom wegen
- ,
also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V
Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:
Die Halbachsen sind:
(bestimmt durch 1. Integral).
Als kanonische Gleichungen ergibt sich:
Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung
Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:
Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:
die kanonischen konjugierten Impulse lauten:
Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich
als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).
ist kanonischer Impuls