Die Hamiltonschen Gleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Die Hamiltonschen Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die $p_k,q_k$ gefunden werden.

Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für $q_k$ aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:

Eine Variable:

Differenziale:

$\begin{array}{ll}& L=L(q,\dot{q},t):dL=\frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt\\ & H=H(q,p,t):dH=\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p}dp+\frac{\partial H}{\partial t}dt\\ & H=\dot{q}p-L\Rightarrow dH=\dot{q}dp+pd\dot{q}-dL=\dot{q}dp+pd\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial t}dt\\ \end{array}$ wegen $\begin{array}{ll}& \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=p\\ & \Rightarrow dH=\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p}dp+\frac{\partial H}{\partial t}dt=\dot{q}dp-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt\\ \end{array}$

Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für

$\begin{array}{ll}& \frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial q}\\ & \frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}\\ & \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\\ \end{array}$

Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung

$\begin{array}{ll}& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial L}{\partial q};\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=p;\frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{\partial H}{\partial q}\\ & \Rightarrow \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}\\ & \frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}\\ \end{array}$

Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.

Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)

Mehrere Variablen

$\begin{array}{ll}& L(q_1,...,q_f,{\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_f,t)\\ & p_k:=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\\ & H(q_1,...,q_f,p_1,...,p_f,t)=\sum _{k=1}^f{\dot{q}}_k{p}_k-L\\ & \\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& dH=\sum _k(\frac{\partial H}{\partial q_k}d{q}_k+\frac{\partial H}{\partial p_k}d{p}_k)+\frac{\partial H}{\partial t}dt=\sum _k{\dot{q}}_{k}d{p}_k+\sum _k{p}_{k}d{\dot{q}}_k-\sum _k\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}d{\dot{q}}_k-\sum _k\frac{\partial L}{\partial q_k}d{q}_k-\frac{\partial L}{\partial t}dt\\ & =\sum _k{\dot{q}}_{k}d{p}_k-\sum _k\frac{\partial L}{\partial q_k}d{q}_k-\frac{\partial L}{\partial t}dt\\ & \Rightarrow \frac{\partial H}{\partial q_k}=-\frac{\partial L}{\partial q_k}\\ & \frac{\partial L}{\partial q_k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}=\frac{d}{dt}{p}_k\\ & \frac{\partial H}{\partial p_k}={\dot{q}}_k;\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\\ \end{array}$

Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)

$\begin{array}{ll}& {\dot{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}\\ & \frac{\partial H}{\partial p_k}={\dot{q}}_{k}k=1,...,f\\ \end{array}$

Der 2f- dimensionale Raum

$\mathrm{\Gamma }:=\{q_1,...,q_f,{\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_f\}$

heißt Phasenraum.

Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.

Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion

• wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
• und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V

Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz ( skleronome Zwangsbed. ):

mit $\frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i(q_1,...,q_f)=0und\frac{\partial }{\partial t}L=0$

Dann nämlich ist

$\sum _{k=1}^f\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}{\dot{q}}_k=2T$

 ( nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische , homogene Funktion der 

${\dot{q}}_k$ .

Somit:

$\sum _{k=1}^f\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}{\dot{q}}_k-L=\sum _{k=1}^f\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}{\dot{q}}_k-L=2T-T+V=T+V$

beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften !

Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz

folgt dann Gesamtenergieerhaltung.

Dies läßt sich leicht nachweisen:

$\begin{array}{ll}& \frac{dH}{dt}=\frac{d}{dt}(\sum _{k=1}^f\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}{\dot{q}}_k-L)=\sum _{k=1}^f(\frac{\partial H}{\partial q_k}{\dot{q}}_k+\frac{\partial H}{\partial p_k}{\dot{p}}_k)+\frac{\partial H}{\partial t}=\sum _{k=1}^f(\frac{\partial H}{\partial q_k}\frac{\partial H}{\partial p_k}-\frac{\partial H}{\partial p_k}\frac{\partial H}{\partial q_k})-\frac{\partial L}{\partial t}=0\\ & wegen\frac{\partial L}{\partial t}=0\\ \end{array}$ Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V !!

Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:

Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert ( Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:

Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit $V=-m{q}^2{\omega }^2$ .

Aus $\frac{\partial L}{\partial t}=0$ folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.

Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:

1. Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:

$\overline{q}=(q_1,...,q_f)$

1. Transformation des Radiusvektors

$\begin{array}{ll}& {\overline{r}}_i={\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)\\ & {\dot{\overline{r}}}_i={\dot{\overline{r}}}_i(\overline{q},\dot{\overline{q}},t)\\ \end{array}$

1. Aufstellung der Lagrangegleichung:

$L(\overline{q},\dot{\overline{q}},t)=T-V=\frac{1}{2}m\sum _i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2-V$

1. Bestimmung der generalisierten Impulse:

$\begin{array}{ll}& p_k:=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\Rightarrow p_k=p_k(\overline{q},\dot{\overline{q}},t)\\ & Umkehrung:{\dot{q}}_k={\dot{q}}_k(\overline{q},\overline{p},t)\\ \end{array}$

1. Anschließend Legendre Trafo:

$H(q_1,...,q_f,p_1,...,p_f,t)=\sum _{k=1}^f{\dot{q}}_k{p}_k-L$

1. Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:

$\begin{array}{ll}& {\dot{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}\\ & \frac{\partial H}{\partial p_k}={\dot{q}}_{k}k=1,...,f\\ \end{array}$

Beispiele:

Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen

1. q1=3, q2=Phi, q3 = z

$\begin{array}{ll}& x=r\cos \varphi ,\dot{x}=\dot{r}\cos \varphi -r\dot{\varphi }\sin \varphi \\ & y=r\sin \varphi ,\dot{y}=\dot{r}\sin \varphi +r\dot{\varphi }\cos \varphi \\ & z=z\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& T=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2+{\dot{z}}^2)\\ & V=V(r,\varphi ,z)\\ & L=L(r,\varphi ,z,\dot{r},\dot{\varphi },\dot{z})=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2+{\dot{z}}^2)-V\\ \end{array}$

1. Generalisierte Impulse:

$\begin{array}{ll}& p_k=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\\ & p_r=m\dot{r}\\ & p_{\varphi }=m{r}^2\dot{\varphi }\\ & p_z=m\dot{z}\\ \end{array}$

                                                                                            Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses

1. Aufstellung der Legendretrafo:

$\begin{array}{ll}& H=m{\dot{r}}^2+m{r}^2{\dot{\varphi }}^2+m{\dot{z}}^2=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2+{\dot{z}}^2)+V\\ & H=\frac{1}{2m}({p_r}^2+\frac{{p_{\varphi }}^2}{r^2}+{p_z}^2)+V(r,\varphi ,z)\\ \end{array}$

1. Kanonische Gleichungen:

$\begin{array}{ll}& {\dot{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}\\ & \frac{\partial H}{\partial p_k}={\dot{q}}_{k}k=1,...,f\\ & \dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_r}=\frac{p_r}{m},\dot{\varphi }=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi }}=\frac{p_{\varphi }}{m{r}^2},\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial p_z}=\frac{p_z}{m}\\ & {\dot{p}}_r=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{{p_{\varphi }}^2}{m{r}^3}-\frac{\partial V}{\partial r},{\dot{p}}_{\varphi }=-\frac{\partial H}{\partial \varphi }=-\frac{\partial V}{\partial \varphi },{\dot{p}}_z=-\frac{\partial H}{\partial z}=-\frac{\partial V}{\partial z}\\ \end{array}$

Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft ( Scheinkraft):

F(Zentrifugal)= $\frac{{p_{\varphi }}^2}{m{r}^3}$ , die den radialen Impuls ändert.

Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:

${\dot{p}}_r=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{{p_{\varphi }}^2}{m{r}^3}-\frac{\partial V}{\partial r},{\dot{p}}_{\varphi }=0,{\dot{p}}_z=0$

Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.

$z,\varphi$ sind zyklische Variablen

$\begin{array}{ll}& p_z=const.=o.B.d.A.=0\\ & p_{\varphi }=const.\\ \end{array}$ oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

Das System ist skleronom wegen $\frac{\partial L}{\partial t}=0$ , also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V

$\frac{1}{2}m({\dot{q}}^2+{{\omega }_o}^2{q}^2)=E=\frac{1}{2}m(\frac{p^2}{m^2}+{{\omega }_o}^2{q}^2)\Rightarrow \frac{p^2}{2mE}+\frac{q^2}{\left(\frac{2E}{m{{\omega }_o}^2}\right)}=1$

Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:

Die Halbachsen sind:

$\sqrt{2mE}=a,b=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }_o}^2}}$ ( bestimmt durch 1. Integral).

Als kanonische Gleichungen ergibt sich:

$\begin{array}{ll}& {\dot{p}}_{}=-\frac{\partial H}{\partial q}=-m{{\omega }_o}^{2}q\\ & \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}\\ \end{array}$

Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung $\begin{array}{ll}& \ddot{q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{\dot{p}}{\stackrel{´}{}m}=-{{\omega }_o}^{2}q\\ & \ddot{q}+{{\omega }_o}^{2}q=0\\ \end{array}$

Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:

Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:

$L(\overline{q},\dot{\overline{q}},t)=T-V=\frac{1}{2}m\sum _i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2-V=\frac{m}{2}{\dot{\overline{q}}}^2+e(\dot{\overline{q}}\cdot \overline{A}(\overline{q},t)-\mathrm{\Phi }(\overline{q},t))$

die kanonischen konjugierten Impulse lauten:

$\begin{array}{ll}& p_k=\frac{\partial L(\overline{q},\dot{\overline{q}},t)}{\partial {\dot{q}}_k}=m{\dot{q}}_{\stackrel{´}{}k}+e{A}_k(\overline{q},t)\\ & \Rightarrow {\dot{q}}_k=\frac{1}{m}(p_k-e{A}_k)\\ & H=\sum _{k=1}^3{p}_k{\dot{q}}_k-L=\sum _{k=1}^3{p}_k\frac{1}{m}(p_k-e{A}_k)-\frac{1}{2m}\sum _{k=1}^3{(p_k-e{A}_k)}^2-\sum _{k=1}^3\frac{e}{m}(p_k-e{A}_k)A_k+e\mathrm{\Phi }\\ & H(\overline{q},\overline{p},t)=\frac{1}{2m}{({\overline{p}}_{}-e\overline{A}{(\overline{q},t)}_{})}^2+e\mathrm{\Phi }(\overline{q},t)\\ \end{array}$

Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich

$m\dot{\overline{q}}=\overline{p}-e\overline{A}$ als kinetischer Impuls ( der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).

$p_k=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}$ ist kanonischer Impuls