Räumliche Translationsinvarianz: Difference between revisions
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Revision as of 17:07, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Räumliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=2}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:
Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:
Der Parameter s ist dabei beliebig.
Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:
Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben !
Für die Transformation gilt:
Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:
Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.
Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.
Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:
Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:
Nun gilt die Transformation:
als Schwerpunktskoordinate und
als Relativpositionen.
Es folgt:
Invarianz Erhaltungssatz
äquivalent zum Erhaltungssatz
Allgemein heißt
der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.
Falls gilt dass , wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße .
Hier:
Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte
Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung ( Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:
Invarianz sagt
Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte ( Falls Q1 konservative Kraft ist)
Beispiel: ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)
Das Potenzial hänge nicht von x ab:
In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:
Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung
Das Potenzial kann auch anisotrop sein.
Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.
Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:
Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:
Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:
Mit den Schwerpunktskoordinaten
Und der Gesamtmasse