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| <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|2|2}}</noinclude>
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| [[File:Leastaction.JPG|miniatur]]
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| Voraussetzung:
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| * holonome (integrable) Zwangsbed. → Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten (q1,..., qf)
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| * konservative Kräfte → Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion
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| * <math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>
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| Nehmen wir nun die Lgrangegleichung als Funktional:
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| :<math>F=L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>
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| Nun ist auch das Variationsprinzip auf mehrere Variablen zu verallgemeinern:
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| Die entstehende Euler- Lagrange- Gleichung entspricht einer Lagrangegleichung 2. Art
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| Integralprinzip entspricht dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip
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| Somit erhalten wir bei Integration über die Zeit ein Wirkungsfunktional:
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| :<math>\begin{align}
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| & \delta W=0 \\
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| & W:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}T-V \\
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| \end{align}</math>
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| Bei Berechnung der Variation erhalten wir:
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| :<math>\begin{align}
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| & \delta W=0 \\
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| & \delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}(t)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{d}{dt}\delta {{q}_{k}}(t) \right\} \\
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| & \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \right\}\delta {{q}_{k}}(t)=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann (gilt für beliebige
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| :<math>\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f</math>)
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| gilt als Lagrangegleichung 2. Art:
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| :<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>
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| <u>'''Beispiel: eindimensionaler Oszi'''</u>
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| :<math>\begin{align}
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| & L=T-V=\frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \\
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| & \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta \left\{ \frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \right\}} \\
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| \end{align}</math>
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| Mit Hilfe:
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| :<math>\delta {{q}^{2}}=2q\delta q</math>
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| ergibt sich:
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| :<math>\delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ -\frac{d}{dt}m\dot{q}-m{{\omega }^{2}}q \right\}}\delta q=0</math>
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| :<math>\begin{align}
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| & m\ddot{q}-m{{\omega }^{2}}q=0 \\
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| & \ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0 \\
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| \end{align}</math>
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| '''Unterschiede zum d´Alembertschen Prinzip'''
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| Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Integralprinzip. Das heißt, die integrierte Summe aller Variationen ist extremal, die tatsächliche Bahn (gesamte Bahn) wird also mit einer differenziell benachbarten Bahn verglichen).
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| Das Hamiltonsche Prinzip unterliegt dem teleologischen Prinzip. Es ist zweckgebunden. Der Zweck betrifft dabei die Eigenschaften der gesamten Bahn.
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| Außerdem ist das Hamiltonprinzip völlig unabhängig von der Koordinatenwahl.
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| Wirkung = Energie X Zeit
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| Wirkung = Impuls X Ort
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| Vergleiche dazu: Plancksches Wirkungsquantum!
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| Die Wirkung ist also quantisiert. Zwischen den Größen, die eine Wirkung best9mmen entsteht eine Unschärfe. Somit ist die Wirkung quantisiert und sucht sich in der Natur ein Minimum.
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| Allgemein kann man das Hamil5tonsche Wirkungsprinzip natürlich auch formulieren, wenn die Zwangsbedingungen beliebig (nichtholonom) sind und die eingeprägten Kräfte nicht konservativ:
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| Seien die eingeprägten Kräfte (nicht konservativer Art) von der Form:
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| :<math>{{\bar{X}}_{i}}</math>
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| So gilt mit
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| :<math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}</math>
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| :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left( \delta T+\delta A \right)=0</math>
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