Der nichtrelativistische Grenzfall: Difference between revisions
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*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
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Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem: | Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem: | ||
<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi </math> | :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi </math> | ||
nur Ruheenergie | nur Ruheenergie | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& H={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \begin{matrix} | & H={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \begin{matrix} | ||
Line 47: | Line 47: | ||
Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten: | Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten: | ||
<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi </math> | :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi </math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Rightarrow i\hbar {{{\dot{\Psi }}}_{1,2}}={{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }_{1,2}} \\ | & \Rightarrow i\hbar {{{\dot{\Psi }}}_{1,2}}={{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }_{1,2}} \\ | ||
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Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar: | Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\Psi }_{1,2}}\propto {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}} \\ | & {{\Psi }_{1,2}}\propto {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}} \\ | ||
Line 71: | Line 71: | ||
Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen: | Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\Psi }_{1}}={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{1}}\quad Spin:\uparrow \quad Ruheenergie>0 \\ | & {{\Psi }_{1}}={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{1}}\quad Spin:\uparrow \quad Ruheenergie>0 \\ | ||
Line 90: | Line 90: | ||
Klassisch wissen wir: | Klassisch wissen wir: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{p}\to \bar{p}-e\bar{A} \\ | & \bar{p}\to \bar{p}-e\bar{A} \\ | ||
Line 100: | Line 100: | ||
In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator erweitern und angeben: | In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator erweitern und angeben: | ||
<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}\beta +e\Phi \right)\Psi </math> | :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}\beta +e\Phi \right)\Psi </math> | ||
Dabei setzen wir für | Dabei setzen wir für | ||
<math>\bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math> | :<math>\bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math> | ||
den kanonischen Impuls | den kanonischen Impuls | ||
Line 110: | Line 110: | ||
und führen den kinetischen Impuls ein gemäß | und führen den kinetischen Impuls ein gemäß | ||
<math>\bar{\pi }={{p}_{kin}}=\bar{p}-e\bar{A}</math> | :<math>\bar{\pi }={{p}_{kin}}=\bar{p}-e\bar{A}</math> | ||
'''Als Lösungsansatz wählen wir''' | '''Als Lösungsansatz wählen wir''' | ||
<math>\Psi =\left( \begin{matrix} | :<math>\Psi =\left( \begin{matrix} | ||
{{\Psi }_{a}} \\ | {{\Psi }_{a}} \\ | ||
Line 136: | Line 136: | ||
Damit zerfällt die Dirac- Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen: | Damit zerfällt die Dirac- Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& i\hbar {{{\dot{\Psi }}}_{a}}=c\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\Psi }_{b}}+\left( {{m}_{0}}{{c}^{2}}+e\Phi \right){{\Psi }_{a}} \\ | & i\hbar {{{\dot{\Psi }}}_{a}}=c\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\Psi }_{b}}+\left( {{m}_{0}}{{c}^{2}}+e\Phi \right){{\Psi }_{a}} \\ | ||
Line 146: | Line 146: | ||
Als Ansatz wählen wir | Als Ansatz wählen wir | ||
<math>\Psi =\left( \begin{matrix} | :<math>\Psi =\left( \begin{matrix} | ||
{{\Psi }_{a}} \\ | {{\Psi }_{a}} \\ | ||
Line 164: | Line 164: | ||
Also Zerlegung in | Also Zerlegung in | ||
<math>{{e}^{-i{{m}_{0}}{{c}^{2}}\frac{t}{\hbar }}}</math> | :<math>{{e}^{-i{{m}_{0}}{{c}^{2}}\frac{t}{\hbar }}}</math> | ||
als schnelle zeitliche Oszillation und | als schnelle zeitliche Oszillation und | ||
<math>\left( \begin{matrix} | :<math>\left( \begin{matrix} | ||
{{\phi }_{a}} \\ | {{\phi }_{a}} \\ | ||
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Es folgt: | Es folgt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& i\hbar {{{\dot{\phi }}}_{a}}=c\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\phi }_{b}}+e\Phi {{\phi }_{a}} \\ | & i\hbar {{{\dot{\phi }}}_{a}}=c\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\phi }_{b}}+e\Phi {{\phi }_{a}} \\ | ||
Line 189: | Line 189: | ||
====Nichtrelativistische Näherung:==== | ====Nichtrelativistische Näherung:==== | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}<<{{m}_{0}}{{c}^{2}}\Rightarrow {{{\dot{\phi }}}_{b}}\approx 0 \\ | & E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}<<{{m}_{0}}{{c}^{2}}\Rightarrow {{{\dot{\phi }}}_{b}}\approx 0 \\ | ||
Line 197: | Line 197: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{{\dot{\phi }}}_{b}}\approx 0 \\ | & {{{\dot{\phi }}}_{b}}\approx 0 \\ | ||
Line 207: | Line 207: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>{{\phi }_{b}}\approx \frac{1}{2{{m}_{0}}c}\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right){{\phi }_{a}}</math> | :<math>{{\phi }_{b}}\approx \frac{1}{2{{m}_{0}}c}\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right){{\phi }_{a}}</math> | ||
eingesetzt in | eingesetzt in | ||
<math>i\hbar {{\dot{\phi }}_{a}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right){{\phi }_{a}}+e\Phi {{\phi }_{a}}</math> | :<math>i\hbar {{\dot{\phi }}_{a}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right){{\phi }_{a}}+e\Phi {{\phi }_{a}}</math> | ||
Man kann zeigen: | Man kann zeigen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)={{{\bar{\pi }}}^{2}}+i\bar{\sigma }\left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right) \\ | & \left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)={{{\bar{\pi }}}^{2}}+i\bar{\sigma }\left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right) \\ | ||
Line 225: | Line 225: | ||
Remember: | Remember: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right){{\phi }_{a}}=\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)\times \left( \bar{p}-e\bar{A} \right){{\phi }_{a}} \\ | & \left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right){{\phi }_{a}}=\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)\times \left( \bar{p}-e\bar{A} \right){{\phi }_{a}} \\ | ||
Line 249: | Line 249: | ||
: | : | ||
<math>i\hbar {{\dot{\phi }}_{a}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{\pi }}}^{2}}+i\bar{\sigma }\left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right) \right)+e\Phi \right]{{\phi }_{a}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}-\frac{1}{2{{m}_{0}}}e\hbar \bar{\sigma }\bar{B}+e\Phi \right]{{\phi }_{a}}</math> | :<math>i\hbar {{\dot{\phi }}_{a}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{\pi }}}^{2}}+i\bar{\sigma }\left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right) \right)+e\Phi \right]{{\phi }_{a}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}-\frac{1}{2{{m}_{0}}}e\hbar \bar{\sigma }\bar{B}+e\Phi \right]{{\phi }_{a}}</math> | ||
dies ist die nichtrelativistische Pauli- Gleichung für Spin <math>\pm \frac{\hbar }{2}</math> | dies ist die nichtrelativistische Pauli- Gleichung für Spin <math>\pm \frac{\hbar }{2}</math> | ||
Line 255: | Line 255: | ||
( vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2: | ( vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2: | ||
<math>\frac{1}{2{{m}_{0}}}e\hbar \bar{\sigma }=\frac{e}{{{m}_{0}}}\frac{\hbar }{2}\bar{\sigma }=g\frac{e}{{{m}_{0}}}\bar{S}</math> | :<math>\frac{1}{2{{m}_{0}}}e\hbar \bar{\sigma }=\frac{e}{{{m}_{0}}}\frac{\hbar }{2}\bar{\sigma }=g\frac{e}{{{m}_{0}}}\bar{S}</math> | ||
Vergl. S. 94 | Vergl. S. 94 | ||
Line 279: | Line 279: | ||
Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung | Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung | ||
<math>{{\sigma }_{3}}{{\Psi }_{a}}={{\sigma }_{3}}\left( \begin{matrix} | :<math>{{\sigma }_{3}}{{\Psi }_{a}}={{\sigma }_{3}}\left( \begin{matrix} | ||
{{\Psi }_{a\uparrow }}(\bar{r},t) \\ | {{\Psi }_{a\uparrow }}(\bar{r},t) \\ | ||
Line 307: | Line 307: | ||
Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung | Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \tilde{\sigma }=\left( \begin{matrix} | & \tilde{\sigma }=\left( \begin{matrix} | ||
Line 344: | Line 344: | ||
====Bahn- Drehimpuls:==== | ====Bahn- Drehimpuls:==== | ||
<math>\bar{L}=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} | :<math>\bar{L}=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} | ||
1 & 0 \\ | 1 & 0 \\ | ||
Line 366: | Line 366: | ||
====Gesamt- Drehimpuls==== | ====Gesamt- Drehimpuls==== | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{J}:=\bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }}=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} | & \bar{J}:=\bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }}=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} | ||
Line 398: | Line 398: | ||
Dabei ist | Dabei ist | ||
<math>\bar{J}:=\bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }}=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} | :<math>\bar{J}:=\bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }}=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} | ||
1 & 0 \\ | 1 & 0 \\ | ||
Line 408: | Line 408: | ||
eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden: | eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left[ \bar{J},H \right]=\left[ \bar{L},H \right]+\frac{\hbar }{2}\left[ \tilde{\bar{\sigma }},H \right]=0 \\ | & \left[ \bar{J},H \right]=\left[ \bar{L},H \right]+\frac{\hbar }{2}\left[ \tilde{\bar{\sigma }},H \right]=0 \\ | ||
Line 448: | Line 448: | ||
( Vergl. Schwabl Seite 215 ff.) | ( Vergl. Schwabl Seite 215 ff.) | ||
<math>\varepsilon {{\phi }_{a}}=\left( \frac{{{p}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)-\frac{{{p}^{4}}}{8{{m}_{0}}^{3}{{c}^{2}}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\bar{\sigma }\cdot \bar{L} \right){{\phi }_{a}}</math> | :<math>\varepsilon {{\phi }_{a}}=\left( \frac{{{p}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)-\frac{{{p}^{4}}}{8{{m}_{0}}^{3}{{c}^{2}}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\bar{\sigma }\cdot \bar{L} \right){{\phi }_{a}}</math> | ||
Also eine Spin- Bahn- Kopplung von | Also eine Spin- Bahn- Kopplung von | ||
<math>{{H}_{SB}}=\frac{\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\bar{\sigma }\cdot \bar{L}</math> | :<math>{{H}_{SB}}=\frac{\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\bar{\sigma }\cdot \bar{L}</math> |
Revision as of 16:36, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Der nichtrelativistische Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=7|Abschnitt=4}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem:
nur Ruheenergie
Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten:
Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar:
Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:
Ankopplung an das elektromagnetische Feld:
Die Ankopplung erfolgt über die Potenziale
über die Ladung e
Klassisch wissen wir:
In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator erweitern und angeben:
Dabei setzen wir für
den kanonischen Impuls
und führen den kinetischen Impuls ein gemäß
Als Lösungsansatz wählen wir
zwei Komponenten haben sollte und ein Teilchen mit
bezeichnet.
besitzt 2 Komponenten für die "Antiteilchen" mit
Damit zerfällt die Dirac- Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen:
Als Ansatz wählen wir
Also Zerlegung in
als schnelle zeitliche Oszillation und
als langsam zeitabhängige Funktion !
Es folgt:
Nichtrelativistische Näherung:
eingesetzt in
Man kann zeigen:
Remember:
Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen ( Übungsaufgabe !)
Also folgt die Bewegungsgleichung für
dies ist die nichtrelativistische Pauli- Gleichung für Spin
( vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2:
Vergl. S. 94
Interpretation des vierkomponentigen Spinors:
Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung
Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung
Ableitung der Spin- Bahn- Kopplung für
und symmetrisches V( r):
Bahn- Drehimpuls:
aus dem Spinor- Raum
Gesamt- Drehimpuls
Dabei ist
eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden:
Dies ist leicht zu zeigen !
ist keine Konstante der Bewegung
Entwicklung der Dirac- Gleichung für
( Vergl. Schwabl Seite 215 ff.)
Also eine Spin- Bahn- Kopplung von