Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie: Difference between revisions

Revision as of 16:42, 12 September 2010

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ( es existiert kein Ruhezustand)

Einstein, 1904

Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung in Relation gesetzt wird !

Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !!

Also: ${\bar{r}}^{2} - c^{2} t^{2} = \bar{r} {\overset{´}{}}^{2} - c^{2} t {\overset{´}{}}^{2}$

Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant !

Formalisierung

Der raumzeitliche Abstand

{(d s)}^{2} : = {(c d t)}^{2} - {(d \bar{r})}^{2}

ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen ( Lorentz- Transformationen !)

Man kann ${(d s)}^{2}$

als Skalarprodukt von Vierervektoren mit 3 Orts- und einer Zeitkomponente schreiben.

Diese Vektoren leben im Minkowski- Raum V (Spannen diesen auf).

V ist natürlich nicht euklidisch. Sonst würde Pythagoras gelten!

Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das Skalarprodukt invariant ist:

Def.: Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:

\begin{array}{l} x^{0} : = c t \\ x^{α}, α = 1, 2, 3 \end{array}

Zeitkomponente und kartesische Komponenten des Ortsvektors $\bar{r}$

es schreibt sich

{(d s)}^{2} = {(d x^{0})}^{2} - {(d x^{1})}^{2} - {(d x^{2})}^{2} - {(d x^{3})}^{2}

Def.: als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:

\begin{array}{l} x_{0} : = x^{0} \\ x_{α} : = - x^{α} α = 1, 2, 3 \end{array}

Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums $\tilde{V}$

\tilde{V}

ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden:

\tilde{V} = {l i n e a r e F u n k t i o n a l e l : V - > R}

es schreibt sich

{(d s)}^{2} = d x^{0} d x_{0} + d x^{1} d x_{1} + d x^{2} d x_{2} + d x^{3} d x_{3} = d x^{i} d x_{i}

Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...

Wenn ein Index oben ( kontravariant) und ein Index unten ( kovariant) steht.

Verallgemeinerung

Für beliebige 4- Vektoren $a^{i}$

gilt:

\begin{array}{l} a_{0} = a^{0} \\ a_{α} = - a^{α} α = 1, 2, 3 \end{array}

Lorentz- Invariante lassen sich als Skalarprodukt $a_{i} a^{i}$

schreiben:

Der d´Alemebert-Operator

# : = Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} = - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}

Mit

\frac{\partial}{\partial x^{i}} = (\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x^{α}}) = : \partial_{i}

kovariant

Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !

\frac{\partial}{\partial x_{i}} = (\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, - \frac{\partial}{\partial x^{α}}) = : \partial^{i}

kontravariant

-> Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !

Also:

\Rightarrow # = - \partial_{i} \partial^{i}

Vierergeschwindigkeit

\begin{array}{l} u^{i} : = \frac{d x^{i}}{d s} \\ d s = {(d x^{i} d x_{i})}^{\frac{1}{2}} = {(c^{2} d t^{2} - {(d \bar{r})}^{2})}^{\frac{1}{2}} = c {[1 - {(\frac{1}{c} \frac{d \bar{r}}{d t})}^{2}]}^{\frac{1}{2}} d t \\ d s : = {(1 - β^{2})}^{\frac{1}{2}} d t = \frac{c}{γ} d t \end{array}

Dabei gilt:

\begin{array}{l} β : = \frac{v}{c} = \frac{1}{c} | \frac{d \bar{r}}{d t} | \\ γ : = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} \end{array}

Also:

\begin{array}{l} u^{0} = γ \\ u^{α} = \frac{γ}{c} v^{α} = \frac{1}{c} \frac{d x^{α}}{d τ} \end{array}

Mit der Eigenzeit

d τ = \frac{d t}{γ}

Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen !

u^{i} u_{i} = \frac{d x^{i} d x_{i}}{d s^{2}} = 1

ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant !

Viererimpuls

\begin{array}{l} p^{i} : = m_{0} c u^{i} \\ \Rightarrow p^{i} p_{i} = {m_{0}}^{2} c^{2} u^{i} u_{i} = {m_{0}}^{2} c^{2} \\ p^{0} = \frac{m_{0} c}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} = m (v) c = p_{0} \\ p^{α} = \frac{m_{0} v^{α}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} = m (v) v^{α} = - p_{α} \end{array}

Physikalische Bedeutung von $p^{0}$

Mit der 4-er Kraft: $k^{i} : = \frac{d}{d τ} p^{i}$

folgt die Leistungsbilanz:

k^{i} u_{i} = [\frac{d}{d τ} (m_{0} c u^{i})] u_{i}

Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu

\begin{array}{l} k^{i} u_{i} = \frac{m_{0} c}{2} \frac{d}{d τ} (u^{i} u_{i}) = 0 \\ u^{i} u_{i} = 1 \end{array}

also lorentzinvariant !

Außerdem gilt:

\begin{array}{l} k^{i} u_{i} = \frac{d}{d τ} (p^{0}) u_{0} + k^{α} u_{α} = γ \frac{d}{d τ} (p^{0}) + \frac{γ}{c} k^{α} v_{α} = \frac{γ}{c} [\frac{d}{d τ} (c p^{0}) - \bar{k} \bar{v}] = 0 \\ (c p^{0}) = E n e r g i e \\ \bar{k} \bar{v} = L e i s t u n g \end{array}

Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an $(p^{0}) = \frac{E}{c}$

, also $E = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{(1 - β^{2})}}$

als Energie eines relativistischen Teilchens.

Das Skalarprodukt des Viererimpulses liefert lorentzinvariant $\begin{array}{l} p^{i} p_{i} = \frac{E^{2}}{c^{2}} - {\bar{p}}^{2} = {m_{0}}^{2} c^{2} \\ \bar{p} = \frac{m_{0} \bar{v}}{\sqrt{1 - β^{2}}} \end{array}$

Also folgt an die Energie:

E^{2} = {m_{0}}^{2} c^{4} + c^{2} {\bar{p}}^{2}

Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung

Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:

Für Tensoren zweiter Stufe gilt:

Möglich ist: $\begin{array}{l} A^{i k} \\ {A^{i}}_{k} \\ {A_{i}}^{k} \\ A_{i k} \end{array}$

Es gilt:

\begin{array}{l} A^{00} = {A^{0}}_{0} = {A_{0}}^{0} = A_{00} \\ A^{10} = {A^{1}}_{0} = - {A_{1}}^{0} = - A_{10} \\ A^{11} = - {A^{1}}_{1} = - {A_{1}}^{1} = A_{11} \\ u s w . . . \end{array}

Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein:

s p A = {A^{i}}_{i} = {A_{i}}^{i}

- er Einheitstensor

{δ^{k}}_{i} = {δ_{i}}^{k}

wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch

\begin{array}{l} {δ_{i}}^{k} a^{k} = a^{i} \\ {δ_{i}}^{k} a^{k l} = a^{i l} \end{array}

usw..

Der metrische Tensor

\begin{array}{l} g^{i k} : = δ^{i k} = {δ^{i}}_{k} f \ddot{u} r k = 0 \\ g^{i k} : = δ^{i k} = - {δ^{i}}_{k} f \ddot{u} r k = 1, 2, 3 \\ g^{i k} : = δ^{i k} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}) = g_{i k} \\ g^{i k} a_{k} = δ^{i k} a_{k} = a_{i} f \ddot{u} r i = 0 \Rightarrow a_{i} = a^{i} \\ g^{i k} a_{k} = δ^{i k} a_{k} = - a_{i} f \ddot{u} r i = 1, 2, 3 \Rightarrow - a_{i} = a^{i} \end{array}

Also:

g^{i k} a_{k} = δ^{i k} a_{k} = a^{i} f \ddot{u} r i = 0, 1, 2, 3

Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik !

Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen) $Σ \to Σ \overset{´}{}$

\begin{array}{l} x {\overset{´}{}}^{i} = {U^{i}}_{k} x^{k} \\ {U^{i}}_{k} = (\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{array}

für $v | | x^{1}$

Somit:

{U^{k}}_{i} = (\begin{matrix} γ & β γ & 0 & 0 \\ β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Wobei $γ^{2} = \frac{1}{1 - β^{2}}$

Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen:

\begin{array}{l} a {\overset{´}{}}^{i} = {U^{i}}_{k} a^{k} \\ b {\overset{´}{}}^{i} = {U^{i}}_{k} b^{k} \Rightarrow b {\overset{´}{}}_{i} = U_{i k} b^{k} = {U_{i}}^{k} b_{k} \\ a {\overset{´}{}}^{i} b {\overset{´}{}}_{i} = {U^{i}}_{k} {U_{i}}^{l} a^{k} b_{l} =! = a^{k} b_{k} \\ a l s o \Rightarrow : \\ {U^{i}}_{k} {U_{i}}^{l} = {δ_{k}}^{l} \end{array}

U ist also eine orthogonale Trafo

Umkehr- Transformation:

\begin{array}{l} a^{i} = {U_{k}}^{i} a {\overset{´}{}}^{k} \\ a_{i} = {U^{k}}_{i} a {\overset{´}{}}_{k} \end{array}

Denn:

{U_{k}}^{i} {U^{k}}_{l} a^{l} = {δ^{i}}_{l} a^{l} = a^{i}

In Matrizenschreibweise:

\begin{array}{l} {U^{i}}_{k} = (\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) {U^{k}}_{l} = (\begin{matrix} γ & β γ & 0 & 0 \\ β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \\ {U^{i}}_{k} {U^{k}}_{l} = (\begin{matrix} γ^{2} - β^{2} γ^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - β^{2} γ^{2} + γ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = {δ^{i}}_{l} \end{array}

Transformationsverhalten des Vierergradienten

\frac{\partial}{\partial x^{i}} : = \partial_{i} = \frac{\partial}{\partial x {\overset{´}{}}^{k}} \frac{\partial x {\overset{´}{}}^{k}}{\partial x^{i}} = {U^{k}}_{i} \frac{\partial}{\partial x {\overset{´}{}}^{k}} = {U^{k}}_{i} \partial {\overset{´}{}}_{k}

Mit der Identität

\frac{\partial x {\overset{´}{}}^{k}}{\partial x^{i}} = {U^{k}}_{i}

Das heißt jedoch

\frac{\partial}{\partial x^{i}}

transformiert sich wie $a_{i}$

, also kovariant

Analog kann gezeigt werden:

\frac{\partial}{\partial x_{i}} : = \partial^{i} = \frac{\partial}{\partial x {\overset{´}{}}_{k}} \frac{\partial x {\overset{´}{}}_{k}}{\partial x_{i}} = {U_{k}}^{i} \frac{\partial}{\partial x {\overset{´}{}}_{k}}

\frac{\partial}{\partial x_{i}}

transformiert sich wie $a^{i}$

, also kontravariant. ( PRÜFEN !)

Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie: Difference between revisions

Revision as of 16:42, 12 September 2010

Contents

Verallgemeinerung

Der d´Alemebert-Operator

Viererimpuls

Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:

- er Einheitstensor

Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen) $Σ \to Σ \overset{´}{}$

Transformationsverhalten des Vierergradienten

Navigation menu

@@ Line 19: / Line 19: @@
 Der raumzeitliche Abstand
-<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>
+:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>
 ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen ( Lorentz- Transformationen !)
@@ Line 35: / Line 35: @@
 '''Def.:  '''Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{x}^{0}}:=ct \\
@@ Line 47: / Line 47: @@
 es schreibt sich
-<math>{{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}</math>
+:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}</math>
 '''Def.: '''als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{x}_{0}}:={{x}^{0}} \\
@@ Line 61: / Line 61: @@
 Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums <math>\tilde{V}</math>
-<math>\tilde{V}</math>
+:<math>\tilde{V}</math>
 ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden:
-<math>\tilde{V}=\left\{ lineareFunktionale\quad l:V->R \right\}</math>
+:<math>\tilde{V}=\left\{ lineareFunktionale\quad l:V->R \right\}</math>
 es schreibt sich
-<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>
+:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>
 Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...
@@ Line 80: / Line 80: @@
 gilt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{a}_{0}}={{a}^{0}} \\
@@ Line 93: / Line 93: @@
 =====Der d´Alemebert-Operator=====
-<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}</math>
+:<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}</math>
 Mit
-<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }_{i}}</math>
+:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }_{i}}</math>
 kovariant
@@ Line 103: / Line 103: @@
 Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !
-<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }^{i}}</math>
+:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }^{i}}</math>
 kontravariant
@@ Line 111: / Line 111: @@
 <u>'''Also:'''</u>
-<math>\Rightarrow \ \#=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>
+:<math>\Rightarrow \ \#=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>
 <u>'''Vierergeschwindigkeit'''</u>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds} \\
@@ Line 127: / Line 127: @@
 Dabei gilt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \beta :=\frac{v}{c}=\frac{1}{c}\left| \frac{d\bar{r}}{dt} \right| \\
@@ Line 137: / Line 137: @@
 Also:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{u}^{0}}=\gamma  \\
@@ Line 147: / Line 147: @@
 Mit der Eigenzeit
-<math>d\tau =\frac{dt}{\gamma }</math>
+:<math>d\tau =\frac{dt}{\gamma }</math>
 Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen !
-<math>{{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}=1</math>
+:<math>{{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}=1</math>
 ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant !
 =====Viererimpuls=====
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}} \\
@@ Line 176: / Line 176: @@
 folgt die Leistungsbilanz:
-<math>{{k}^{i}}{{u}_{i}}=\left[ \frac{d}{d\tau }\left( {{m}_{0}}c{{u}^{i}} \right) \right]{{u}_{i}}</math>
+:<math>{{k}^{i}}{{u}_{i}}=\left[ \frac{d}{d\tau }\left( {{m}_{0}}c{{u}^{i}} \right) \right]{{u}_{i}}</math>
 Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{{{m}_{0}}c}{2}\frac{d}{d\tau }\left( {{u}^{i}}{{u}_{i}} \right)=0 \\
@@ Line 192: / Line 192: @@
 <u>'''Außerdem gilt:'''</u>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right){{u}_{0}}+{{k}^{\alpha }}{{u}_{\alpha }}=\gamma \frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right)+\frac{\gamma }{c}{{k}^{\alpha }}{{v}_{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}\left[ \frac{d}{d\tau }\left( c{{p}^{0}} \right)-\bar{k}\bar{v} \right]=0 \\
@@ Line 218: / Line 218: @@
 Also folgt an die Energie:
-<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>
+:<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>
 Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung
@@ Line 239: / Line 239: @@
 Es gilt:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\
@@ Line 253: / Line 253: @@
 Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein:
-<math>spA={{A}^{i}}_{i}={{A}_{i}}^{i}</math>
+:<math>spA={{A}^{i}}_{i}={{A}_{i}}^{i}</math>
 =====- er Einheitstensor=====
-<math>{{\delta }^{k}}_{i}={{\delta }_{i}}^{k}</math>
+:<math>{{\delta }^{k}}_{i}={{\delta }_{i}}^{k}</math>
 wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{k}}={{a}^{i}} \\
@@ Line 272: / Line 272: @@
 <u>'''Der metrische Tensor'''</u>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}={{\delta }^{i}}_{k}\quad f\ddot{u}r\ k=0 \\
@@ Line 298: / Line 298: @@
 Also:
-<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=0,1,2,3</math>
+:<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=0,1,2,3</math>
 Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik !
@@ Line 304: / Line 304: @@
 =====Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen) <math>\Sigma \to \Sigma \acute{\ }</math>=====
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\
@@ Line 326: / Line 326: @@
 Somit:
-<math>{{U}^{k}}_{i}=\left( \begin{matrix}
+:<math>{{U}^{k}}_{i}=\left( \begin{matrix}
 \gamma  & \beta \gamma  & 0 & 0  \\
@@ Line 342: / Line 342: @@
 Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & a{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{a}^{k}} \\
@@ Line 360: / Line 360: @@
 '''Umkehr- Transformation:'''
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{a}^{i}}={{U}_{k}}^{i}a{{\acute{\ }}^{k}} \\
@@ Line 370: / Line 370: @@
 Denn:
-<math>{{U}_{k}}^{i}{{U}^{k}}_{l}{{a}^{l}}={{\delta }^{i}}_{l}{{a}^{l}}={{a}^{i}}</math>
+:<math>{{U}_{k}}^{i}{{U}^{k}}_{l}{{a}^{l}}={{\delta }^{i}}_{l}{{a}^{l}}={{a}^{i}}</math>
 In Matrizenschreibweise:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
@@ Line 423: / Line 423: @@
 =====Transformationsverhalten des Vierergradienten=====
-<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}:={{\partial }_{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}={{U}^{k}}_{i}\partial {{\acute{\ }}_{k}}</math>
+:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}:={{\partial }_{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}={{U}^{k}}_{i}\partial {{\acute{\ }}_{k}}</math>
 Mit der Identität
-<math>\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}</math>
+:<math>\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}</math>
 Das heißt jedoch
-<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}</math>
+:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}</math>
 transformiert sich wie <math>{{a}_{i}}</math>
@@ Line 439: / Line 439: @@
 Analog kann gezeigt werden:
-<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}:={{\partial }^{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}={{U}_{k}}^{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}</math>
+:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}:={{\partial }^{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}={{U}_{k}}^{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}</math>
-<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}</math>
+:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}</math>
 transformiert sich wie <math>{{a}^{i}}</math>
 , also kontravariant.  ( PRÜFEN !)

Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie: Difference between revisions

Revision as of 16:42, 12 September 2010

Verallgemeinerung

Der d´Alemebert-Operator

Viererimpuls

Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:

- er Einheitstensor

Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen) Σ→Σ´

Transformationsverhalten des Vierergradienten

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Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen) $Σ \to Σ \overset{´}{}$