Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ( es existiert kein Ruhezustand)

Einstein, 1904

Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung in Relation gesetzt wird !

Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !!

Also: ${\overline{r}}^2-c^2{t}^2=\overline{r}{\stackrel{´}{}}^2-c^{2}t{\stackrel{´}{}}^2$

Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant !

Formalisierung

Der raumzeitliche Abstand

${\left(ds\right)}^2:={\left(cdt\right)}^2-{\left(d\overline{r}\right)}^2$

ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen ( Lorentz- Transformationen !)

Man kann ${\left(ds\right)}^2$

als Skalarprodukt von Vierervektoren mit 3 Orts- und einer Zeitkomponente schreiben.

Diese Vektoren leben im Minkowski- Raum V (Spannen diesen auf).

V ist natürlich nicht euklidisch. Sonst würde Pythagoras gelten!

Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das Skalarprodukt invariant ist:

Def.: Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:

$\begin{array}{rl}& x^0:=ct\\ & x^{\alpha },\alpha =1,2,3\\ \end{array}$

Zeitkomponente und kartesische Komponenten des Ortsvektors $\overline{r}$

es schreibt sich

${\left(ds\right)}^2={\left(d{x}^0\right)}^2-{\left(d{x}^1\right)}^2-{\left(d{x}^2\right)}^2-{\left(d{x}^3\right)}^2$

Def.: als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:

$\begin{array}{rl}& x_0:=x^0\\ & x_{\alpha }:=-x^{\alpha }\alpha =1,2,3\\ \end{array}$

Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums $\tilde{V}$

$\tilde{V}$

ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden:

$\tilde{V}=\{lineareFunktionalel:V->R\}$

es schreibt sich

${\left(ds\right)}^2=d{x}^{0}d{x}_0+d{x}^{1}d{x}_1+d{x}^{2}d{x}_2+d{x}^{3}d{x}_3=d{x}^{i}d{x}_i$

Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...

Wenn ein Index oben ( kontravariant) und ein Index unten ( kovariant) steht.

Verallgemeinerung

Für beliebige 4- Vektoren $a^i$

gilt:

$\begin{array}{rl}& a_0=a^0\\ & a_{\alpha }=-a^{\alpha }\alpha =1,2,3\\ \end{array}$

Lorentz- Invariante lassen sich als Skalarprodukt $a_i{a}^i$

schreiben:

Der d´Alemebert-Operator

$\#:=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x_i}$

Mit

$\frac{\partial }{\partial x^i}=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }})=:{\partial }_i$

kovariant

Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !

$\frac{\partial }{\partial x_i}=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }})=:{\partial }^i$

kontravariant

-> Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !

Also:

$\Rightarrow \#=-{\partial }_i{\partial }^i$

Vierergeschwindigkeit

$\begin{array}{rl}& u^i:=\frac{d{x}^i}{ds}\\ & ds={\left(d{x}^{i}d{x}_i\right)}^{\frac{1}{2}}={(c^{2}d{t}^2-{\left(d\overline{r}\right)}^2)}^{\frac{1}{2}}=c{[1-{\left(\frac{1}{c}\frac{d\overline{r}}{dt}\right)}^2]}^{\frac{1}{2}}dt\\ & ds:={(1-{\beta }^2)}^{\frac{1}{2}}dt=\frac{c}{\gamma }dt\\ \end{array}$

Dabei gilt:

$\begin{array}{rl}& \beta :=\frac{v}{c}=\frac{1}{c}\left|\frac{d\overline{r}}{dt}\right|\\ & \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{rl}& u^0=\gamma \\ & u^{\alpha }=\frac{\gamma }{c}{v}^{\alpha }=\frac{1}{c}\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\\ \end{array}$

Mit der Eigenzeit

$d\tau =\frac{dt}{\gamma }$

Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen !

$u^i{u}_i=\frac{d{x}^{i}d{x}_i}{d{s}^2}=1$

ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant !

Viererimpuls

$\begin{array}{rl}& p^i:=m_{0}c{u}^i\\ & \Rightarrow p^i{p}_i={m_0}^2{c}^2{u}^i{u}_i={m_0}^2{c}^2\\ & p^0=\frac{m_{0}c}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}=m(v)c=p_0\\ & p^{\alpha }=\frac{m_0{v}^{\alpha }}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}=m(v)v^{\alpha }=-p_{\alpha }\\ \end{array}$

Physikalische Bedeutung von $p^0$

Mit der 4-er Kraft: $k^i:=\frac{d}{d\tau }{p}^i$

folgt die Leistungsbilanz:

$k^i{u}_i=\left[\frac{d}{d\tau }\left(m_{0}c{u}^i\right)\right]u_i$

Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu

$\begin{array}{rl}& k^i{u}_i=\frac{m_{0}c}{2}\frac{d}{d\tau }\left(u^i{u}_i\right)=0\\ & u^i{u}_i=1\\ \end{array}$

also lorentzinvariant !

Außerdem gilt:

$\begin{array}{rl}& k^i{u}_i=\frac{d}{d\tau }\left(p^0\right)u_0+k^{\alpha }{u}_{\alpha }=\gamma \frac{d}{d\tau }\left(p^0\right)+\frac{\gamma }{c}{k}^{\alpha }{v}_{\alpha }=\frac{\gamma }{c}[\frac{d}{d\tau }\left(c{p}^0\right)-\overline{k}\overline{v}]=0\\ & \left(c{p}^0\right)=Energie\\ & \overline{k}\overline{v}=Leistung\\ \end{array}$

Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an $\left(p^0\right)=\frac{E}{c}$

, also $E=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{(1-{\beta }^2)}}$

als Energie eines relativistischen Teilchens.

Das Skalarprodukt des Viererimpulses liefert lorentzinvariant $\begin{array}{rl}& p^i{p}_i=\frac{E^2}{c^2}-{\overline{p}}^2={m_0}^2{c}^2\\ & \overline{p}=\frac{m_0\overline{v}}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ \end{array}$

Also folgt an die Energie:

$E^2={m_0}^2{c}^4+c^2{\overline{p}}^2$

Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung

Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:

Für Tensoren zweiter Stufe gilt:

Möglich ist: $\begin{array}{rl}& A^{ik}\\ & {A^i}_k\\ & {A_i}^k\\ & A_{ik}\\ \end{array}$

Es gilt:

$\begin{array}{rl}& A^{00}={A^0}_0={A_0}^0=A_{00}\\ & A^{10}={A^1}_0=-{A_1}^0=-A_{10}\\ & A^{11}=-{A^1}_1=-{A_1}^1=A_{11}\\ & usw...\\ \end{array}$

Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein:

$spA={A^i}_i={A_i}^i$

- er Einheitstensor

${{\delta }^k}_i={{\delta }_i}^k$

wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch

$\begin{array}{rl}& {{\delta }_i}^k{a}^k=a^i\\ & {{\delta }_i}^k{a}^{kl}=a^{il}\\ \end{array}$

usw..

Der metrische Tensor

$\begin{array}{rl}& g^{ik}:={\delta }^{ik}={{\delta }^i}_{k}f\ddot{u}rk=0\\ & g^{ik}:={\delta }^{ik}=-{{\delta }^i}_{k}f\ddot{u}rk=1,2,3\\ & g^{ik}:={\delta }^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & -1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\\ \end{array}\right)=g_{ik}\\ & g^{ik}{a}_k={\delta }^{ik}{a}_k=a_{i}f\ddot{u}ri=0\Rightarrow a_i=a^i\\ & g^{ik}{a}_k={\delta }^{ik}{a}_k=-a_{i}f\ddot{u}ri=1,2,3\Rightarrow -a_i=a^i\\ \end{array}$

Also:

$g^{ik}{a}_k={\delta }^{ik}{a}_k=a^{i}f\ddot{u}ri=0,1,2,3$

Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik !

Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen) $\mathrm{\Sigma }\to \mathrm{\Sigma }\stackrel{´}{}$

$\begin{array}{rl}& x{\stackrel{´}{}}^i={U^i}_k{x}^k\\ & {U^i}_k=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

für $v\left|\right|x^1$

Somit:

${U^k}_i=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & \beta \gamma & 0& 0\\ \beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

Wobei ${\gamma }^2=\frac{1}{1-{\beta }^2}$

Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen:

$\begin{array}{rl}& a{\stackrel{´}{}}^i={U^i}_k{a}^k\\ & b{\stackrel{´}{}}^i={U^i}_k{b}^k\Rightarrow b{\stackrel{´}{}}_i=U_{ik}{b}^k={U_i}^k{b}_k\\ & a{\stackrel{´}{}}^{i}b{\stackrel{´}{}}_i={U^i}_k{U_i}^l{a}^k{b}_l=!=a^k{b}_k\\ & also\Rightarrow :\\ & {U^i}_k{U_i}^l={{\delta }_k}^l\\ \end{array}$

U ist also eine orthogonale Trafo

Umkehr- Transformation:

$\begin{array}{rl}& a^i={U_k}^{i}a{\stackrel{´}{}}^k\\ & a_i={U^k}_{i}a{\stackrel{´}{}}_k\\ \end{array}$

Denn:

${U_k}^i{U^k}_l{a}^l={{\delta }^i}_l{a}^l=a^i$

In Matrizenschreibweise:

$\begin{array}{rl}& {U^i}_k=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right){U^k}_l=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & \beta \gamma & 0& 0\\ \beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\\ & {U^i}_k{U^k}_l=\left(\begin{array}{cccc}{\gamma }^2-{\beta }^2{\gamma }^2& 0& 0& 0\\ 0& -{\beta }^2{\gamma }^2+{\gamma }^2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)={{\delta }^i}_l\\ \end{array}$

Transformationsverhalten des Vierergradienten

$\frac{\partial }{\partial x^i}:={\partial }_i=\frac{\partial }{\partial x{\stackrel{´}{}}^k}\frac{\partial x{\stackrel{´}{}}^k}{\partial x^i}={U^k}_i\frac{\partial }{\partial x{\stackrel{´}{}}^k}={U^k}_i\partial {\stackrel{´}{}}_k$

Mit der Identität

$\frac{\partial x{\stackrel{´}{}}^k}{\partial x^i}={U^k}_i$

Das heißt jedoch

$\frac{\partial }{\partial x^i}$

transformiert sich wie $a_i$

, also kovariant

Analog kann gezeigt werden:

$\frac{\partial }{\partial x_i}:={\partial }^i=\frac{\partial }{\partial x{\stackrel{´}{}}_k}\frac{\partial x{\stackrel{´}{}}_k}{\partial x_i}={U_k}^i\frac{\partial }{\partial x{\stackrel{´}{}}_k}$

$\frac{\partial }{\partial x_i}$

transformiert sich wie $a^i$

, also kontravariant. ( PRÜFEN !)