Drehimpulsdarstellung und Streuphasen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Drehimpulsdarstellung und Streuphasen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Annahme: Kugelsymmetrisches Streupotenzial V(r )

Erforderlich ist die Umrechung der Impulsdarstellung $|\overline{k}⟩$ in die Drehimpulsdarstellung $|lm⟩$ freier Teilchen.

Ziel:

Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen mit kleinem l als Näherung für KLEINE Energien

$E=\frac{{\hslash }^2{\overline{k}}^2}{2m}$ klein

Die auslaufende Welle schreibt sich dann entwickelt:

$\mathrm{\Psi }(\overline{r})=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{r}{u}_l(r)P_l(\cos \vartheta )$

(Mit den Legendre- Polynomen $P_l(\cos \vartheta )$)

Es können die Kugelflächenfunktionen genommen werden, die von m, also $\varphi$ unabhängig sind wegen des kugelsymmetrischen Potenzials → es treten nur Drehimpulseigenfunktionen mit m=0 auf !

Einlaufende ebene Welle

${\mathrm{\Psi }}_e(\overline{r})=e^{i\overline{k}\overline{r}}=e^{ikr\cos \vartheta }=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{r}{u}_l(r)P_l(\cos \vartheta )$

Die einlaufende Welle ist also ein Legendre- Polynom vom Grad l

Es gilt die Orthogonalität: $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d\xi P_l(\xi )P_{l\stackrel{´}{}}(\xi )=\frac{2}{2l+1}{\delta }_{ll\stackrel{´}{}}$

Dabei taucht der Entartungsgrad $2l+1$ als inverser Normierungsfaktor auf. (Der Betrag der Legendre- Polynome ist also indirekt proportional zum Entartungsgrad!)

Aus der Orthogonalitätsrelation erhält man mit Multiplikation mit $P_{l\stackrel{´}{}}(\cos \vartheta )$ und Integration $d\xi$ dass:

$\begin{array}{ll}& \frac{2l\stackrel{´}{}+1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d\xi e^{ikr\xi }{P}_{l\stackrel{´}{}}(\xi )=\frac{1}{r}{u}_{l\stackrel{´}{}}(r)\\ & e^{ikr\xi }:=u\stackrel{´}{}\\ & P_{l\stackrel{´}{}}(\xi ):=v\\ \end{array}$

im asymptotischen Verhalten $r\to \mathrm{\infty }$ gewinnt man ( Striche eingespart) durch Wiederholtes Anwenden der partiellen Integration:

$\frac{1}{r}{u}_l(r)=\frac{2l+1}{2}\{\frac{1}{ikr}{[e^{ikr\xi }{P}_l(\xi )]}_{-1}^{+1}-\frac{1}{{\left(ikr\right)}^2}{[e^{ikr\xi }{P}_l\stackrel{´}{}(\xi )]}_{-1}^{+1}+\frac{1}{{\left(ikr\right)}^3}{[e^{ikr\xi }{P}_l\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(\xi )]}_{-1}^{+1}+...\}$

Mit

$\begin{array}{ll}& P_l(1)=1\\ & P_l(-1)={(-1)}^l\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& \begin{array}{c}\lim \\ r\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\frac{1}{r}{u}_l(r)=\frac{2l+1}{2}\frac{1}{ikr}\{e^{ikr}-{(-1)}^l{e}^{-ikr}\}=\frac{2l+1}{2}\frac{1}{ikr}{i}^l\{e^{i(kr-l\frac{\pi }{2})}-e^{-i(kr-l\frac{\pi }{2})}\}\\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ r\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\frac{1}{r}{u}_l(r)=(2l+1)\frac{i^l}{kr}\sin (kr-l\frac{\pi }{2})\\ \end{array}$

Zusammenhang mit der freien Schrödingergleichung

${\mathrm{\Psi }}_e(\overline{r})=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{r}{u}_l(r)P_l(\cos \vartheta )$ ist Lösung der freien Schrödingergleichung.

$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }-E){\mathrm{\Psi }}_e=0$

Mit $E=\frac{{\hslash }^2{\overline{k}}^2}{2m}$ Separation in Kugelkoordinaten erlaubt:

$\begin{array}{ll}& {\hat{L}}^2{Y}_l^{m=0}={\hslash }^{2}l(l+1)Y_l^{m=0}\\ & Y_l^{m=0}\stackrel{~}{}{P}_l(\cos \vartheta )\\ \end{array}$

Es folgt die Bestimmungsgleichung für die radialen Funktionen:

$\begin{array}{ll}& u_l\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(r)+(k^2-\frac{l(l+1)}{r^2})u_l(r)=0\\ & mit\\ & u_l(0)=0\\ \end{array}$

Vergl. S. 84, §3.3

Voraussetzung ist die REGULARITÄT: $⟨V⟩<\mathrm{\infty }$

Die Lösung nach Schwabel, Seite 278 lautet:

$\frac{1}{r}{u}_l(r)=\frac{2l+1}{{(-i)}^l}{j}_l(kr)$

Also die sphärischen Besselfunktionen !

Die radialen Lösungen für das Streuproblem ( Entwicklungsterme für die einfallende Welle) sind die sphärischen Besselfunktionen

Asymptotische Streuphasen

Wieder entwickeln wir in Kugelflächenfunktionen. Diesmal jedoch die asymptotische Streuwelle:

$\begin{array}{c}\lim \\ r\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}{\mathrm{\Psi }}_S(\overline{r})=f(\vartheta )\frac{e^{ikr}}{r}$

Es folgt:

$f(\vartheta )=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_l{P}_l(\cos \vartheta )$

Setzen wir dies in den Wirkungsquerschnitt{{#set:Fachbegriff=Wirkungsquerschnitt|Index=Wirkungsquerschnitt}} ein, so folgt für den totalen Wirkungsquerschnitt

$\begin{array}{cc}& {\sigma }_{tot.}=\underset{}{\overset{}{\int }}d\mathrm{\Omega }{|f(\vartheta )|}^2\\ & auerdem\\ & \underset{-1}{\overset{1}{\int }}d\xi P_l(\xi )P_{l\stackrel{\stackrel{´}{}}{}}(\xi )=\frac{2}{2l+1}{\delta }_{ll\stackrel{\stackrel{´}{}}{}}\\ & \Rightarrow {\sigma }_{tot.}=\underset{}{\overset{}{\int }}d\mathrm{\Omega }{|f(\vartheta )|}^2=2\pi \sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{2l+1}{\left|f_l\right|}^2=:\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_l\\ \end{array}$

Man spricht in diesem Fall von einer Entwicklung nach Partialwellen{{#set:Fachbegriff=Partialwellen|Index=Partialwellen}} , l=0,1,2,3...

${\sigma }_l=\frac{4\pi }{2l+1}{\left|f_l\right|}^2$

Die $f_l$ müssen dabei noch bestimmt werden:

$\begin{array}{ll}& \begin{array}{c}\lim \\ r\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\mathrm{\Psi }(\overline{r})=e^{ikr\cos \vartheta }+f(\vartheta )\frac{e^{ikr}}{r}\\ & \begin{array}{c}\lim \\ r\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\sum _l\frac{u_l}{r}{P}_l(\xi )=\sum _l\{(2l+1)\frac{i^l}{kr}\sin (kr-l\frac{\pi }{2})+f_l\frac{e^{ikr}}{r}\}{P}_l(\xi )\\ \end{array}$

Dieser asymptotische Verlauf muss sich jedoch auch in der Form

$\begin{array}{c}\lim \\ r\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\sum _l\frac{u_l}{r}{P}_l(\xi )=C_l\sin (kr-l\frac{\pi }{2}+{\delta }_l)$

darstellen lassen. Dabei findet sich in $\sin (kr-l\frac{\pi }{2}+{\delta }_l)$

die sogenannte asymptotische Phasenverschiebung ${\delta }_l$ der auslaufenden (freien) Partialwelle gegenüber der einlaufenden freien Partialwelle.

Der Koeffizient $C_l$ muss durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden:

$\frac{C_l}{2i}\{e^{i(kr-l\frac{\pi }{2}+{\delta }_l)}-e^{-i(kr-l\frac{\pi }{2}+{\delta }_l)}\}=\{\frac{(2l+1)}{2i}\frac{i^l}{k}[e^{i(kr-l\frac{\pi }{2})}-e^{-i(kr-l\frac{\pi }{2})}]+f_l{e}^{ikr}\}$

Der Koeffizientenvergleich erfolgt über den separierten Vergleich der Terme mit $e^{\pm ikr}$:

$e^{-ikr}:C_l=\frac{(2l+1)}{k}{i}^l{e}^{i{\delta }_l}$

$e^{ikr}:\frac{1}{2i}{C}_l{e}^{-il\frac{\pi }{2}}{e}^{i{\delta }_l}=\frac{(2l+1)}{2i}\frac{i^l}{k}{e}^{-il\frac{\pi }{2}}+f_l$

Damit folgt:

$\begin{array}{ll}& f_l=\frac{2l+1}{2ik}{i}^l{e}^{-il\frac{\pi }{2}}(e^{i2{\delta }_l}-1)=\frac{2l+1}{2ik}(e^{i2{\delta }_l}-1)\\ & \Rightarrow f_l=\frac{2l+1}{k}{e}^{i{\delta }_l}\sin {\delta }_l\\ \end{array}$

Mit der

Streuamplitude

$f_l$und der

Streuphase

${\delta }_l$ der l-ten Partialwelle.

Es folgt:

$\Rightarrow {\sigma }_l=\frac{4\pi }{k^2}(2l+1){\sin }^2{\delta }_l$

Spezialfall für $l=0$ ist die sogenannte s- Welle. Diese ist isotrop wegen $P_0(\xi )=1$ und damit nicht mehr von $\vartheta$ abhängig. Ihr Streuquerschnitt lautet ${\sigma }_0=\frac{4\pi }{k^2}{\sin }^2{\delta }_0$

Im Prinzip wird ${\delta }_l$ aus der Schrödingergleichung mit dem Potenzial V(r) bestimmt.

Bemerkung

Bei genügend kleinen Energien $E=\frac{{\hslash }^2{\overline{k}}^2}{2m}$ werden nur die niedrigsten Partialwellen ( für kleine l) gestreut. Denn: in$\sigma =\sum _l{\sigma }_l=\sum _l\frac{4\pi }{k^2}(2l+1){\sin }^2{\delta }_l$

tragen nur die l mit $l\le ka$ bei. Dabei ist a die Reichweite des Potenzials ! Grund (aus semiklassischer Betrachtung): Es falle ein Teilchen mit $\overline{p}=\hslash \overline{k}$ ein: Dabei:

$\left|\overline{L}\right|=|\overline{r}\times \overline{p}|=bp=\hslash kb=\hslash \sqrt{l(l+1)}$

Dies impliziert jedoch: Stoßparameter $b=\frac{\sqrt{l(l+1)}}{k}\le a\Rightarrow l\approx \sqrt{l(l+1)}\le ka$

Die Beziehungen gelten jedoch nur näherungsweise ! Das folgende Bild zeigt die Streuwelle ${\mathrm{\Psi }}_S(\overline{r})=f(\vartheta )\frac{e^{ikr}}{r}$ für die Streuung einer ebenen Welle $e^{ikz}$ an einem abstoßenden Potenzial.

Hier ist der Verlauf der Streuquerschnitte ${\sigma }_l$ der jeweils l-ten Partialwelle zu sehen: