Streuamplitude und Streuquerschnitt

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Streuamplitude und Streuquerschnitt basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=6|Abschnitt=2}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Voraussetzung $\begin{array}{c}\lim \\ r\stackrel{´}{}\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}V(\overline{r}\stackrel{´}{})=0$ hinreichend rasch!

Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden.

das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben. Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r-> unendlich der Integrand nur mit $r\stackrel{´}{}<<r$ bei. r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die Fernfeldlösungen{{#set:Fachbegriff=Fernfeldlösungen|Index=Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !

Wir können also ${\hat{G}}_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

für r>> r´ entwickeln:

$\begin{array}{rl}& |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|=\sqrt{{(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})}^2}=\sqrt{({\overline{r}}^2-2\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}+\overline{r}\stackrel{´}{})}=r\sqrt{(1-2\frac{\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}}{r^2}+{\left(\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\right)}^2)}\approx r\sqrt{(1-2\frac{\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}}{r^2})\approx }r-\overline{r}\stackrel{´}{}{\overline{e}}_r\\ & {\overline{e}}_r=\frac{\overline{r}}{r}\\ \end{array}$

Somit

${\hat{G}}_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\cong -\frac{e^{ik(r-\overline{r}\stackrel{´}{}{\overline{e}}_r)}}{4\pi r}$

Dabei bezeichnet $e^{ik(r-\overline{r}\stackrel{´}{}{\overline{e}}_r)}$ die Streuphase{{#set:Fachbegriff=Streuphase|Index=Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert !

$\frac{1}{4\pi r}$ ist die Streuamplitude{{#set:Fachbegriff=Streuamplitude|Index=Streuamplitude}}, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !

Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!

${\hat{G}}_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\cong -\frac{e^{ikr}}{4\pi r}{e}^{-ik\overline{r}\stackrel{´}{}{\overline{e}}_r}$

Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen ! Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben werden:

$\begin{array}{c}\lim \\ r->\mathrm{\infty }\\ \end{array}{\mathrm{\Psi }}^{(+)}(\overline{r})=e^{i\overline{k}\overline{r}}-\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{e^{ikr}}{4\pi r}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{e}^{-ik\overline{r}\stackrel{´}{}{\overline{e}}_r}V(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\Psi }}^{(+)}(\overline{r}\stackrel{´}{})$

$\begin{array}{c}\lim \\ r->\mathrm{\infty }\\ \end{array}{\mathrm{\Psi }}^{(+)}(\overline{r})=e^{i\overline{k}\overline{r}}+f({\overline{e}}_r)\frac{e^{ikr}}{r}$

Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung !

• $e^{i\overline{k}\overline{r}}$ als durchlaufende Welle
• $\frac{e^{ikr}}{4\pi r}$ als auslaufende Kugelwelle

Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude

$f({\overline{e}}_r)=-\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{1}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{e}^{-ik\overline{r}\stackrel{´}{}{\overline{e}}_r}V(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\Psi }}^{(+)}(\overline{r}\stackrel{´}{})$

Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung ${\overline{e}}_r=\frac{\overline{r}}{r}$ abhängt: Die Streuung ist elastisch !

Wirkungsquerschnitt

Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum.

Dabei ist definiert:

$\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}$

Strahlfläche{{#set:Fachbegriff=Strahlfläche|Index=Strahlfläche}}:= Fläche, auf die der Strahl trifft

$\sigma$: streuende Fläche

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:

Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt)

$\sigma$

$\sigma :=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{m}^2}=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{m}^2$

Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=\frac{Zahl(gestreut)ind\mathrm{\Omega }({\overline{e}}_r)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{m}^2}=\frac{Zahl(gestreut)ind\mathrm{\Omega }({\overline{e}}_r)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{m}^2$

$d\sigma =\frac{{\left({\overline{j}}_s\right)}_r{r}^{2}d\mathrm{\Omega }}{\left|{\overline{j}}_e\right|}$

$d\mathrm{\Omega }:=\sin \vartheta d\vartheta d\varphi$

Zur einlaufenden Welle:

${\mathrm{\Psi }}_e(\overline{r})=e^{i\overline{k}\overline{r}}$

gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:

${\overline{j}}_e=\frac{\hslash }{2im}({\mathrm{\Psi }}_e*\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}_e-{\mathrm{\Psi }}_e\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}_e*)=\frac{\hslash \overline{k}}{m}{\mathrm{\Psi }}_e{\mathrm{\Psi }}_e*=\frac{\hslash \overline{k}}{m}{\left|\mathrm{\Psi }\right|}^2$

Zur Streuwelle in Richtung ${\overline{e}}_r=\frac{\overline{r}}{r}$

also: ${\mathrm{\Psi }}_S(\overline{r})=f({\overline{e}}_r)\frac{e^{ikr}}{r}$

gehört die Radialkomponente der Stromdichte:

$\begin{array}{rl}& {\left({\overline{j}}_s\right)}_r=\frac{\hslash }{2im}({\mathrm{\Psi }}_S*\frac{\partial }{\partial r}{\mathrm{\Psi }}_S-{\mathrm{\Psi }}_S\frac{\partial }{\partial r}{\mathrm{\Psi }}_S*)=\frac{\hslash }{2im}{|f({\overline{e}}_r)|}^2(\frac{e^{-ikr}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{e^{ikr}}{r}-\frac{e^{ikr}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{e^{-ikr}}{r})\\ & \Rightarrow {\left({\overline{j}}_s\right)}_r=\frac{\hslash }{2im}{|f({\overline{e}}_r)|}^2(\frac{e^{-ikr}}{r}(\frac{ik}{r}-\frac{1}{r^2})e^{ikr}-\frac{e^{ikr}}{r}(-\frac{ik}{r}-\frac{1}{r^2})e^{-ikr})=\frac{\hslash \overline{k}}{m{r}^2}{|f({\overline{e}}_r)|}^2\\ \end{array}$

Somit ergibt sich die einfache Form des differenziellen Wirkungsquerschnitts{{#set:Fachbegriff=differenziellen Wirkungsquerschnitts|Index=differenziellen Wirkungsquerschnitts}}:

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}={|f({\overline{e}}_r)|}^2$

Und der totale Wirkungsquerschnitt{{#set:Fachbegriff=totale Wirkungsquerschnitt|Index=totale Wirkungsquerschnitt}} folgt zu

${\sigma }_{tot.}=\underset{}{\overset{}{\int }}d\mathrm{\Omega }{|f({\overline{e}}_r)|}^2$

Mit der Streuamplitude{{#set:Fachbegriff=Streuamplitude|Index=Streuamplitude}}

$f({\overline{e}}_r)=-\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{1}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{e}^{-ik\overline{r}\stackrel{´}{}{\overline{e}}_r}V(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\Psi }}^{(+)}(\overline{r}\stackrel{´}{})$