Variationsverfahren: Difference between revisions

Revision as of 19:17, 11 September 2010

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Variationsverfahren basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=7}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

$\hat{H} | Ψ_{k} ⟩ = E_{k} | Ψ_{k} ⟩$

$⟨ Ψ_{n} | Ψ_{k} ⟩ = δ_{n k}$

bilden ein vollständiges Orthonormalsystem

Dies sind die nötigen Vortaussetzungen zur Durchführung des Variationsprinzips:

Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:

$E_{0} \leq E_{1} \leq E_{2} \leq E_{3} . . . . .$

Dann gilt für einen beliebigen Zustand $| Ψ ⟩$

, im Allgemeinen kein Eigenzustand:

$\begin{array}{l} ⟨ Ψ | \hat{H} | Ψ ⟩ = \sum_{n}^{} ⟨ Ψ | \hat{H} | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ = \sum_{n}^{} E_{n} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ \\ E_{n} \geq E_{0} \\ \Rightarrow \sum_{n}^{} E_{n} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ \geq E_{0} \sum_{n}^{} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ = E_{0} ⟨ Ψ | Ψ ⟩ \end{array}$

Wodurch uns die Ungleichung geben ist:

$\frac{\sum_{n}^{} E_{n} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩}{⟨ Ψ | Ψ ⟩} \geq E_{0}$

Also:

$\frac{⟨ Ψ | \hat{H} | Ψ ⟩}{⟨ Ψ | Ψ ⟩} \geq E_{0}$

als Extremal- Prinzip

Näherung für den Grundzustand:

Mache einen geeigneten Ansatz für eine Testfunktion $| Ψ ⟩$

mit verschiedenen Parametern, also $Ψ (\bar{r}, α, β, . . .)$

.

Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.

Variiere dann die Parameter, bis $\frac{⟨ Ψ | \hat{H} | Ψ ⟩}{⟨ Ψ | Ψ ⟩} = E_{}$

minimal wird:

$\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial α} E = \frac{\partial}{\partial β} E = . . . =! = 0 \\ \Rightarrow α_{0}, β_{0}, . . . \end{array}$

Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie $E_{0} \approx E (α_{0}, β_{0}, . . . .)$

.

Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand

$Ψ_{0} \approx Ψ (\bar{r}, α_{0}, β_{0}, . . .)$

Bemerkung

Die Näherung von $E_{0} \approx E (α_{0}, β_{0}, . . . .)$

ist besser als die Näherung $Ψ_{0} \approx Ψ (\bar{r}, α_{0}, β_{0}, . . .)$

in folgendem Sinn:

$Ψ (\bar{r}, α_{0}, β_{0}, . . .) = Ψ_{0} + λ ϕ$

Wobei die genäherte Funktion $Ψ (\bar{r}, α_{0}, β_{0}, . . .)$

die exakte, also $Ψ_{0}$

um den Term $λ ϕ$

verfehle:

Mit

$⟨ ϕ | Ψ_{0} ⟩ = 0$

Für kleine $| λ |$

gilt, da E bei $E_{0}$

ein Minimum hat:

$E (α_{0}, β_{0}, . . . .) = E_{0} + λ^{2} A + . . .$

Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.

Näherung für angeregte Zustände:

$E_{0} \approx E (α_{0}, β_{0}, . . . .)$

und $Ψ_{0} \approx Ψ (\bar{r}, α_{0}, β_{0}, . . .)$

sind also näherungsweise bekannt.

Nun wähle man eine Testfunktion $Ψ (\bar{r}, α, β, . . .)$

mit $⟨ Ψ (\bar{r}, α, β, . . .) | Ψ_{0} ⟩ = 0$

. Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten !

Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !)

Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis $\frac{⟨ Ψ | \hat{H} | Ψ ⟩}{⟨ Ψ | Ψ ⟩} = E_{}$

minimal wird.

Dann hat man eine Näherung $E_{1} \approx E_{}$

und $Ψ_{1} \approx Ψ (\bar{r}, α_{1}, β_{1}, . . .)$

Beweis:

$\begin{array}{l} ⟨ Ψ | \hat{H} | Ψ ⟩ = \sum_{n}^{} ⟨ Ψ | \hat{H} | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ = \sum_{n = 0}^{\infty} E_{n} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ \\ ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ = 0, f \ddot{u} r n = 0 \\ \Rightarrow ⟨ Ψ | \hat{H} | Ψ ⟩ = \sum_{n = 1}^{\infty} E_{n} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ \\ \Rightarrow E_{n} \geq E_{1} \\ \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} E_{n} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ \geq E_{1} \sum_{n = 1}^{\infty} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ \\ \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} E_{n} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩ \geq E_{1} ⟨ Ψ | Ψ ⟩ \Rightarrow E_{1} \leq \frac{\sum_{n = 1}^{\infty} E_{n} ⟨ Ψ | Ψ_{n} ⟩ ⟨ Ψ_{n} | Ψ ⟩}{⟨ Ψ | Ψ ⟩} \\ \Rightarrow E_{1} \leq \frac{⟨ Ψ | \hat{H} | Ψ ⟩}{⟨ Ψ | Ψ ⟩} \end{array}$

Weitere Näherungsmethoden

beispielsweise WKB- Näherung (, Wentzel, Kramer, Brillouin (1926)

sogenannte "quasiklassische Näherung":

Gut, falls die De- Broglie Wellenlänge viel kleiner ist als die Länge, auf der sich das Potenzial wesentlich ändert.

Fließbach, S. 155 ff.

@@ Line 7: / Line 7: @@
 <math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>
-<math>\left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math>
+<math>\left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math>
 bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
@@ Line 23: / Line 23: @@
 <math>\begin{align}
-& \left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle  \\
+& \left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle  \\
 & {{E}_{n}}\ge {{E}_{0}} \\
-& \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle \ge {{E}_{0}}\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle ={{E}_{0}}\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle  \\
+& \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle \ge {{E}_{0}}\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle ={{E}_{0}}\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle  \\
 \end{align}</math>
@@ Line 33: / Line 33: @@
 Wodurch uns die Ungleichung geben ist:
-<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>
+<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>
 Also:
-<math>\frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>
+<math>\frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>
 als Extremal- Prinzip
@@ Line 50: / Line 50: @@
 Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.
-Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>
+Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>
 minimal wird:
@@ Line 90: / Line 90: @@
 Mit
-<math>\left\langle  \phi  \right|\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>
+<math>\left\langle  \phi   |  {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>
 Für kleine <math>\left| \lambda  \right|</math>
@@ Line 111: / Line 111: @@
 Nun wähle man eine Testfunktion <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math>
-mit <math>\left\langle  \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) \right|\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>
+mit <math>\left\langle  \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)  |  {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>
 . Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten !
@@ Line 117: / Line 117: @@
 Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !)
-Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>
+Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>
 minimal wird.
@@ Line 129: / Line 129: @@
 <math>\begin{align}
-& \left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle  \\
+& \left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle  \\
-& \left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle =0,f\ddot{u}r\quad n=0 \\
+& \left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle =0,f\ddot{u}r\quad n=0 \\
-& \Rightarrow \left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle  \\
+& \Rightarrow \left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle  \\
 & \Rightarrow {{E}_{n}}\ge {{E}_{1}} \\
-& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle \ge {{E}_{1}}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle  \\
+& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle \ge {{E}_{1}}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle  \\
-& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle \ge {{E}_{1}}\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi  \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle } \\
+& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle \ge {{E}_{1}}\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle } \\
-& \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi  \right|\left| \Psi  \right\rangle } \\
+& \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle } \\
 \end{align}</math>

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