Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

${\hat {H}}\left|\Psi \right\rangle =E\left|\Psi \right\rangle$

soll berechnet werden, wobei

${\hat {H}}={{\hat {H}}_{0}}+{{\hat {H}}^{1}}$

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $\varepsilon$

linear entwickelt werden kann:

${{\hat {H}}_{1}}=\varepsilon {\hat {V}}$

(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie ${{E}_{n}}^{(0)}$

mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir das Problem anpassen:

Das ungestörte Problem schreibt sich dann:

${{\hat {H}}_{0}}\left|n,\alpha \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left|n,\alpha \right\rangle \quad \alpha =1,...,s$

Damit bezeichnet $\alpha =1,...,s$

die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet!

Durch ${{\hat {H}}_{1}}=\varepsilon {\hat {V}}$

wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:

${\hat {H}}\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle ={{E}_{k}}\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle$

Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung

$\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left|{{\Psi }_{k}}^{(2)}\right\rangle +...$

ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes

$\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}{{c}_{\alpha }}\left|k,\alpha \right\rangle$

möglich:

Wähle nun $\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

im ungestörten Eigenraum so, dass für ${\begin{matrix}\lim \\\varepsilon \to 0\\\end{matrix}}\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

(eindeutig bestimmt).

Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung ${{\varepsilon }^{f}}$

liefert:

f=1

$\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle \right)=\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\sum \limits _{\alpha }{{c}_{\alpha }}\left|k,\alpha \right\rangle$

1. Näherung

Das Skalarprodukt mit $\left\langle k,\beta \right|\to \left\langle k,\beta |k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }}$

"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer $\beta$

heraus:

${\begin{aligned}&\left\langle k,\beta \right|\left({{\hat {H}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\sum \limits _{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left(\left\langle k,\beta |k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right|{\hat {V}}\left|k,\alpha \right\rangle \right)}\\&\left\langle k,\beta \right|\left({{\hat {H}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =0\\&\left\langle k,\beta |k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\beta \alpha }}\\&\left\langle k,\beta \right|{\hat {V}}\left|k,\alpha \right\rangle :={{\hat {V}}_{\beta \alpha }}\\\end{aligned}}$

Somit folgt:

$0=\sum \limits _{\alpha }{\left({{\hat {V}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }}\right){{c}_{\alpha }}}$

Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix${{\hat {V}}_{\beta \alpha }}$

${\begin{aligned}&0=\sum \limits _{\alpha }{\left({{\hat {V}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }}\right){{c}_{\alpha }}}=\left({\hat {V}}-{{E}_{k}}^{(1)}1\right){\bar {c}}\\&{\bar {c}}\in {{C}^{s}}\\&{\hat {V}}\in {{C}^{s}}\times {{C}^{s}}\\\end{aligned}}$

Die Gleichung heißt auch "Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares Gleichungssystem.

Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen Störungen.

Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante $\det \left({\hat {V}}-{{E}_{k}}^{(1)}1\right)$ ,

die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also $\det \left({\hat {V}}-{{E}_{k}}^{(1)}1\right)=0$

also:

$\left|{\begin{matrix}{{\hat {V}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)}&{{\hat {V}}_{12}}&...&{{\hat {V}}_{1s}}\\{{\hat {V}}_{21}}&{{\hat {V}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)}&...&...\\...&...&...&...\\{{\hat {V}}_{s1}}&...&...&{{\hat {V}}_{ss}}-{{E}_{k}}^{(1)}\\\end{matrix}}\right|=0$

Für den Fall ${\hat {V}}$

hermitesch folgt ${{\hat {V}}_{\beta \alpha }}={{\hat {V}}_{\alpha \beta }}*$

Dann existieren reelle Eigenwerte ${{E}_{k}}^{(1)}$

und die Eigenvektoren zu ${{E}_{k}}^{(1)}\neq {{E}_{l}}^{(1)}$

sind orthogonal!

Bemerkung: Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden!

Beispiel: 2 entartete Zustände

Säkulardeterminante

${\begin{aligned}&\left|{\begin{matrix}{{\hat {V}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)}&{{\hat {V}}_{12}}\\{{\hat {V}}_{21}}&{{\hat {V}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)}\\\end{matrix}}\right|=0\\&{{\left({{E}_{k}}^{(1)}\right)}^{2}}-\left({{\hat {V}}_{11}}+{{\hat {V}}_{22}}\right){{E}_{k}}^{(1)}+\left({{\hat {V}}_{11}}{{\hat {V}}_{22}}-{{\hat {V}}_{12}}{{\hat {V}}_{21}}\right)=0\\&{{\hat {V}}_{12}}{{\hat {V}}_{21}}={{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}\\&\Rightarrow {{E}_{k}}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[\left({{\hat {V}}_{11}}+{{\hat {V}}_{22}}\right)\pm {\sqrt {{{\left({{\hat {V}}_{11}}-{{\hat {V}}_{22}}\right)}^{2}}+4{{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}}}\right]\\\end{aligned}}$

Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:

$E={{E}^{(0)}}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}={{E}^{(0)}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\left[\left({{\hat {V}}_{11}}+{{\hat {V}}_{22}}\right)\pm {\sqrt {{{\left({{\hat {V}}_{11}}-{{\hat {V}}_{22}}\right)}^{2}}+4{{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}}}\right]$

Dabei gibt ${\sqrt {{{\left({{\hat {V}}_{11}}-{{\hat {V}}_{22}}\right)}^{2}}+4{{\left|{{\hat {V}}_{12}}\right|}^{2}}}}$ die Energieaufspaltung an. E ist, wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in $\varepsilon$,

also linear zur Störung: