Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung: Difference between revisions
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Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: | Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: | ||
<math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </math> | :<math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
soll berechnet werden, wobei | soll berechnet werden, wobei | ||
<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> | :<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> | ||
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. | durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. | ||
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linear entwickelt werden kann: | linear entwickelt werden kann: | ||
<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> | :<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> | ||
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !) | ( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !) | ||
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Das ungestörte Problem schreibt sich dann: | Das ungestörte Problem schreibt sich dann: | ||
<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n,\alpha \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n,\alpha \right\rangle \quad \alpha =1,...,s</math> | :<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n,\alpha \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n,\alpha \right\rangle \quad \alpha =1,...,s</math> | ||
Damit bezeichnet <math>\alpha =1,...,s</math> | Damit bezeichnet <math>\alpha =1,...,s</math> | ||
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wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben: | wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben: | ||
<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math> | :<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math> | ||
Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung | Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung | ||
<math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +...</math> | :<math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +...</math> | ||
ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes | ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes | ||
<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{c}_{\alpha }}\left| k,\alpha \right\rangle </math> | :<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{c}_{\alpha }}\left| k,\alpha \right\rangle </math> | ||
möglich: | möglich: | ||
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'''f=1''' | '''f=1''' | ||
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}}\left| k,\alpha \right\rangle </math> | :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}}\left| k,\alpha \right\rangle </math> | ||
1. Näherung | 1. Näherung | ||
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heraus: | heraus: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle k,\beta \right|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left( \left\langle k,\beta | k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right|\hat{V}\left| k,\alpha \right\rangle \right)} \\ | & \left\langle k,\beta \right|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left( \left\langle k,\beta | k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right|\hat{V}\left| k,\alpha \right\rangle \right)} \\ | ||
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Somit folgt: | Somit folgt: | ||
<math>0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}</math> | :<math>0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}</math> | ||
Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix<math>{{\hat{V}}_{\beta \alpha }}</math> | Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix<math>{{\hat{V}}_{\beta \alpha }}</math> | ||
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: | : | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}=\left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)\bar{c} \\ | & 0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}=\left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)\bar{c} \\ | ||
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also: | also: | ||
<math>\left| \begin{matrix} | :<math>\left| \begin{matrix} | ||
{{{\hat{V}}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)} & {{{\hat{V}}}_{12}} & ... & {{{\hat{V}}}_{1s}} \\ | {{{\hat{V}}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)} & {{{\hat{V}}}_{12}} & ... & {{{\hat{V}}}_{1s}} \\ | ||
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Säkulardeterminante | Säkulardeterminante | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left| \begin{matrix} | & \left| \begin{matrix} | ||
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Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E: | Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E: | ||
<math>E={{E}^{(0)}}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}={{E}^{(0)}}+\frac{\varepsilon }{2}\left[ \left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right)\pm \sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}} \right]</math> | :<math>E={{E}^{(0)}}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}={{E}^{(0)}}+\frac{\varepsilon }{2}\left[ \left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right)\pm \sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}} \right]</math> | ||
Dabei gibt <math>\sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}}</math> | Dabei gibt <math>\sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}}</math> |
Revision as of 16:49, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=4}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
soll berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie
mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir das Problem anpassen:
Das ungestörte Problem schreibt sich dann:
die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet !
wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:
Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung
ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes
möglich:
im ungestörten Eigenraum so, dass für
( eindeutig bestimmt).
Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung
liefert:
f=1
1. Näherung
"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer
heraus:
Somit folgt:
Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix
Die Gleichung heißt auch "Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares Gleichungssystem.
Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen Störungen.
Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante
, die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also
also:
Dann existieren reelle Eigenwerte
sind orthogonal !
Bemerkung: Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden !
Beispiel: 2 entartete Zustände
Säkulardeterminante
Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:
Dabei gibt die Energieaufspaltung an. E ist , wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in , also linear zur Störung: