Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung: Difference between revisions

Revision as of 18:18, 11 September 2010

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=3}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

( Schrödinger)

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

$\hat{H} | Ψ ⟩ = E | Ψ ⟩$

muss berechnet werden, wobei

$\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}^{1}$

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $ε$

linear entwickelt werden kann:

${\hat{H}}_{1} = ε \hat{V}$

( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)

Das ungestörte Problem schreibt sich:

${\hat{H}}_{0} | n ⟩ = {E_{n}}^{(0)} | n ⟩$

Für kleine $ε$

sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von $\hat{H}$

entwickeln lassen:

$\begin{aligned} E_{k} = {E_{k}}^{(0)} + ε {E_{k}}^{(1)} + ε^{2} {E_{k}}^{(2)} + . . . \\ | Ψ_{k} ⟩ = | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ + ε | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ε^{2} | {Ψ_{k}}^{(2)} ⟩ + . . . \end{aligned}$

Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !

Also:

$({\hat{H}}_{0} + ε \hat{V}) (| {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ + ε | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ε^{2} | {Ψ_{k}}^{(2)} ⟩ + . .) = ({E_{k}}^{(0)} + ε {E_{k}}^{(1)} + ε^{2} {E_{k}}^{(2)} + . .) (| {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ + ε | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + . .)$

Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung $ε^{f}$

vergleichen:

f=0

${\hat{H}}_{0} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ = {E_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩$

ungestörtes Problem

f=1

$({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) (| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩) = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩$

1. Näherung

f=2

$({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) | {Ψ_{k}}^{(2)} ⟩ = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + {E_{k}}^{(2)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩$

... -> Rekursionsformeln

Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....

Aus f=0: $| {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ = | k ⟩$

Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:

Wir entwickeln nach der ungestörten Basis $| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩$

und setzen dies in $({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) (| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩) = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩$

ein:

$\begin{aligned} \sum_{n} ({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) | n ⟩ ⟨ n | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) | k ⟩ \\ ({\hat{H}}_{0} - {E_{k}}^{(0)}) | n ⟩ = ({E_{n}}^{(0)} - {E_{k}}^{(0)}) | n ⟩ \end{aligned}$

Skalarprodukt mit $⟨ l | \to ⟨ l | n ⟩ = δ_{\ln}$

"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:

$({E_{l}}^{(0)} - {E_{k}}^{(0)}) ⟨ l | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = ({E_{k}}^{(1)} - \hat{V}) δ_{l k} - ⟨ l | \hat{V} | k ⟩$

Somit haben wir für l=k

die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:

${E_{k}}^{(1)} = ⟨ k | \hat{V} | k ⟩$

und für $l \neq k$

ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:

$⟨ l | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = \frac{⟨ l | \hat{V} | k ⟩}{{E_{k}}^{(0)} - {E_{l}}^{(0)}}$

$⟨ k | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩$

wird durch Normierung festgelegt:

$\begin{aligned} 1 =! = ⟨ Ψ_{k} | Ψ_{k} ⟩ = ⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ + ε (⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ⟨ {Ψ_{k}}^{(1)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩) + ε^{2} (. . . . \\ ⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ = 1 \end{aligned}$

Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:

$\begin{aligned} (⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + ⟨ {Ψ_{k}}^{(1)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩) = 0 \\ (. . . . = 0 \end{aligned}$

usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von $ε$

Also für die erste Ordnung:

$\begin{aligned} ⟨ {Ψ_{k}}^{(0)} | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = - ⟨ {Ψ_{k}}^{(1)} | {Ψ_{k}}^{(0)} ⟩ \\ ⟨ k | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = - ⟨ {Ψ_{k}}^{(1)} | k ⟩ \equiv - ⟨ k | {| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩}^{*} \end{aligned}$

Fazit:

$⟨ k | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = i γ$

mit $γ \in R$

Wegen

$e^{i ε γ} \approx 1 + i ε γ + O (ε^{2})$

ändert der Term $\tilde{} γ$

die Phase von $| Ψ_{k} ⟩$

relativ zu $| k ⟩$

in der Entwicklung $| Ψ_{k} ⟩ = | k ⟩ (1 + i ε γ) + ε \sum_{n \neq k} | n ⟩ ⟨ n | {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ + O (ε^{2})$

.

Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :

$\begin{aligned} ⟨ k | Ψ_{k} ⟩ = 1 \\ \Rightarrow γ = 0 \end{aligned}$

Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:

$| {Ψ_{k}}^{(1)} ⟩ = \sum_{n \neq k} | n ⟩ \frac{⟨ n | \hat{V} | k ⟩}{{E_{k}}^{(0)} - {E_{n}}^{(0)}}$

Voraussetzung: ${E_{k}}^{(0)} \neq {E_{n}}^{(0)}$

(keine Entartung)

@@ Line 72: / Line 72: @@
 Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:'''
-Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>
+Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>
 und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle  \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>
@@ Line 80: / Line 80: @@
 <math>\begin{align}
-& \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle  \\
+& \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle  n  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle  \\
 & \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle  \\
@@ Line 86: / Line 86: @@
 \end{align}</math>
-Skalarprodukt mit <math>\left\langle  l \right|\to \left\langle  l \right|\left| n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math>
+Skalarprodukt mit <math>\left\langle  l \right|\to \left\langle  l  |  n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math>
 "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:
-<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle  l \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle  l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math>
+<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle  l  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle  l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math>
 Somit haben wir für l=k
@@ Line 102: / Line 102: @@
 ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:
-<math>\left\langle  l \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle  l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math>
+<math>\left\langle  l  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle  l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math>
-<math>\left\langle  k \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>
+<math>\left\langle  k  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>
 wird durch Normierung festgelegt:
@@ Line 110: / Line 110: @@
 <math>\begin{align}
-& 1=!=\left\langle  {{\Psi }_{k}} \right|\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle  \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\
+& 1=!=\left\langle  {{\Psi }_{k}}  |  {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle  \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\
-& \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\
+& \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\
 \end{align}</math>
@@ Line 120: / Line 120: @@
 <math>\begin{align}
-& \left( \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle  \right)=0 \\
+& \left( \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle  \right)=0 \\
 & (....=0 \\
@@ Line 134: / Line 134: @@
 <math>\begin{align}
-& \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle  \\
+& \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle  \\
-& \left\langle  k \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| k \right\rangle \equiv -\left\langle  k \right|{{\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\
+& \left\langle  k  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)}  |  k \right\rangle \equiv -\left\langle  k \right|{{\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\
 \end{align}</math>
@@ Line 142: / Line 142: @@
 Fazit:
-<math>\left\langle  k \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math>
+<math>\left\langle  k  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math>
 mit <math>\gamma \in R</math>
@@ Line 156: / Line 156: @@
 relativ zu <math>\left| k \right\rangle </math>
-in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma  \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math>
+in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma  \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math>
 .
@@ Line 164: / Line 164: @@
 <math>\begin{align}
-& \left\langle  k \right|\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\
+& \left\langle  k  |  {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\
 & \Rightarrow \gamma =0 \\

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