Addition von Drehimpulsen: Difference between revisions
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Die <math>2(2l+1)</math> | Die <math>2(2l+1)</math> Produktzustände <math>\left| lm{{m}_{S}} \right\rangle =\left| lm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle </math> sind Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}},{{\hat{S}}_{3}}</math> aber nicht zu <math>{{\hat{J}}^{2}}</math>, da <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\ne 0</math> bzw. <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math> | ||
Produktzustände <math>\left| lm{{m}_{S}} \right\rangle =\left| lm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle </math> | |||
sind Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}},{{\hat{S}}_{3}}</math> | |||
aber nicht zu <math>{{\hat{J}}^{2}}</math> | |||
, da | |||
<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\ne 0</math> | |||
bzw. <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math> | |||
'''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math> | '''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math> | ||
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Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis | Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis | ||
Clebsch- Gordan- Koeffizienten ! | {{FB|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} ! | ||
<math>\left\langle lms{{m}_{s}} \right|\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> | <math>\left\langle lms{{m}_{s}} \right|\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> | ||
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Dabei gilt: | Dabei gilt: | ||
<math>s=\frac{1}{2}</math> | {| class="wikitable" border="1" | ||
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!<math>s=\frac{1}{2}</math> !!<math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>!!<math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math> | |||
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<math>j=l+\frac{1}{2}</math> | |<math>j=l+\frac{1}{2}</math>||<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>||<math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> | ||
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|<math>j=l-\frac{1}{2}</math>||<math>-{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>||<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> | |||
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<math>j=l-\frac{1}{2}</math> | |||
Wobei: | Wobei: |
Revision as of 17:44, 10 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Addition von Drehimpulsen | {{#ask:Kategorie:Quantenmechanik Kapitel::4 Abschnitt::0 Urheber::Prof. Dr. E. Schöll, PhD}} | {{#ask:Kategorie:Quantenmechanik Abschnitt::0 Kapitel::0 Urheber::Prof. Dr. E. Schöll, PhD}} | ||||||
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Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:
Die Vertauschungsrelationen:
Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.
Drehimpuls Vertauschungsrelationen !
Ebenso:
Also:
Die Produktzustände sind Eigenzustände zu aber nicht zu , da bzw.
Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu
.
Dies muss möglich sein, da
Die Eigenwertgleichungen lauten:
Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand
entwickelt werden:
Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !
Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis
Clebsch-Gordan-Koeffizienten{{#set:Fachbegriff=Clebsch-Gordan-Koeffizienten|Index=Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} !
Dabei gilt:
Wobei: