Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt: Difference between revisions
No edit summary |
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
||
Line 3: | Line 3: | ||
Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld: | Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld: | ||
<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math> | :<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math> | ||
mit kugelsymmetrischem Potenzial | mit kugelsymmetrischem Potenzial | ||
Line 11: | Line 11: | ||
ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut ! | ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut ! | ||
<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{p}}}^{2}}-2e\bar{A}\bar{p}+{{e}^{2}}{{{\bar{A}}}^{2}} \right)+V(r)</math> | :<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{p}}}^{2}}-2e\bar{A}\bar{p}+{{e}^{2}}{{{\bar{A}}}^{2}} \right)+V(r)</math> | ||
Verwende: Coulombeichung: <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math> | Verwende: Coulombeichung: <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math> | ||
Line 19: | Line 19: | ||
für Operatoren | für Operatoren | ||
<math>{{e}^{2}}{{\bar{A}}^{2}}</math> | :<math>{{e}^{2}}{{\bar{A}}^{2}}</math> | ||
sei für Atome vernachlässigbar, falls <math>\left\langle {{L}_{3}} \right\rangle \ne 0</math> | sei für Atome vernachlässigbar, falls <math>\left\langle {{L}_{3}} \right\rangle \ne 0</math> | ||
Line 35: | Line 35: | ||
Somit: | Somit: | ||
<math>\frac{\hbar }{i}\left( \bar{A}\cdot \nabla \Psi \right)=\frac{\hbar }{2i}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)\nabla \Psi =\frac{\hbar }{2i}\bar{B}\left( \bar{r}\times \nabla \right)\Psi =\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{L} \right)\Psi </math> | :<math>\frac{\hbar }{i}\left( \bar{A}\cdot \nabla \Psi \right)=\frac{\hbar }{2i}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)\nabla \Psi =\frac{\hbar }{2i}\bar{B}\left( \bar{r}\times \nabla \right)\Psi =\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{L} \right)\Psi </math> | ||
Sei | Sei | ||
<math>\bar{B}=\left( 0,0,B \right)\Rightarrow \bar{B}\cdot \bar{L}=B{{L}_{3}}</math> | :<math>\bar{B}=\left( 0,0,B \right)\Rightarrow \bar{B}\cdot \bar{L}=B{{L}_{3}}</math> | ||
Schrödinger- Gleichung: | Schrödinger- Gleichung: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}B{{L}_{3}} \right)\Psi =0 \\ | & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}B{{L}_{3}} \right)\Psi =0 \\ | ||
Line 53: | Line 53: | ||
Wobei | Wobei | ||
<math>{{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi </math> | :<math>{{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi </math> | ||
für Drehimpuls- Eigenzustände | für Drehimpuls- Eigenzustände | ||
<math>\Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V(r)-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar mB \right)\Psi =0</math> | :<math>\Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V(r)-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar mB \right)\Psi =0</math> | ||
mit | mit | ||
<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math> | :<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math> | ||
( magnetisches Moment) | ( magnetisches Moment) | ||
Line 67: | Line 67: | ||
Klassisch: | Klassisch: | ||
<math>\bar{\mu }=-\frac{\partial H}{\partial \bar{B}}=\frac{e}{2{{m}_{0}}}\bar{L}</math> | :<math>\bar{\mu }=-\frac{\partial H}{\partial \bar{B}}=\frac{e}{2{{m}_{0}}}\bar{L}</math> | ||
Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung. | Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung. | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{H}_{mag.}}={{\mu }_{B}}\bar{B}=\frac{e\bar{B}\cdot \bar{L}}{2{{m}_{0}}}=\frac{eB{{L}_{3}}}{2{{m}_{0}}} \\ | & {{H}_{mag.}}={{\mu }_{B}}\bar{B}=\frac{e\bar{B}\cdot \bar{L}}{2{{m}_{0}}}=\frac{eB{{L}_{3}}}{2{{m}_{0}}} \\ | ||
Line 83: | Line 83: | ||
Atom im homogenen Magnetfeld: | Atom im homogenen Magnetfeld: | ||
<math>\left( {{H}_{0}}-E-{{\mu }_{3}}B \right)\Psi =0</math> | :<math>\left( {{H}_{0}}-E-{{\mu }_{3}}B \right)\Psi =0</math> | ||
H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld | H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld | ||
<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math> | :<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math> | ||
<math>\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}:={{\mu }_{B}}</math> | :<math>\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}:={{\mu }_{B}}</math> | ||
Bohrsches Magneton: e<0 | Bohrsches Magneton: e<0 | ||
<math>{{H}_{0}}{{\Psi }_{nlm}}={{E}_{nl}}{{\Psi }_{nlm}}</math> | :<math>{{H}_{0}}{{\Psi }_{nlm}}={{E}_{nl}}{{\Psi }_{nlm}}</math> | ||
<math>\Rightarrow E={{E}_{nl}}-\frac{\hbar eB}{2{{m}_{0}}}m</math> | :<math>\Rightarrow E={{E}_{nl}}-\frac{\hbar eB}{2{{m}_{0}}}m</math> | ||
-> Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben | -> Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben | ||
Line 101: | Line 101: | ||
Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie ! | Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie ! | ||
<math>m=-l,...,+l</math> | :<math>m=-l,...,+l</math> | ||
-> Aufspaltung in <math>2l+1</math> | -> Aufspaltung in <math>2l+1</math> |
Revision as of 16:42, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=5}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:
mit kugelsymmetrischem Potenzial
Durch den kinetischen Impulsoperator:
ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut !
für Operatoren
sei für Atome vernachlässigbar, falls
vergl. Schwabl S. 128
Somit:
Sei
Schrödinger- Gleichung:
Wobei
für Drehimpuls- Eigenzustände
mit
( magnetisches Moment)
Klassisch:
Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung.
Normaler Zeeman- Effekt:
Atom im homogenen Magnetfeld:
H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld
Bohrsches Magneton: e<0
-> Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben
Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie !
- Niveaus ( Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl
Achtung ! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l
Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt -> Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)
H- Atom: l- Entartung
Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände !