Der harmonische Oszillator: Difference between revisions

Revision as of 16:14, 2 July 2011

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der harmonische Oszillator basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

|}}

{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=6}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

\hat{H} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + \frac{m ω^{2}}{2} {\hat{x}}^{2}

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

[\hat{p}, \hat{x}] = \frac{ℏ}{i}

Besser:

[{\hat{p}}_{l}, {\hat{x}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} δ_{k l}

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}}

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}}

Ebenso:

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}}

Somit:

\hat{H} = \frac{1}{2} ℏ ω (a a^{+} + a^{+} a) = \frac{1}{2} ℏ ω (a^{+} a + 1 + a^{+} a) = ℏ ω (a^{+} a + \frac{1}{2})

Merke dazu:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

Somit:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

E_{0} = \frac{1}{2} ℏ ω

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

\begin{aligned} (a a^{+}) a = \frac{1}{ℏ ω} \hat{H} a + \frac{1}{2} a \\ = a (a^{+} a) = \frac{1}{ℏ ω} a \hat{H} - \frac{1}{2} a \\ \Rightarrow [a, \hat{H}] = a \hat{H} - \hat{H} a = ℏ ω a \end{aligned}

Ebenso die adjungierteVersion:

- [a^{+}, \hat{H}] = (a \hat{H}) \overset{´}{} * - (\hat{H} a) * = ℏ ω a^{+}

Well mcaadmaia nuts, how about that.

Eigenwerte von H

Sei $| E ⟩$

ein normierter Eigenvektor von $\hat{H}$

mit $\hat{H} | E ⟩ = E | E ⟩$

So gilt:

\begin{aligned} ℏ ω ⟨ E | a^{+} a | E ⟩ = ⟨ E | \hat{H} - \frac{ℏ ω}{2} | E ⟩ = ⟨ E | E - \frac{ℏ ω}{2} | E ⟩ = E - \frac{ℏ ω}{2} \\ ⟨ E | a^{+} a | E ⟩ = ⟨ Ψ | Ψ ⟩ \geq 0 \end{aligned}

Das bedeutet:

\begin{aligned} E \geq \frac{ℏ ω}{2} \\ E \geq \frac{ℏ ω}{2} \Leftrightarrow a | E ⟩ = 0 \end{aligned}

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

Behauptung

a | E ⟩

ist Eigenzustand zu $\hat{H}$

mit dem Eigenwert $E - ℏ ω$

Also: $\hat{H} a | E ⟩ = (E - ℏ ω) a | E ⟩$

Beweis:

\hat{H} a | E ⟩ = (a \hat{H} - ℏ ω) a | E ⟩ = a (\hat{H} - ℏ ω) | E ⟩ = a (E - ℏ ω) | E ⟩ = (E - ℏ ω) a | E ⟩

Dabei gilt

\hat{H} a | E ⟩ = (a \hat{H} - ℏ ω) a | E ⟩

wegen

[a, \hat{H}] = ℏ ω a

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände $| E ⟩ \neq 0$

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht $E \geq \frac{ℏ ω}{2}$

gelten würde.

Daher existiert ein $m \in N$

so dass $a^{m} | E ⟩ = 0$

aber $a^{m - 1} | E ⟩ \neq 0$

Also definiere man einen Grundzustand:

| 0 ⟩ : = a^{m - 1} | E ⟩

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

\hat{H} | 0 ⟩ = ℏ ω (a^{+} a + \frac{1}{2}) | 0 ⟩ = \frac{1}{2} ℏ ω | 0 ⟩

wegen

a | 0 ⟩ = a^{m} | E ⟩ = 0

Also:

\begin{aligned} E_{0} = \frac{ℏ ω}{2} \\ a | 0 ⟩ = a^{m} | E ⟩ = 0 \end{aligned}

Weiter:

\hat{H} a^{+} | 0 ⟩ = (a^{+} H + ℏ ω a^{+}) | 0 ⟩ = a^{+} (\hat{H} + ℏ ω) | 0 ⟩ = a^{+} (\frac{ℏ ω}{2} + ℏ ω) | 0 ⟩ = \frac{3 ℏ ω}{2} a^{+} | 0 ⟩

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

[a^{+}, \hat{H}] = - ℏ ω a^{+}

Das heißt nun aber, dass $a^{+} | 0 ⟩$

der Eigenzustand von $\hat{H}$

zum Eigenwert $\frac{3 ℏ ω}{2}$

ist.

Vollständige Induktion

\hat{H} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩

Dann:

\begin{aligned} \hat{H} {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ = (a^{+} \hat{H} + ℏ ω a^{+}) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = a^{+} (\hat{H} + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ \\ (\hat{H} + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = (ℏ ω (n + \frac{1}{2}) + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ \\ \Rightarrow \hat{H} {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ = a^{+} (\hat{H} + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ℏ ω (n + 1 + \frac{1}{2}) {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ \end{aligned}

Do you have more great atrilces like this one?

Teilchenzahloperator

\begin{aligned} N : = a^{+} a \\ N | n ⟩ = a^{+} a | n ⟩ = a^{+} \sqrt{n} | n - 1 ⟩ = \sqrt{n} \sqrt{n} | n ⟩ = n | n ⟩ \end{aligned}

In Übereinstimmung mit

\hat{H} | n ⟩ = ℏ ω (a^{+} a + \frac{1}{2}) | n ⟩ = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) | n ⟩

Hey, youre the goto expert. Thanks for hagnnig out here.

This has made my day. I wish all psontigs were this good.

@@ Line 231: / Line 231: @@
 Hey, youre the goto expert. Thanks for hagnnig out here.
-=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====
+This has made my day. I wish all psontigs were this good.
-Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden!
-Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle  x | n \right\rangle </math>
-und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>
-gilt:
-:<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math>
-:<math>\begin{align}
-& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
-& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
-\end{align}</math>
-:<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
-Dabei gilt: <math>\begin{align}
-& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
-& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
-\end{align}</math>
-sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten!
-In  <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
-wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>
-der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt.
-Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz <math>a\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle =0</math>
-mit <math>\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle :=\left| 0 \right\rangle </math>
-Wegen <math>a\left| 0 \right\rangle =0</math>
-folgt für n=0:
-:<math>\begin{align}
-& 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\
-& \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi  \\
-\end{align}</math>
-Somit ergibt sich:
-:<math>\begin{align}
-& {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\
-& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
-\end{align}</math>
-Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in <math>\xi </math>
-enthalten ist.
-<u>'''Für die angeregten Zustände gilt:'''</u>
-:<math>\begin{align}
-& {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\
-& \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\
-& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
-\end{align}</math>
-Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt!
-Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:
-:<math>\begin{align}
-& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
-& \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\
-& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
-& {{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}:={{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
-\end{align}</math>
-Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>
-als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
-und <math>{{H}_{n}}</math>
-bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
-Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
-:<math>\begin{align}
-& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
-& \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
-\end{align}</math>
-Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
-:<math>\begin{align}
-& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\
-& {{H}_{1}}(\xi )=2\xi  \\
-& {{H}_{2}}(\xi )=4{{\xi }^{2}}-2 \\
-& {{H}_{3}}(\xi )=2{{\xi }^{3}}-12\xi  \\
-\end{align}</math>
-Letztendlich bezeichnet
-:<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math>
-die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>
-Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:
-Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>.
-Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}</math>
-das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
-Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
-Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m

Der harmonische Oszillator: Difference between revisions

Revision as of 16:14, 2 July 2011

Eigenwerte von H

Teilchenzahloperator

Navigation menu

Search