Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Stetigkeitsbedingung:

Bei stückweise stetigem Potenzial ( Sprünge sind erlaubt, dürfen aber nicht die Regel sein). Außerdem ist das Potenzial ansonsten beliebig, sind $\mathrm{\Phi }(x),\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(x)$stetig.

Die eindimensionale Zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet:

$\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]\varphi (x)$

Das Potenzial habe nun einen Sprung bei x=xo:

Wäre nun $\varphi \stackrel{´}{}(x)\stackrel{~}{}\mathrm{\Theta }[x-x_0]$ unstetig an der Stelle x=xo, so ergebe sich: $\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)\stackrel{~}{}\delta [x-x_0]$. Die rechte Seite der Schrödingergleichung ist jedoch an jedem Punkt beschränkt ( die Wellenfunktion selbst muss normierbar sein). Somit ergibt sich ein Widerspruch.

Oft ist es zweckmäßig die sogenannte Eigenableitung zu verwenden. Diese logarithmische Ableitung ist stetig:

( Eigenableitung = logarithmische Ableitung):

$\frac{d}{dx}\ln \varphi (x){|}_{x0}=\frac{\varphi \stackrel{´}{}(x)}{\varphi (x)}$

Für ein $\delta$- förmiges Potenzial gilt: $V(x)=\delta (x-x_0)$:

$\varphi (x)$ist stetig

$\varphi \stackrel{´}{}(x)$hat endlichen Sprung bei x₀

Charakterisierung des Energiespektrums

Gegeben sei ein stückweise stetiges, nach unten beschränktes Potenzial mit $V_{+}\le V_{-}\le \mathrm{\infty }$ Für den Bereich $E<V(x)$( klassische verboten), gilt:

$\frac{\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)}{\varphi (x)}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)>0$

Also für den Fall $\varphi (x),\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)>0$ist die Krümmung konvex und für $\varphi (x),\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)<0$(zweite mögliche Alternative) ist die Krümmung konkav. Jedenfalls ist die Wellenfunktion von der x- Achse "weggekrümmt", also allgemein gesprochen "divergent": Dies ist deutlicher zu erkennen, wenn man Potenziale einzeichnet, die hier größer sind als die Energie: Es gibt immer exponentielle Dämpfung in derartigen Fällen:

Im Bereich $E>V(x)$gilt: $\frac{\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)}{\varphi (x)}=<0$. Dieser Bereich ist auch klassisch erlaubt. Hier ist die Krümmung stets zur x- Achse hin, also im Wesentlichen oszillierend: Damit können wir unsere Eigenfunktionen klassifizieren: 1) $E<V_{\min }(x)$: Die Energie liegt überall unterhalb des Potenzials -> $\varphi (x)$divergiert nach $\mathrm{\infty }$. Keine Lösung existiert !

1. $V_{\min }(x)<E<V_{+}(x)$: Es existieren gebundene Zustände;

• bei symmetrischem ( vollkommen rotationssymmetrisch) Potenzial V existiert mindestens ein gebundener Zustand ${\varphi }_0(x)$ -> eindimensionale Potenzialtöpfe sind immer vollkommen rotationssymmetrisch ! -> es existiert immer ein gebundener Zustand.

Dies ist anders bei 2- / 3- dimensionalen Potenzialtöpfen ! Wenn diese nicht vollständig rotationssymmetrisch sind, kann es sein, dass kein Zustand existiert, wenn die Töpfe flach genug sind !

• Das Energiespektrum ist diskret und nicht entartet: $E_0<E_1<...$

entartet heißt: zu einem Eigenwert gehören mehrere, linear unabhängige Eigenfunktionen !

• Knotensatz: Die zum n-ten Eigenwert $E_n$gehörende Eigenfunktion ${\varphi }_n(x)$hat n Knoten ( Nullstellen im Inneren des Definitionsbereichs).

Beweis des Knotensatzes

Zu JEDEM E existiert genau eine Lösung ${\varphi }_E(x)$der Gleichung $\varphi \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_E(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]{\varphi }_E(x)$mit $\begin{array}{c}\lim \\ x\to -\mathrm{\infty }\\ \end{array}{\varphi }_E(x)=0$ ( Bilde z.B. Linearkombination von 2 linear unabhängigen Lösungen). Dies gilt natürlich nur im nicht entarteten Fall ! Wie er unter 2) für $V_{\min }(x)<E<V_{+}(x)$der Fall ist ! Nun ist dann aber im Allgemeinen $\begin{array}{c}\lim \\ x\to +\mathrm{\infty }\\ \end{array}{\varphi }_E(x)\ne 0$. Verschiebt man nun E so, dass auch $\begin{array}{c}\lim \\ x\to +\mathrm{\infty }\\ \end{array}{\varphi }_E(x)=0$ -> dann erhalten wir die Energien, die die speziellen diskreten Eigenwerte E repräsentieren. Die Behauptung ist: zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Inneren an den Rand wandern:

Beweis: Sei $x_0(E)$eine Nullstelle von ${\varphi }_E(x)$. Nun bilde man die Wronski- Determinante von ${\varphi }_E(x)$und von $z(x):=\frac{\partial {\varphi }_E(x)}{\partial E}$ Es gilt:

$({\varphi }_E\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{x_0}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}({\varphi }_E\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{})dx$

Dabei:

$\begin{array}{rl}& ({\varphi }_E\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{x_0}={\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)z(x_0)-{\varphi }_E(x_0)z\stackrel{´}{}(x_0)-{\varphi }_E\stackrel{´}{}(-\mathrm{\infty })z(-\mathrm{\infty })+{\varphi }_E(-\mathrm{\infty })z\stackrel{´}{}(-\mathrm{\infty })\\ & {\varphi }_E(x_0)={\varphi }_E\stackrel{´}{}(-\mathrm{\infty })=0\\ & \Rightarrow ({\varphi }_E\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{x_0}={\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)z(x_0)\\ \end{array}$

Außerdem:

$({\varphi }_E\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{})={\varphi }_E\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}z+{\varphi }_E\stackrel{´}{}z\stackrel{´}{}-{\varphi }_E\stackrel{´}{}z\stackrel{´}{}-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

Aus der Schrödingergleichung $\varphi \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_E(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]{\varphi }_E(x)$folgt durch Differenziation nach der Energie:

$z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]z-\frac{2m}{{\hslash }^2}{\varphi }_E(x)$

Kombiniert man dies mit $\varphi \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_E(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]{\varphi }_E(x)$und $({\varphi }_E\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{x_0}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}({\varphi }_E\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{})dx$ so folgt:

${\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)z(x_0)=\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}{{\varphi }_E}^{2}dx>0$Mit$\begin{array}{rl}& 0=\frac{d}{dE}{\varphi }_E(x_0)=\frac{\partial {\varphi }_E(x_0)}{\partial E}+{\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)\frac{\partial x_0}{\partial E}\\ & \frac{\partial {\varphi }_E}{\partial E}=z\\ \end{array}$

folgt schließlich:

$0=\frac{d{x}_0}{dE}=-\frac{z(x_0)}{{\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)}=-z{(x_0)}^2{\left[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}{{\varphi }_E}^{2}dx\right]}^{-1}<0$

Also wandern die Nullstellen mit abnehmender Energie nach rechts. Bei jedem Eigenwert verschwindet eine Nullstelle bei $\mathrm{\infty }$. Für $E=V_{\min }$hat ${\varphi }_E(x)$KEINE endliche Nullstelle mehr: Sonst wäre für $-\mathrm{\infty }<x_0(E)<+\mathrm{\infty }$:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}\left({\varphi }_E\stackrel{´}{}{\varphi }_E\right)dx=-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}\left({\varphi }_E\stackrel{´}{}{\varphi }_E\stackrel{´}{}\right)dx=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V-E)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}{{\varphi }_E}^{2}dx>0$

Also ein Widerspruch !

Illustration des Knotensatzes für spezielle Potenziale:

Die zu E1 oder E1´ gehörigen Funktionen besitzen einen Knoten. Nur die Funktion zu E1 ist jedoch eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E1´´ weist bereits 2 Knoten auf. Bei E0 existieren keine Knoten bei E0, E0´und E0 ´´. Allerdings ist nur die zu E0 gehörige Funktion eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E0´´´ hat bereits einen Knoten, jedoch ist diese keine Eigenfunktion. Das zugehörige Potenzial $V(x)\to \mathrm{\infty }$für $x\to a,b$. Also KEIN Parabelpotenzial ! Die Randbedingungen seien $\varphi (a)=\varphi (b)=0$. Die Forderung $\varphi (a)=0$kann zu jedem E erfüllt werden. Und zwar durch Linearkombination zweier linear unabhängiger Lösungen. Im Allgemeinen ist dann jedoch

$\varphi (b)\ne 0$. Verschiebt man E so, dass auch $\varphi (b)=0$, so trifft man die speziellen, diskreten Eigenwerte. zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Rand ins Innere wandern.

Speziell: Symmetrische Potenziale:

Bei symmetrischen Potenzialen: $V(x)=V(-x)$sind die Eigenfunktionen abwechselnd von gerader Parität, also symmetrisch: $\varphi (x)=\varphi (-x)$und antisymmetrisch ( von ungerader Parität): $\varphi (x)=-\varphi (-x)$. Dies kann für Entartung und Nichtentartung gezeigt werden.

1. $V_{+}<E<V_{-}$ In diesem Fall existiert ein Kontinuum von Streuzuständen ( nicht entartet). Die Welle läuft von rechts ein:

Beispiel mit Potenzialstufe: Linke Seite: Die asymptotische Lösung lautet $\begin{array}{rl}& \varphi (x)\stackrel{~}{}{e}^{\pm Mx}\\ & M^2=V_{-}-E\\ \end{array}$ Aber: $\varphi (x)\stackrel{~}{}{e}^{+Mx}$divergiert und ist somit unphysikalisch:

$\varphi (x)\stackrel{~}{}{e}^{-Mx}$

Rechte Seite: Die asymptotische Lösung lautet $\begin{array}{rl}& \varphi (x)\stackrel{~}{}{e}^{\pm ikx}\\ & k^2=E-V_{+}\\ \end{array}$Die Lösung oszilliert also asymptotisch.

1. $E>V_{-}$: Ergibt ein Kontinuum von Streuzuständen ( 2- fach entartet). Die Welle läuft in diesem Fall von links oder von rechts ein, da die Energie auf beiden Seiten höher als das Potenzial ist. Alle Lösungen oszillieren !

Zeige Nicht entartete Eigenfunktionen sind ( bis auf einen trivialen Faktor) reell !