Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände: Difference between revisions
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|5}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|5}}</noinclude> | ||
<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi </math>ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator <math>\hat{H}</math> | :<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi </math>ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator <math>\hat{H}</math> | ||
Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem: | Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem: | ||
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Aus der Normierbarkeit folgt: | Aus der Normierbarkeit folgt: | ||
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& \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r<\infty \\ | & \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r<\infty \\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Eine spezielle Lösung findet man über den '''Separationsansatz:''' | Eine spezielle Lösung findet man über den '''Separationsansatz:''' | ||
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& \Psi (\bar{r},t)=\phi (\bar{r})+T(t) \\ | & \Psi (\bar{r},t)=\phi (\bar{r})+T(t) \\ | ||
& i\hbar \phi \dot{T}=T\hat{H}\phi \\ | & i\hbar \phi \dot{T}=T\hat{H}\phi \\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also: | da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also: | ||
<math>i\hbar \phi \frac{{\dot{T}}}{T}=\frac{\hat{H}\phi }{\phi }=E=const.</math> | :<math>i\hbar \phi \frac{{\dot{T}}}{T}=\frac{\hat{H}\phi }{\phi }=E=const.</math> | ||
Also: | Also: | ||
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& \dot{T}=-\frac{i}{\hbar }ET \\ | & \dot{T}=-\frac{i}{\hbar }ET \\ | ||
& \hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r}) \\ | & \hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r}) \\ | ||
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Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil: | Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil: | ||
<math>{{T}_{E}}(t)=c{{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}</math>und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung: <math>\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math> | :<math>{{T}_{E}}(t)=c{{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}</math>und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung: <math>\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math> | ||
Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators: | Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators: | ||
<math>\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math>die Energie- Eigenfunktionen <math>{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie". | :<math>\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math>die Energie- Eigenfunktionen <math>{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie". | ||
Die Energie- Eigenzustände lauten: | Die Energie- Eigenzustände lauten: | ||
<math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math> | :<math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math> | ||
Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte | Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte | ||
<math>{{\left| {{\Psi }_{E}}(\bar{r},t) \right|}^{2}}={{\left| {{\phi }_{E}}(\bar{r}) \right|}^{2}}</math>zeitunabhängig ist. | :<math>{{\left| {{\Psi }_{E}}(\bar{r},t) \right|}^{2}}={{\left| {{\phi }_{E}}(\bar{r}) \right|}^{2}}</math>zeitunabhängig ist. | ||
Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !) | Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !) | ||
'''Nebenbemerkung:''' | '''Nebenbemerkung:''' | ||
Die Wellenfunktion <math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit | Die Wellenfunktion <math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit | ||
<math>\omega =\frac{E}{\hbar }</math>oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !) | :<math>\omega =\frac{E}{\hbar }</math>oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !) | ||
Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig: | Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig: | ||
<math>\left\langle F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}) \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}{{\Psi }_{E}}*(\bar{r},t)F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\Psi }_{E}}(\bar{r},t){{d}^{3}}r=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\frac{\hbar }{i}\nabla ,\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})</math> | :<math>\left\langle F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}) \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}{{\Psi }_{E}}*(\bar{r},t)F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\Psi }_{E}}(\bar{r},t){{d}^{3}}r=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\frac{\hbar }{i}\nabla ,\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})</math> | ||
Insbesondere gilt: | Insbesondere gilt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ | & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ | ||
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ | & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ | ||
Line 48: | Line 48: | ||
Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik) | Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik) | ||
gilt mit | gilt mit | ||
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& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ | & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ | ||
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ | & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
auch | auch | ||
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& \left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =m\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ | & \left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =m\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ | ||
& \left\langle \nabla V \right\rangle =-\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ | & \left\langle \nabla V \right\rangle =-\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ | ||
Line 61: | Line 61: | ||
Beweis: | Beweis: | ||
Nach § 1.4 gilt: | Nach § 1.4 gilt: | ||
<math>\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}=-i\hbar \nabla \cdot \bar{j}</math> | :<math>\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}=-i\hbar \nabla \cdot \bar{j}</math> | ||
<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}</math> | :<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}</math> | ||
Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. | Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. | ||
Also gilt: | Also gilt: | ||
<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}=0</math> | :<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}=0</math> | ||
Andererseits aber gilt: | Andererseits aber gilt: | ||
<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\hat{H}\Psi {{d}^{3}}r=E</math> | :<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\hat{H}\Psi {{d}^{3}}r=E</math> | ||
<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( E\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=E*</math> | :<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( E\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=E*</math> | ||
Also folgt: | Also folgt: | ||
<math>E=E*</math> | :<math>E=E*</math> | ||
Für ein komplexes E mit | Für ein komplexes E mit | ||
<math>E={{E}_{1}}+i{{E}_{2}}</math> wäre <math>{{\left| {{\Psi }_{E}} \right|}^{2}}\acute{\ }={{e}^{2\frac{{{E}_{2}}}{\hbar }t}}{{\left| {{\phi }_{E}} \right|}^{2}}</math>und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !) | :<math>E={{E}_{1}}+i{{E}_{2}}</math> wäre <math>{{\left| {{\Psi }_{E}} \right|}^{2}}\acute{\ }={{e}^{2\frac{{{E}_{2}}}{\hbar }t}}{{\left| {{\phi }_{E}} \right|}^{2}}</math>und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !) | ||
Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !! | Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !! | ||
2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit: | 2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit: | ||
<math>\left\langle {\hat{H}} \right\rangle =E</math>Erwartungswert= Eigenwert | :<math>\left\langle {\hat{H}} \right\rangle =E</math>Erwartungswert= Eigenwert | ||
Unschärfe: <math>\Delta H:=\sqrt{\left\langle {{\left( \hat{H}-\left\langle {\hat{H}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle }=\sqrt{\left\langle \left\langle {{\left( {\hat{H}} \right)}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{H}} \right\rangle }^{2}} \right\rangle }=\sqrt{{{E}^{2}}-{{E}^{2}}}=0</math> | Unschärfe: <math>\Delta H:=\sqrt{\left\langle {{\left( \hat{H}-\left\langle {\hat{H}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle }=\sqrt{\left\langle \left\langle {{\left( {\hat{H}} \right)}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{H}} \right\rangle }^{2}} \right\rangle }=\sqrt{{{E}^{2}}-{{E}^{2}}}=0</math> | ||
E und t sind wie <math>\hat{\bar{p}},\hat{\bar{q}}</math>zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren ! | E und t sind wie <math>\hat{\bar{p}},\hat{\bar{q}}</math>zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren ! | ||
Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !): | Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !): | ||
<math>\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}</math> scharf | :<math>\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}</math> scharf | ||
<math>{{\left| \phi (\bar{r}) \right|}^{2}}=1</math>unabhängig von r | :<math>{{\left| \phi (\bar{r}) \right|}^{2}}=1</math>unabhängig von r | ||
Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. | Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. | ||
Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. | Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. | ||
Line 86: | Line 86: | ||
====Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung==== | ====Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung==== | ||
Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen <math>{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>entwickelt werden: | Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen <math>{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>entwickelt werden: | ||
<math>\Psi (\bar{r},t)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math> | :<math>\Psi (\bar{r},t)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math> | ||
Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig: | Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig: | ||
zeitabhängig !! | zeitabhängig !! | ||
<math>\Psi (\bar{r},t)</math>ist kein Energie- Eigenzustand ! | :<math>\Psi (\bar{r},t)</math>ist kein Energie- Eigenzustand ! | ||
Die Entwicklungskoeffizienten <math>{{c}_{n}}</math>lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen: | Die Entwicklungskoeffizienten <math>{{c}_{n}}</math>lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen: | ||
<math>\Psi (\bar{r},0)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})\begin{matrix} | :<math>\Psi (\bar{r},0)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})\begin{matrix} | ||
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Revision as of 16:48, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=5}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:
Die Anfangsbedingung ist gegeben.
Aus der Normierbarkeit folgt:
Eine spezielle Lösung findet man über den Separationsansatz:
da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also:
Also:
Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil:
Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators:
- die Energie- Eigenfunktionen und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie".
Die Energie- Eigenzustände lauten:
Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte
Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !) Nebenbemerkung: Die Wellenfunktion selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit
- oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !)
Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig:
Insbesondere gilt:
Ehrenfest- Theorem
Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik) gilt mit
auch
Bemerkungen 1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators sind reell. Beweis: Nach § 1.4 gilt:
Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. Also gilt:
Andererseits aber gilt:
Also folgt:
Für ein komplexes E mit
Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !! 2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit:
Unschärfe: E und t sind wie zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren ! Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !):
Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. Randbedingungen Eigenwertproblem !
Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen entwickelt werden:
Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig: zeitabhängig !!
Die Entwicklungskoeffizienten lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen:
Falls ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den stationären Zuständenentwickelt werden: Orthonormierung: Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden. P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher !!