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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):
Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von
Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:
Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:
Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:
Denn:
Wenn die Kontinuitätsgleichung
erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben !
Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit !
Dabei bezeichnet man
als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm
ergänzt wird
Mit dem kinetischen Impulsoperator
Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert !
Bemerkungen
- Neben dem kanonischen Impulsoperator:
, wobei klassisch
haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator
zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator
zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator
NICHT die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.
Also:
und
- Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung
mit
Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:
mit
Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form
wählen, da hier
oder
nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?)
- In
ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten !
Nur in der Coulomb- Eichung
gilt:
Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:
Also in diesem Fall:
Merke: Die Coulombeichung bringt
und
zum Vertauschen !
- Im Gaußschen Maßsystem gilt: