Kräftefreie Schrödingergleichung: Difference between revisions
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{{Scripthinweis|Quantemechanik|1|2}} | {{Scripthinweis|Quantemechanik|1|2}} | ||
===Kräftefreie Schrödingergleichung=== | ===Kräftefreie Schrödingergleichung=== | ||
<font color="#A5FF00">''(Keine äußeren Potenziale)''</font> | <font color="#A5FF00">''(Keine äußeren Potenziale)''</font> | ||
Die Bewegungsgleichung für die Materiewellenfunktion | Die Bewegungsgleichung für die Materiewellenfunktion | ||
<math>\Psi (\bar{r},t)</math> | <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | ||
soll die folgenden Postulate erfüllen: | soll die folgenden Postulate erfüllen: | ||
# Sie soll eine DGL 1.Ordnung in der zeit sein, damit | # Sie soll eine DGL 1.Ordnung in der zeit sein, damit | ||
# <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | # <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | ||
# durch die Anfangsverteilung | # durch die Anfangsverteilung | ||
# <math>\Psi (\bar{r},0)</math> | # <math>\Psi (\bar{r},0)</math> | ||
# bestimmt ist ( der qm. Zustand ist vollständig durch | # bestimmt ist ( der qm. Zustand ist vollständig durch | ||
# <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | # <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | ||
# festgelegt). | # festgelegt). | ||
# Sie soll linear in | # Sie soll linear in | ||
# <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | # <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | ||
# sein, damit das Superpositionsprinzip gilt. Außerdem soll sie homogen sein. | # sein, damit das Superpositionsprinzip gilt. Außerdem soll sie homogen sein. | ||
Durch das Superpositionsprinzip sind Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen. Damit werden die Interferenzeffekte mathematisch greifbar. | Durch das Superpositionsprinzip sind Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen. Damit werden die Interferenzeffekte mathematisch greifbar. | ||
# Die Gleichung soll keine speziellen Bewegungsgrößen wie | # Die Gleichung soll keine speziellen Bewegungsgrößen wie | ||
# <math>E,\bar{p}</math> | # <math>E,\bar{p}</math> | ||
# enthalten. Nur so können Wellenpakete durch Überlagerung verschiedener | # enthalten. Nur so können Wellenpakete durch Überlagerung verschiedener | ||
# <math>\bar{p}</math> | # <math>\bar{p}</math> | ||
# - Werte gebildet werden. | # - Werte gebildet werden. | ||
# Ebene Wellen: | # Ebene Wellen: | ||
# <math>\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}</math> | # <math>\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}</math> | ||
# mit | # mit | ||
# <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math> | # <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math> | ||
# sollen Lösung sein. Dabei gilt | # sollen Lösung sein. Dabei gilt | ||
# <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math> | # <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math> | ||
# wegen des Zusammenhangs | # wegen des Zusammenhangs | ||
# <math>E=\hbar \omega ,p=\hbar k,E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}</math> | # <math>E=\hbar \omega ,p=\hbar k,E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}</math> | ||
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Somit auch für Photonen: | Somit auch für Photonen: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& E=pc=\hbar \omega ,p=\hbar k \\ | & E=pc=\hbar \omega ,p=\hbar k \\ | ||
& \Rightarrow \frac{\omega }{k}=c \\ | & \Rightarrow \frac{\omega }{k}=c \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Also ergibt sich: | Also ergibt sich: | ||
<math>\frac{\partial }{\partial t}\Psi =-i\omega \Psi =-i\hbar \frac{{{k}^{2}}}{2m}\Psi =\frac{i}{\hbar }\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> | <math>\frac{\partial }{\partial t}\Psi =-i\omega \Psi =-i\hbar \frac{{{k}^{2}}}{2m}\Psi =\frac{i}{\hbar }\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> | <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> | ||
Dies ist die freie, zeitabhängige Schrödingergleichung | Dies ist die freie, zeitabhängige Schrödingergleichung | ||
<u>'''Bemerkungen'''</u> | <u>'''Bemerkungen'''</u> | ||
# Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion | # Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion | ||
# <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | # <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | ||
# : | # : | ||
# <math>{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r</math> | # <math>{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r</math> | ||
# ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort | # ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort | ||
# <math>\bar{r}</math> | # <math>\bar{r}</math> | ||
# zu finden. | # zu finden. | ||
<math>\Psi (\bar{r},t)=\left| \Psi (\bar{r},t) \right|{{e}^{i\phi (r,t)}}</math> | <math>\Psi (\bar{r},t)=\left| \Psi (\bar{r},t) \right|{{e}^{i\phi (r,t)}}</math> | ||
wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase. | wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase. | ||
Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar. | Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar. | ||
<math>{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}</math> | <math>{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}</math> | ||
ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. | ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. | ||
# Normierung: | # Normierung: | ||
# <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r=1</math> | # <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r=1</math> | ||
# | |||
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# Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf | # Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf | ||
# <math>{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}</math> | # <math>{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}</math> | ||
# ist auch der zeitumgekehrte | # ist auch der zeitumgekehrte | ||
# <math>{{\left| \Psi (\bar{r},-t) \right|}^{2}}</math> | # <math>{{\left| \Psi (\bar{r},-t) \right|}^{2}}</math> | ||
# ein physikalisch möglicher Vorgang: | # ein physikalisch möglicher Vorgang: | ||
Die Transformationsvorschrift lautet: | Die Transformationsvorschrift lautet: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& t->-t \\ | & t->-t \\ | ||
& i->-i \\ | & i->-i \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\Psi (\bar{r},t)\to \Psi *(\bar{r},-t)</math> | <math>\Psi (\bar{r},t)\to \Psi *(\bar{r},-t)</math> | ||
Beweis: | Beweis: | ||
<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> | <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> | ||
werde gelöst von | werde gelöst von | ||
<math>\Psi (\bar{r},t)</math> | <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | ||
Die ganze Gleichung kann natürlich komplex konjugiert werden: | Die ganze Gleichung kann natürlich komplex konjugiert werden: | ||
<math>-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi *</math> | <math>-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi *</math> | ||
Ersetzt man nun t durch -t, so folgt: | Ersetzt man nun t durch -t, so folgt: | ||
<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},-t)=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi *(\bar{r},-t)</math> | <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},-t)=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi *(\bar{r},-t)</math> | ||
Also: | Also: | ||
Mit | Mit | ||
<math>\Psi (\bar{r},t)</math> | <math>\Psi (\bar{r},t)</math> | ||
ist auch | ist auch | ||
<math>\Psi *(\bar{r},-t)</math> | <math>\Psi *(\bar{r},-t)</math> | ||
Lösung der Schrödingergleichung | Lösung der Schrödingergleichung | ||
Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt ! | Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt ! | ||
'''''Wellenpakete''''' | '''''Wellenpakete''''' | ||
Ebene Wellen der Form | Ebene Wellen der Form | ||
<math>\Psi (\bar{r},t)=C{{e}^{i(kx-\omega t)}}</math> | <math>\Psi (\bar{r},t)=C{{e}^{i(kx-\omega t)}}</math> | ||
haben eine räumlich homogene Wahrscheinlichkeitsdichte |C|², falls dieser Vorfaktor nicht vom Ort abhängt ( im Gegensatz zu Kugelwellen). | haben eine räumlich homogene Wahrscheinlichkeitsdichte |C|², falls dieser Vorfaktor nicht vom Ort abhängt ( im Gegensatz zu Kugelwellen). | ||
Die Phase verschwindet bei Betragsbildung völlig! | Die Phase verschwindet bei Betragsbildung völlig! | ||
Lokalisierte Zustände können grundsätzlich durch die Superposition ebener Wellen dargestellt werden: | Lokalisierte Zustände können grundsätzlich durch die Superposition ebener Wellen dargestellt werden: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \Psi (\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{\tilde{\Psi }(\bar{k})}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}{{d}^{3}}k \\ | & \Psi (\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{\tilde{\Psi }(\bar{k})}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}{{d}^{3}}k \\ | ||
& \omega (\bar{k})=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m} \\ | & \omega (\bar{k})=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Man kann sich derartige Wellenpakete veranschaulichen: | Man kann sich derartige Wellenpakete veranschaulichen: | ||
'''eindimensional:''' | '''eindimensional:''' | ||
Die Phase kx-w(k)t kann nun um k=ko entwickelt werden: | |||
<math>\omega (\bar{k})=\omega ({{k}_{0}})+{{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}(k-{{k}_{0}})+....</math> | <math>\omega (\bar{k})=\omega ({{k}_{0}})+{{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}(k-{{k}_{0}})+....</math> | ||
Dabei sei: | Dabei sei: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \omega ({{k}_{0}}):={{\omega }_{0}} \\ | & \omega ({{k}_{0}}):={{\omega }_{0}} \\ | ||
& (k-{{k}_{0}}):=k\acute{\ } \\ | & (k-{{k}_{0}}):=k\acute{\ } \\ | ||
& {{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}={{v}_{g}} \\ | & {{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}={{v}_{g}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Somit folgt für obige Wellenfunktion ( unser Paketchen): | Somit folgt für obige Wellenfunktion ( unser Paketchen): | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \Psi (\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{i\left[ ({{k}_{0}}+k\acute{\ })x-({{\omega }_{0}}+{{v}_{g}}k\acute{\ })t \right]}} \\ | & \Psi (\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{i\left[ ({{k}_{0}}+k\acute{\ })x-({{\omega }_{0}}+{{v}_{g}}k\acute{\ })t \right]}} \\ | ||
& \Psi (\bar{r},t)={{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}} \\ | & \Psi (\bar{r},t)={{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dabei stellt | Dabei stellt | ||
<math>{{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}</math> | <math>{{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}</math> | ||
ein Trägerwelle mit der Phasengeschwindigkeit | ein Trägerwelle mit der Phasengeschwindigkeit | ||
<math>{{v}_{Ph}}=\frac{{{\omega }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math> | <math>{{v}_{Ph}}=\frac{{{\omega }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math> | ||
dar und | dar und | ||
<math>\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}</math> | <math>\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}</math> | ||
repräsentiert eine Einhüllende A(x,t), die langsam zeit- und ortsveränderlich ist, da ja nur die Terme mit | repräsentiert eine Einhüllende A(x,t), die langsam zeit- und ortsveränderlich ist, da ja nur die Terme mit | ||
<math>\left| k\acute{\ } \right|<<{{k}_{0}}</math> | <math>\left| k\acute{\ } \right|<<{{k}_{0}}</math> | ||
nennenswerte Beiträge zum Integral liefern. | nennenswerte Beiträge zum Integral liefern. | ||
Wegen der Taylorentwicklung ,macht dieser Schritt jedoch nur Sinn für Systeme, die um k0 lokalisiert sind ! Also für impulsmäßig lokalisierte Systeme ( endliche Farbbandbreite eines Lichtpulses etc...). | Wegen der Taylorentwicklung ,macht dieser Schritt jedoch nur Sinn für Systeme, die um k0 lokalisiert sind ! Also für impulsmäßig lokalisierte Systeme ( endliche Farbbandbreite eines Lichtpulses etc...). | ||
Grafisch: | Grafisch: | ||
Bewegung der Einhüllenden: | Bewegung der Einhüllenden: | ||
Setze: | Setze: | ||
<math>A(x,t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}=const</math> | <math>A(x,t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}=const</math> | ||
Dies gilt jedoch nur infinitesimal. Man kann jedoch das MAXIMUM von A(x,t) wählen: | Dies gilt jedoch nur infinitesimal. Man kann jedoch das MAXIMUM von A(x,t) wählen: | ||
<math>dA(x,t)=\frac{\partial A(x,t)}{\partial x}dx+\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}dt</math> | <math>dA(x,t)=\frac{\partial A(x,t)}{\partial x}dx+\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}dt</math> | ||
<math>dA(x,t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}\left\{ ik\acute{\ }dx-ik\acute{\ }{{v}_{g}}dt \right\}=0</math> | <math>dA(x,t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}\left\{ ik\acute{\ }dx-ik\acute{\ }{{v}_{g}}dt \right\}=0</math> | ||
Dies jedoch bedingt: | Dies jedoch bedingt: | ||
<math>\left\{ ik\acute{\ }dx-ik\acute{\ }{{v}_{g}}dt \right\}=0</math> | <math>\left\{ ik\acute{\ }dx-ik\acute{\ }{{v}_{g}}dt \right\}=0</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>dx={{v}_{g}}dt\Rightarrow {{\left. \frac{dx}{dt} \right|}_{A=const}}={{v}_{g}}</math> | <math>dx={{v}_{g}}dt\Rightarrow {{\left. \frac{dx}{dt} \right|}_{A=const}}={{v}_{g}}</math> | ||
Jedenfalls bewegt sich der Schwerpunkt mit der Gruppengeschwindigkeit vg | Jedenfalls bewegt sich der Schwerpunkt mit der Gruppengeschwindigkeit vg | ||
<math>{{v}_{g}}={{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}=\frac{\hbar {{k}_{0}}}{m}=\frac{{{p}_{0}}}{m}=v</math> | <math>{{v}_{g}}={{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}=\frac{\hbar {{k}_{0}}}{m}=\frac{{{p}_{0}}}{m}=v</math> | ||
als klassische Teilchengeschwindigkeit | als klassische Teilchengeschwindigkeit | ||
'''Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden:''' | '''Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden:''' | ||
'''Sei t=0''' | '''Sei t=0''' | ||
<math>\Psi (x,0)=\int_{-\infty }^{\infty }{dk\tilde{\Psi }(k)}{{e}^{ikx}}</math> | <math>\Psi (x,0)=\int_{-\infty }^{\infty }{dk\tilde{\Psi }(k)}{{e}^{ikx}}</math> | ||
Dies ist gerade die Fourierdarstellung mit der Fourier- Transformierten | Dies ist gerade die Fourierdarstellung mit der Fourier- Transformierten | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \Phi (k)=\sqrt{2\pi }\tilde{\Psi }(k): \\ | & \Phi (k)=\sqrt{2\pi }\tilde{\Psi }(k): \\ | ||
& \Phi (k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{dx\Psi (x,0)}{{e}^{-ikx}} \\ | & \Phi (k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{dx\Psi (x,0)}{{e}^{-ikx}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation. | Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation. | ||
Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func) | |||
<math>\tilde{\Psi }(k)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}{dx{{e}^{-ikx}}=}\frac{1}{2\pi }\left. \frac{{{e}^{-ikx}}}{-ik} \right|_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}=\frac{\Delta x}{2\pi }\frac{\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)}{k\frac{\Delta x}{2}}</math> | <math>\tilde{\Psi }(k)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}{dx{{e}^{-ikx}}=}\frac{1}{2\pi }\left. \frac{{{e}^{-ikx}}}{-ik} \right|_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}=\frac{\Delta x}{2\pi }\frac{\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)}{k\frac{\Delta x}{2}}</math> | ||
Die Fouriertransformierte der Rec- Funktion ist als die Sincfunktion mit der inversen Breite der Spaltfunktion. | Die Fouriertransformierte der Rec- Funktion ist als die Sincfunktion mit der inversen Breite der Spaltfunktion. | ||
Denn: | Denn: | ||
<math>\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)</math> | <math>\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)</math> | ||
moduliert im k- Raum entsprechend schnell, wenn die Konstante | moduliert im k- Raum entsprechend schnell, wenn die Konstante | ||
<math>\Delta x</math> | <math>\Delta x</math> | ||
entsprechend groß ist ! | entsprechend groß ist ! | ||
Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten: | Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten: | ||
<math>{{v}_{Ph}}=\frac{{{\omega }_{{}}}}{k}=\frac{\hbar k}{m}</math> | <math>{{v}_{Ph}}=\frac{{{\omega }_{{}}}}{k}=\frac{\hbar k}{m}</math> | ||
Grund ist die nichtlineare Dispersionsbeziehung | Grund ist die nichtlineare Dispersionsbeziehung | ||
<math>\omega (k)</math> | <math>\omega (k)</math> | ||
Das quantenmechanische Wellenpaket zeigt nun bereits im kräftefreien Fall Dispersion (Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen im Vakuum). | Das quantenmechanische Wellenpaket zeigt nun bereits im kräftefreien Fall Dispersion (Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen im Vakuum). | ||
Das heißt, beispielsweise ein lokalisiertes Gauß- Paket „zerfließt " bei Ausbreitung mit der Gruppengeschwindigkeit v<sub>g</sub>. | Das heißt, beispielsweise ein lokalisiertes Gauß- Paket „zerfließt " bei Ausbreitung mit der Gruppengeschwindigkeit v<sub>g</sub>. | ||
Dies muss im Sinne von Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. (Interessantes Argument gegen Befürworter einer Theorie von Materiedichte: Das Auseinanderlaufen des Paketes wäre ein Widerspruch zur Stabilität der Materie !) Es handelt sich um eine Verbreiterung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und nicht um ein Zerfließen von Materie !! | Dies muss im Sinne von Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. (Interessantes Argument gegen Befürworter einer Theorie von Materiedichte: Das Auseinanderlaufen des Paketes wäre ein Widerspruch zur Stabilität der Materie !) Es handelt sich um eine Verbreiterung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und nicht um ein Zerfließen von Materie !! | ||
Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !! | Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !! | ||
Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit! | Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit! | ||
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Revision as of 09:29, 24 August 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Kräftefreie Schrödingergleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantemechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=2}} Kategorie:Quantemechanik __SHOWFACTBOX__
Kräftefreie Schrödingergleichung
(Keine äußeren Potenziale)
Die Bewegungsgleichung für die Materiewellenfunktion
soll die folgenden Postulate erfüllen:
- Sie soll eine DGL 1.Ordnung in der zeit sein, damit
- durch die Anfangsverteilung
- bestimmt ist ( der qm. Zustand ist vollständig durch
- festgelegt).
- Sie soll linear in
- sein, damit das Superpositionsprinzip gilt. Außerdem soll sie homogen sein.
Durch das Superpositionsprinzip sind Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen. Damit werden die Interferenzeffekte mathematisch greifbar.
- Die Gleichung soll keine speziellen Bewegungsgrößen wie
- enthalten. Nur so können Wellenpakete durch Überlagerung verschiedener
- - Werte gebildet werden.
- Ebene Wellen:
- mit
- sollen Lösung sein. Dabei gilt
- wegen des Zusammenhangs
Somit auch für Photonen:
Also ergibt sich:
Also:
Dies ist die freie, zeitabhängige Schrödingergleichung
Bemerkungen
- Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion
- :
- ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort
- zu finden.
wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase. Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar. ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
- Normierung:
- Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf
- ist auch der zeitumgekehrte
- ein physikalisch möglicher Vorgang:
Die Transformationsvorschrift lautet:
Beweis:
Die ganze Gleichung kann natürlich komplex konjugiert werden:
Ersetzt man nun t durch -t, so folgt:
Also: Mit ist auch Lösung der Schrödingergleichung Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt ! Wellenpakete Ebene Wellen der Form haben eine räumlich homogene Wahrscheinlichkeitsdichte |C|², falls dieser Vorfaktor nicht vom Ort abhängt ( im Gegensatz zu Kugelwellen). Die Phase verschwindet bei Betragsbildung völlig! Lokalisierte Zustände können grundsätzlich durch die Superposition ebener Wellen dargestellt werden:
Man kann sich derartige Wellenpakete veranschaulichen: eindimensional: Die Phase kx-w(k)t kann nun um k=ko entwickelt werden:
Dabei sei:
Somit folgt für obige Wellenfunktion ( unser Paketchen):
Dabei stellt ein Trägerwelle mit der Phasengeschwindigkeit dar und repräsentiert eine Einhüllende A(x,t), die langsam zeit- und ortsveränderlich ist, da ja nur die Terme mit nennenswerte Beiträge zum Integral liefern. Wegen der Taylorentwicklung ,macht dieser Schritt jedoch nur Sinn für Systeme, die um k0 lokalisiert sind ! Also für impulsmäßig lokalisierte Systeme ( endliche Farbbandbreite eines Lichtpulses etc...). Grafisch:
Bewegung der Einhüllenden:
Setze:
Dies gilt jedoch nur infinitesimal. Man kann jedoch das MAXIMUM von A(x,t) wählen:
Dies jedoch bedingt:
Jedenfalls bewegt sich der Schwerpunkt mit der Gruppengeschwindigkeit vg
als klassische Teilchengeschwindigkeit Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden: Sei t=0
Dies ist gerade die Fourierdarstellung mit der Fourier- Transformierten
Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation. Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func)
Die Fouriertransformierte der Rec- Funktion ist als die Sincfunktion mit der inversen Breite der Spaltfunktion. Denn: moduliert im k- Raum entsprechend schnell, wenn die Konstante entsprechend groß ist ! Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten:
Grund ist die nichtlineare Dispersionsbeziehung
Das quantenmechanische Wellenpaket zeigt nun bereits im kräftefreien Fall Dispersion (Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen im Vakuum). Das heißt, beispielsweise ein lokalisiertes Gauß- Paket „zerfließt " bei Ausbreitung mit der Gruppengeschwindigkeit vg. Dies muss im Sinne von Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. (Interessantes Argument gegen Befürworter einer Theorie von Materiedichte: Das Auseinanderlaufen des Paketes wäre ein Widerspruch zur Stabilität der Materie !) Es handelt sich um eine Verbreiterung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und nicht um ein Zerfließen von Materie !! Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !! Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!