Lagrangegleichungen 2. Art

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Lagrangegleichungen 2. Art basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:

$\sum _i{m}_i{\ddot{\overline{r}}}_i\delta {\overline{r}}_i=\sum _i^{}{\overrightarrow{X}}_i\delta {\overline{r}}_i=\sum _j{Q}_j\delta q_j$

Linke Seite:

$\sum _i{m}_i{\ddot{\overline{r}}}_i\delta {\overline{r}}_i=\sum _j\left(\sum _i{m}_i{\ddot{\overline{r}}}_i\frac{\partial }{\partial q_j}{\overline{r}}_i\right)\delta q_j=\sum _j\sum _i^{}\{\frac{d}{dt}\left(m_i{\dot{\overrightarrow{r}}}_i\frac{\partial }{\partial q_j}{\overline{r}}_i\right)-m_i{\dot{\overrightarrow{r}}}_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial q_j}{\overline{r}}_i\right)\}\delta {q_j}_{}$

Mit

$\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}{\overrightarrow{v}}_i=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}{[\sum _{j=1}^f\left(\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}{\dot{q}}_j\right)+\frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i]}_{}=\frac{\partial }{\partial q_j}{\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)$

und

${\dot{\overline{r}}}_i=\sum _{j=1}^f\left(\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}\right){\dot{q}}_j+\frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i=\sum _{j=1}^f\left(\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}{\overrightarrow{v}}_i\right){\dot{q}}_j+\frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}\right)=\frac{\partial }{\partial q_j}{\overrightarrow{v}}_i$

Beweis für die letzte Deduktion:

$\begin{array}{ll}& \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}\right)=\sum _{k=1}^{}\left(\frac{{\partial }^2{\overline{r}}_i}{\partial q_k\partial q_j}\right){\dot{q}}_k+\frac{{\partial }^2}{\partial q_j\partial t}{\overline{r}}_i\\ & \frac{\partial }{\partial q_j}{\overrightarrow{v}}_i=\frac{\partial }{\partial q_j}\{\sum _{k=1}^{}\left(\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_k}\right){\dot{q}}_k+\frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i\}=\sum _{k=1}^{}\left(\frac{{\partial }^2{\overline{r}}_i}{\partial q_k\partial q_j}\right){\dot{q}}_k+\frac{{\partial }^2}{\partial q_j\partial t}{\overline{r}}_i\\ \end{array}$

Somit ergibt sich für die linke Seite

$\sum _i{m}_i{\ddot{\overline{r}}}_i\delta {\overline{r}}_i=\sum _{i,j}\{\frac{d}{dt}\left(m_i{\overrightarrow{v}}_i\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}{\overrightarrow{v}}_i\right)-m_i{\overrightarrow{v}}_i\left(\frac{\partial }{\partial q_j}{\overrightarrow{v}}_i\right)\}\delta q_j$

Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte KINETISCHE ENERGIE auszudrücken:

$T=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{{\overrightarrow{v}}_i}^2$

$\begin{array}{ll}& m_i{\overrightarrow{v}}_i\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}{\overrightarrow{v}}_i=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}\left(\frac{1}{2}{m}_i{{\overrightarrow{v}}_i}^2\right)\\ & m_i{\overrightarrow{v}}_i\frac{\partial }{\partial q_j}{\overrightarrow{v}}_i=\frac{\partial }{\partial q_j}\left(\frac{1}{2}{m}_i{{\overrightarrow{v}}_i}^2\right)\\ \end{array}$

Somit folgt:

$\{\frac{d}{dt}\left(m_i{\overrightarrow{v}}_i\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}{\overrightarrow{v}}_i\right)-m_i{\overrightarrow{v}}_i\left(\frac{\partial }{\partial q_j}{\overrightarrow{v}}_i\right)\}=\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}T\right)-\left(\frac{\partial }{\partial q_j}T\right)\}$

$\begin{array}{ll}& \sum _i{m}_i{\ddot{\overline{r}}}_i\delta {\overline{r}}_i=\sum _i^{}{\overrightarrow{X}}_i\delta {\overline{r}}_i=\sum _j{Q}_j\delta q_j\\ & \Rightarrow \sum _j\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}T\right){-}_{}\left(\frac{\partial }{\partial q_j}T\right)-Q_j\}\delta q_j=0\\ \end{array}$

Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:

$\begin{array}{ll}& \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}T\right){-}_{}\left(\frac{\partial }{\partial q_j}T\right)-Q_j=0\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_k}T\right){-}_{}\left(\frac{\partial }{\partial q_k}T\right)=Q_{kk=1,....,f}\\ \end{array}$

Lagrange- Gleichungen 2. Art:

Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für HOLONOME Zwangsbedingungen gewonnen werden ( im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für HOLONOME Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:

Spezialfall konservative Kräfte:

$\begin{array}{ll}& -\frac{\partial V}{\partial q_j}=Q_j\\ & V(q_1,...,q_f,t)=V({\overrightarrow{r}}_1(q_{1,}...,q_f,t),...,{\overrightarrow{r}}_N(q_{1,}...,q_f,t))\\ \end{array}$

Dies bedingt jedoch:

$\frac{\partial V(q_1,...,q_f,t)}{\partial {\dot{q}}_k}=0$

Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:

$L(q_1,...,q_f,{\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_f,t)=L(q_k,{\dot{q}}_k,t)=T-V$

Es folgt:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_k}=0$

Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !

Anmerkung:

• die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
• L=T-V ist nur EINE mögliche Form

$\begin{array}{ll}& T(q_k,{\dot{q}}_k,t)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{m}_i{\left(\sum _{k=1}^f\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}{\dot{q}}_k+\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial t}\right)}^2\\ & T(q_k,{\dot{q}}_k,t)=a+\sum _{k=1}^f{b}_k{\dot{q}}_k+\sum _{k,l=1}^f{c}_{kl}{\dot{q}}_k{\dot{q}}_l\\ \end{array}$

• Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine HOMOGENE Bilinearform in

${\dot{q}}_k(a=b_k=0)$

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

Die Atwoodsche Fallmaschine

Generalisierte Koordinate: q

$\begin{array}{ll}& T(q_{},{\dot{q}}_{},t)=\frac{1}{2}(m_{1_{}}+m_2){\dot{q}}^2\\ & V(q,\dot{q},t)=m_{1}gq+m_2(l-q)g\\ & \frac{\partial L}{\partial q}=m_{1}g-m_{2}g\\ & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=(m_1+m_2)\dot{q}\\ & (m_1+m_2)\ddot{q}+m_{1}g-m_{2}g=0\\ & \\ \end{array}$

Beispiel 2:

Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Generalisierte Koordinate q ist der Winkel $\varphi$

$\begin{array}{ll}& T(q_{},{\dot{q}}_{},t)=\frac{1}{2}m{c}^2+\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2{({R_o}^{}-ct)}^2\\ & V(q,\dot{q},t)=0\\ & L=\frac{1}{2}m{c}^2+\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2{({R_o}^{}-ct)}^2\\ \end{array}$

Dahin kommt man im Übrigen aus:

$\begin{array}{ll}& T=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)\\ & x=(R_o-ct)\cos \varphi \\ & \dot{x}=-c\cos \varphi -(R_o-ct)\dot{\varphi }\sin \varphi =-c\cos q-(R_o-ct)\dot{q}\sin q\\ & y=(R_o-ct)\sin \varphi \\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}{({R_o}^{}-ct)}^2\\ & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\ddot{q}{({R_o}^{}-ct)}^2-2cm\dot{q}({R_o}^{}-ct)\\ & \Rightarrow \ddot{q}(R_o-ct)=2c{\dot{q}}^{}\\ \end{array}$

Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:

$\begin{array}{ll}& \frac{\dot{\omega }}{\omega }=\frac{2c}{R_o-ct}\\ & \int \frac{d\omega }{\omega }=2c\int \frac{dt}{R_o-ct}\\ & \ln \omega =-2\ln (R_o-ct)+const\\ & \ln \omega =\ln \frac{con\tilde{s}}{{(R_o-ct)}^2}\\ & \omega =\frac{con\tilde{s}}{{(R_o-ct)}^2}\\ \end{array}$

Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

Drehimpuls:

$\begin{array}{ll}& \overrightarrow{L}=m\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r}\\ & {\overrightarrow{L}}_o=m{{\omega }_o}^{}{R_o}^2{v}_o={\omega }_o{R}_o{r}_o=R_o\\ & andererseits:\\ & {\omega }_o=\frac{con\tilde{s}}{{(R_o)}^2}\\ & \Rightarrow \omega =\frac{con\tilde{s}}{{(R_o-ct)}^2}\Rightarrow con\tilde{s}=\frac{{\overrightarrow{L}}_o}{m}\\ & \omega =\frac{{\overrightarrow{L}}_o}{m{(R_o-ct)}^2}=\dot{q}\\ \end{array}$

Durch Integration gewinnt man:

$q=q_o+\frac{{\overrightarrow{L}}_o}{cm(R_o-ct)}$

Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird ( Drehimpulserhaltung !)