D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen (holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.

Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften $Z_{i}$ als:

${\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)-{{\vec {X}}_{i}}={{\vec {Z}}_{i}}\quad i=1...N\\&\to \sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)-{{\vec {X}}_{i}}\right)\delta {{\vec {r}}_{i}}=}\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}\\\end{aligned}}$

Dabei versteht man $\sum \limits _{i}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}$ als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}$ als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.

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Beispiel: Bewegung auf einer Fläche $f({{\vec {r}}_{i}},t)=0$ das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken: ${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$ Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche: ${\begin{aligned}&{{\vec {Z}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\\&{{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.{\vec {a}}\ f{\ddot {u}}r\ Ebene\\\end{aligned}}$ Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun: ${{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec {r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f$ Begründung: ${{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec {r}}_{i}}$ ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen: ${{\nabla }_{ri}}f$ ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche $f\delta {{\vec {r}}_{i}}$ ein Differenzial parallel zur Fläche Also folgt: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}=0$ Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}d{{\vec {r}}_{i}}}\neq 0$

Beispiel: Starrer Körper ${{f}_{\lambda }}=\left|{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}\right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0$ Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung ${{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}$ ${{\vec {Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}$ Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren: Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung. Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren. Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken: ${{\vec {Z}}_{ij}}=-{{\vec {Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{}}}}={{\lambda }_{ji}}$ Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft: ${{\vec {Z}}_{i}}=\sum \limits _{j\neq i}{{Z}_{ij}}=\sum \limits _{j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}}$ ${{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}\neq 0$ im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln. Jedoch gilt: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i,j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{}}{{({{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}})}_{}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}{{\lambda }_{ij}}{{\delta }_{}}{{r}_{ij}}=0$ Beweis: $\delta |r|=\delta {{({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})}^{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}{{({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})}^{-{\frac {1}{2}}}}2{\vec {r}}\delta {\vec {r}}={\frac {{\vec {r}}\delta {\vec {r}}}{r}}$ und ${{\delta }_{}}{{r}_{ij}}=0$

Allgemeine Forderung

Allgemein kann man fordern: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=0$ für alle betrachteten Zwangskräfte.

Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.

Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$

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Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen

Beispiel für ein Variationsprinzip{{#set:Fachbegriff=Variationsprinzip|Index=Variationsprinzip}}:

Differentialprinzip{{#set:Fachbegriff=Differentialprinzip|Index=Differentialprinzip}}: ( für infinitesimal kleine Variationen):

Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn $\left\{\delta {{\vec {r}}_{i}}\right\}$.

Variationsprinzip mit Nebenbedingungen

Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um: ${\begin{aligned}&{\vec {r}}\to {{r}_{j}}(j=1...3)\\&{\vec {X}}\to {{X}_{j}}\\&{\vec {a}}\to {{b}_{j}}^{n}\\\end{aligned}}$

Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir: $\sum \limits _{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{}}{{r}_{i}}}=\sum \limits _{i=1}^{3N}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {r}}_{i}}-{{X}_{i}}\right)\delta {{r}_{i}}=0}$

Nebenbedingung: $\sum \limits _{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }$

$\nu$ charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung

Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren{{#set:Fachbegriff=Methode der Lagrange-Multiplikatoren|Index=Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}.

Denn: Wenn die Vektorkomponenten ${{r}_{i}}$ frei variierbar wären, also $\delta {{r}_{i}}$ beliebig, so müsste gelten: ${{m}_{i}}{{\ddot {r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0$

Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:

• Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren{{#set:Fachbegriff=Lagrangemultiplikatoren|Index=Lagrangemultiplikatoren}} ${{\lambda }_{n}}$ Wir erhalten:
  • $\sum \limits _{j=1}^{3N}{\left({{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}\right)\delta {{r}_{j}}=0}$
• Nun sind $\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}$ aus den Nebenbedingungen zu eliminieren. Die verbleibenden $\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}$ sind nun frei variierbar.
• Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:
  • Es lassen sich ${{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}$ derart bestimmen, dass
  • ${{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu$
  • Das heißt, wir suchen die ${{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}$ aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die ${{\lambda }_{n}}(t)$ als Funktion der ${{\ddot {r}}_{j}}(t)$; Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.
  • $\sum \limits _{j=\nu +1}^{3N}{\left({{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}\right)\delta {{r}_{j}}=0}$
  • Da hier jedoch die $\delta {{r}_{j}}$ frei variierbar sind, gilt:

${{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0$Lagrange- Gleichung der 1. Art

{{#set:Definition=Lagrange- Gleichung der 1. Art|Index=Lagrange- Gleichung der 1. Art}}

$\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}$ kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.

Beispiel Atwoodsche Fallmaschine miniatur|Atwoods Fallmaschine Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g. Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$ so folgt: $({{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0$ Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: ${\begin{aligned}&{{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const.\\&\delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}}\\&{{\ddot {h}}_{1}}=-{{\ddot {h}}_{2}}\\\end{aligned}}$ Also folgt: $({{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0$ ${{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0$ ${{\ddot {h}}_{1}}={\frac {({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}g$ Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$