Elektrodynamik Schöll: Difference between revisions

Revision as of 13:24, 20 August 2010

0vorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Elektrodynamik Schöll basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des Elektrodynamik.Kapitels der 0vorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Theorie III - Elektrodynamik Skript zur Vorlesung

von Prof. Dr. Schoell

erweitert um eine kurze Abhandlung zur Holografie

Verfasser:

Franz- Josef Schmitt

Elektrodynamik

Klassische elektrische und magnetische Erscheinungen

Elektrodynamik ist relativistisch invariant
Feldtheorie ( Nahwirkungstheorie, Kontinuumstheorie, endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wirkungen)
lokale Theorie:
$\bar{E} (\bar{r}, t), \bar{B} (\bar{r}, t)$
quantentheoretische Erweiterung: Quantenelektrodynamik ( nicht behandelt)

Vereinheitlichung der elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkung zur elektroschwachen WW in den 70- er Jahren ( Weinberg)

Starke WW: Quantenchromodynamik ( nach dem Vorbild der Quantenelektrodynamik)

GUT ( Grand unified): Vereinheitlichung der Elektroschwachen Theorie mit der starken Kernkraft + Gravitationswechselwirkung ( nichtlinear, allgemein- relativistisch).

grundlegende Theorie: elektrische und magnetische Felder im Vakuum, erzeugt durch lokalisierte Ladungs- und Stromverteilungen

elektromagnetische Felder in Materie:

freie und gebundene Ladungen in Festkörpern/ Gasen, Materie im Allgemeinen

Zusammenfassung des Beitrags der mikroskopisch gebundenen Ladungen in phänomenologischen Materialkonstanten: Dielektrizitätskonstante, Permeabilität
phänomenologische Theorie elektromagnetische Felder in Materie

( Theorie der Materialkonstanten -> Quantentheorie der Festkörper, Flüssigkeiten, Gase )

Stoff der Vorlesung

Elektrodynamik im Vakuum

Elektrodynamik in materie

Relativistische Formulierung

Literatur

H. Mitter: Elektrodynamik,. besonders gute relativistisch Formulierung
Stumpf, H.: Elektrodynamik Vieweg 1973
J.D. Jackson
R. Becker, Sauter: Theorie der Elektrizität
Landau- Lifschitz Band II und VIII

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+{{Scripthinweis|0|Elektrodynamik}}
 <font size = "6"><u>'''Theorie III - Elektrodynamik'''</u>
 <u>'''Skript zur Vorlesung'''</u>
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 * R. Becker, Sauter: Theorie der Elektrizität
 * Landau- Lifschitz Band II und VIII
-<u>'''1. Elektrostatik'''</u>
-*# <u>'''Coulomb- Wechselwirkung'''</u>
-<u>'''Experimentelle Grundtatsachen'''</u>
-* Materie trägt als skalare Eigenschaften Masse und elektrische Ladung
-'''Masse:'''
-* Gravitations- Wechselwirkung ( Newton: 1643 - 1727 )
-Kraft auf Masse
-<math>{{m}_{2}}</math>
-bei
-<math>{{\bar{r}}_{2}}</math>
-, ausgeübt von Masse
-<math>{{m}_{1}}</math>
-bei
-<math>{{\bar{r}}_{1}}</math>
-:
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{F}}}_{g}}^{(2)}=-\gamma \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|}^{2}}}{{{\bar{e}}}_{12}} \\
-& {{{\bar{e}}}_{12}}:=\frac{{{{\bar{r}}}_{2}}-{{{\bar{r}}}_{1}}}{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|} \\
-\end{align}</math>
-Wegen:
-<math>\gamma ,{{m}_{1}},{{m}_{2}}>0</math>
-wird dem Phänomen Rechnung getragen, dass Gravitation stets anziehend wirkt.
-Festlegung von
-<math>\gamma </math>
-durch Wahl einer willkürlichen Einheit kg für Masse:
-<math>\gamma =6,67\cdot {{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}</math>
-schwere Masse = träge Masse:
-<math>\Rightarrow 1N=1\frac{kg\cdot m}{{{s}^{2}}}</math>
-'''Coulomb- Wechselwirkung ( C. Coulomb 1736-1806)'''
-Kraft auf Ladung
-<math>{{q}_{2}}</math>
-bei
-<math>{{\bar{r}}_{2}}</math>
-, ausgeübt von Masse
-<math>{{q}_{1}}</math>
-bei
-<math>{{\bar{r}}_{1}}</math>
-:
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{F}}}_{e}}^{(2)}=k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|}^{2}}}{{{\bar{e}}}_{12}} \\
-& {{{\bar{e}}}_{12}}:=\frac{{{{\bar{r}}}_{2}}-{{{\bar{r}}}_{1}}}{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|} \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{align}
-& \gamma >0 \\
-& {{q}_{1}},{{q}_{2}}_{>}^{<}0 \\
-\end{align}</math>
-<math>{{q}_{1}}{{q}_{2}}>0</math>
--> Abstoßung
-<math>{{q}_{1}}{{q}_{2}}<0</math>
--> Anziehung
-Festlegung von k durch Wahl einer willkürlichen Einheit Coulomb [C] für die elektrische Ladung:
-<math>k=8,988\cdot {{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}}</math>
-<math>\Rightarrow </math>
-Einheit des elektrischen Stromes: 1 Ampere
-<math>\left[ A \right]=1\frac{C}{s}</math>
-'''Bemerkungen'''
-* je nach Wahl von k ergeben sich verschiedene Einheitssysteme ( Maßsysteme):
-# '''SI'''
-System International d´ Unites  , seit 1.1.1978 verbindlich
-m, kg, s, A -> MKSA
-K
-mol
-cd ( Candela) -> Lichtstärke
-historisch bedingte Schreibweise:
-<math>k=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}</math>
-mit der absoluten dielektrischen Konstanten
-<math>{{\varepsilon }_{0}}=8,854\cdot {{10}^{-12}}\frac{{{C}^{2}}{{s}^{2}}}{kg{{m}^{3}}}</math>
-# '''Gauß:  k=1  ( Miller) CGS- System'''
-<math>{{F}_{e}}=\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}</math>
-Elektrostatische Ladungseinheit:
-<math>\begin{align}
-& 1ESE=1\sqrt{dyn}\cdot cm \\
-& 1C=3\cdot {{10}^{9}}ESE \\
-\end{align}</math>
-# Ladungen e1 = e2 = 1 ESE  im Abstand r = 1cm üben die Kraft
-# <math>1dyn=1\frac{g\cdot cm}{{{s}^{2}}}</math>
-# aufeinander aus
-* Sehr zweckmäßig bei mikroskopischen Rechnungen, da Coulombgesetz einfacher
-* unzweckmäßig in der phänomenologischen Elektrodynamik, da Ladungseinheit
-* <math>1ESE=1\sqrt{dyn}\cdot cm</math>
-*
-'''Gute Umrechungstabellen: Vergl. Jackson'''
-'''Weitere Bemerkungen'''
-# Das Coulombgesetz gilt bis zu Abständen
-# <math>r>{{10}^{-11}}cm</math>
-#
-Bei kleineren Abständen sind quantenelektrodynamische Korrekturen nötig
-# Die gesamte Ladung eines abgeschlossenen Systems ist konstant.  Aber: Paarerzeugung von positiver und negativer Ladung und lokale Ladungstrennung ist möglich.
-# Ladung tritt quantisiert auf:
-Elementarladung:
-<math>e=1,6\cdot {{10}^{-19}}C</math>
-Schwere Elementarteilchen ( Hadronen)sind aus Quarks mit Ladungen
-<math>-\frac{1}{3}e</math>
-oder
-<math>+\frac{2}{3}e</math>
-zusammengesetzt , aber Quarks wurden bisher nicht als freie Teilchen beobachtet
-# Die Ausdehnung der geladenen Elementarteilchen ist
-# <math><{{10}^{-13}}cm</math>
-# . Also erfolgt die makroskopische Beschreibung mit dem Punktladungsmodell.
-<u>'''1.2 Elektrisches Feld und Potenziale'''</u>
-Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen
-<math>{{q}_{i}}</math>
-bei
-<math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
-,i=1,2,... auf die Ladung
-<math>{{q}_{{}}}</math>
-bei
-<math>{{\bar{r}}_{{}}}</math>
-:
-<math>{{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>
-Darüber wird das elektrische Feld definiert:
-<math>q\cdot \bar{E}\equiv {{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>
-Also:
-<math>\bar{E}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>
-Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?
-* Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen ( maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
-* Das Feld
-* <math>\bar{E}(\bar{r})</math>
-* ist der PHYSIKALISCHE Zustand des leeren Raumes bei
-* <math>\bar{r}</math>
-* .
-* Eigenständige FELDDYNAMIK ( partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung ( Retardierungseffekte)
-* Feld muss IMPULS, DREHIMPULS und ENERGIE aufnehmen und abgeben können.
-Einheit:
-<math>\begin{align}
-& \left[ E \right]=\frac{N}{C}=\frac{kgm}{C{{s}^{2}}}=\frac{V}{m} \\
-& 1V:=1\frac{kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}} \\
-\end{align}</math>
-Das Volt ist benannt nach A. Volta ( 1745 - 1887)
-Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:
-Dabei sollte q-> 0, damit keine Rückwirkung auf
-<math>{{q}_{i}}</math>
-erfolgt.
-Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:
-<math>\left[ \bar{E}(\bar{r}) \right]=\begin{matrix}
-\lim   \\
-q\to 0  \\
-\end{matrix}\frac{1}{q}\bar{F}(\bar{r})</math>
-<u>'''Das Elektrostatische Potenzial'''</u>
-Mit
-<math>\begin{align}
-& \nabla \frac{1}{r\acute{\ }}=-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{3}}}\bar{r}\acute{\ } \\
-& r\acute{\ }:=\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right| \\
-\end{align}</math>
-Läßt sich schreiben:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}{{|}^{3}}}\left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r}) \\
-& \Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}|} \\
-\end{align}</math>
-Mit dem elektrostatischen Potenzial
-<math>\Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}|}</math>
-, Einheit : 1 V
-<u>'''Kontinuierliche Ladungsverteilung'''</u>
-<math>\begin{align}
-& {{q}_{i}}\to {{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ }) \\
-& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\to \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho }(\bar{r}\acute{\ }) \\
-\end{align}</math>
-Mit der Ladungsdichte
-<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
-. Diese muss beschränkt sein und
-<math>O\left( {{r}^{-3-\varepsilon }} \right),\varepsilon >0</math>
-für
-<math>r\to \infty </math>
-.
-Es wird
-Bei Verteilung von Punktladungen:
-<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\delta (\bar{r}\acute{\ }-{{\bar{r}}_{i}})=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\prod\limits_{j=1}^{3}{{}}\delta ({{x}_{j}}\acute{\ }-{{x}_{j}}_{i})</math>
-'''Quellen des elektrischen Feldes:'''
-Bei Punktladung q bei
-<math>\bar{r}\acute{\ }=0\Rightarrow \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{q}{{{r}^{2}}}\cdot \frac{{\bar{r}}}{r}</math>
-Legt man eine geschlossene Oberfläche S um q, so beobachtet man einen elektrischen Kraftfluss:
-<math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \oint_{S}{{}}\frac{d\bar{f}\cdot \bar{r}}{{{r}^{3}}}=\oint_{S}{df}{{E}_{n}}(\bar{r})</math>
-als geschl. Flächenintegral über die Normalkomponenten des austretenden elektrischen Feldes
-<math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{df}\left| \bar{E}(\bar{r}) \right|\cos \Theta </math>
-<math>d\bar{f}</math>
-entspricht einem Raumwinkel
-<math>d\Omega :d\bar{f}\cdot \bar{r}=df\cdot r\cdot \cos \Theta ={{r}^{3}}d\Omega </math>
-<math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \oint_{S}{{}}d\Omega =\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-<math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=q</math>
-Dies kann leicht auf kontinuierliche Ladungsverteilungen verallgemeinert werden:
-<math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
-Der Fluß des elektrischen Feldes einer von
-<math>S=\partial V</math>
-eingeschlossenen Gesamtladung
-'''Integralform '''des Coulomb- Gesetzes
-<u>'''Der Gaußsche Integralsatz'''</u>
-<math>\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rdiv\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}</math>
-wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet !
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\rho \left( {\bar{r}} \right)}={{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right) \\
-& \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right) \\
-\end{align}</math>
-Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.
-<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
-sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind.
-Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre
-<math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right),\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
-<u>'''Äquivalente Aussagen der Elektrostatik'''</u>
-#
-# <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
-#  besitzt ein skalares Potenzial
-# <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>
-#
-#
-# <math>\int_{1}^{2}{d\bar{s}}\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
-# , also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen  ist wegunabhängig
-#
-# <math>\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=0</math>
-#  : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei
-Es gilt:
-<math>1)\Leftrightarrow 2)\Leftrightarrow 3)</math>
-'''Beweis:'''
-<math>1)\Leftrightarrow 3)</math>
-<u>'''Stokescher Satz:'''</u>
-<math>0=\oint_{\partial F}{d\bar{s}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{F}^{{}}{\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)d\bar{f}}</math>
-für beliebige Flächen F mit einer Umrandung
-<math>\partial F</math>
-.
-<u>'''1.3 Poisson- Gleichung und Greensche Funktion'''</u>
-<math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>
-in
-<math>\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-liefert:
-<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung
-Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.
-'''Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:'''
-'''Entweder:'''
-)
-<math>\Phi (\bar{r})\to 0</math>
-hinreichend rasch für
-<math>r\to \infty </math>
-oder
-)
-<math>\Phi (\bar{r})</math>
-sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen
-'''Lösung zu 1):'''
-<math>\Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
-für hinreichend rasch abfallendes
-<math>\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-'''Einsetzen in Poisson- Gleichung:'''
-<math>\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\Delta }_{r}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta }_{r}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
-, falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.
-Man definiere für ein festes
-<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
-, dass
-<math>\begin{align}
-& \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
-& {{\nabla }_{r}}={{\nabla }_{s}} \\
-\end{align}</math>
-:
-Also:
-<math>\begin{align}
-& {{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}={{\nabla }_{S}}\left( {{\nabla }_{S}}\frac{1}{s} \right)=-{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{2}}}\frac{{\bar{s}}}{s}=-\frac{1}{{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}\bar{s}-\bar{s}{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{3}}} \\
-& {{\nabla }_{S}}\bar{s}=3 \\
-& \Rightarrow {{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}\bar{s}-\bar{s}{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{3}}}=-\frac{3}{{{s}^{3}}}+\frac{1}{{{s}^{3}}}=0 \\
-\end{align}</math>
-Dies ist aber ein Widerspruch zu
-<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-Grund ist , dass die Vertauschung von
-<math>{{\Delta }_{r}}</math>
-und
-<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
-sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
-<math>\bar{r}=\bar{r}\acute{\ }</math>
-, also s=0  ( Singularität!!)
-Stattdessen für beliebige V:
-Nun kann man
-<math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}</math>
-mit
-<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
-vertauschen.
-Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
-<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
-nach der Vertauschung stetig ist !:
-<math>\begin{align}
-& \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|} \\
-& {{\nabla }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}} \\
-\end{align}</math>
-Somit:
-<math>\begin{align}
-& \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}} \\
-& \oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega } \\
-\end{align}</math>
-aber:
-<math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=4\pi </math>
-, falls
-<math>\bar{r}\acute{\ }\in V</math>
-<math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=0</math>
-falls
-<math>\bar{r}\acute{\ }\notin V</math>
-Somit:
-<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:
-<math>{{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-4\pi \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>
-Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist !
-<u>'''Greensche Funktion der Poisson- Gleichung'''</u>
-<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
-Invertierung
-<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-Mit dem Greenschen Operator
-<math>\hat{G}</math>
-:
-Eine Fourier- Transformation von
-<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
-liefert
-<math>-{{k}^{2}}\tilde{\Phi }=-\frac{{\tilde{\rho }}}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
-Man kann schreiben:
-<math>\begin{align}
-& \tilde{\Phi }=\tilde{\hat{G}}\tilde{\rho } \\
-& \tilde{\hat{G}}:=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
-\end{align}</math>
-Die einfache Fourier- Transformierte Form von
-<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-, nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.
-Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:
-<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-Es gilt:
-<math>{{\Delta }_{r}}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
-<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
-:
-Insbesondere bei speziellen Randbedingungen
-<math>\begin{matrix}
-\lim   \\
-\bar{r}\to \infty   \\
-\end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>
-ist die Greensfunktion dann:
-<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
-Denn
-<math>{{\Delta }_{r}}G=\Delta \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-Für eine beliebige Ladungsverteilung
-<math>\rho </math>
-ist also die Lösung der Poissongleichung
-<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }</math>
-wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
-<math>\begin{matrix}
-\lim   \\
-\bar{r}\to \infty   \\
-\end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>
-gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.
-<u>'''1.4 Elektrische Multipolentwicklung'''</u>
-Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen
-<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
-in der Nähe des Ursprungs
-<math>\bar{r}\acute{\ }=0</math>
-, so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten  von
-<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>
-für
-<math>r\to \infty </math>
-:
-Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für
-<math>r>>r\acute{\ }</math>
-:
-<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})</math>
-Also
-<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}\int_{{}}^{{}}{d_{^{{}}}^{3}r\acute{\ }}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
-explizit für unsere Situation:
-<math>G(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}|}</math>
-<math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}={{\left( {{r}^{2}}-2rr\acute{\ }\cos \vartheta +r{{\acute{\ }}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
-Wobei
-<math>\vartheta </math>
-den Winkel zwischen
-<math>\bar{r}</math>
-und
-<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
-bezeichnet.
-Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für
-<math>r\acute{\ }<r</math>
-und
-<math>\left| \cos \vartheta  \right|=\left| \xi  \right|<1</math>
-konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen ( Legendre- Polynome):
-<math>{{P}_{l}}(\xi )</math>
-:
-<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )</math>
-Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe ( Taylorreihe) multipliziert mit
-<math>{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}</math>
-in jeweils l-ter Ordnung die Funktion
-<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
-zu ergeben, die wiederum das r- Fache von
-<math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
-ist.
-Also:
-<math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>
-Insbesondere folgt damit:
-<math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>
-und speziell:
-<math>\begin{align}
-& {{P}_{0}}(\xi )=1 \\
-& {{P}_{1}}(\xi )=\xi =\cos \vartheta  \\
-& {{P}_{2}}(\xi )=\frac{1}{2}\left( 3{{\xi }^{2}}-1 \right)==\frac{1}{4}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta +1 \right) \\
-\end{align}</math>
-Also:
-<math>\Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{r}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{Q}_{l}}{{r}^{-l-1}}</math>
-Mit
-<math>{{Q}_{l}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho (\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>
-als 2<sup>l</sup>- Pol
-Die Multipolentwicklung ( Entwicklung nach 2<sup>l</sup>- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r !!
-Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen ( r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell !
-Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für
-* Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
-* Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
-* Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...
-<math>l=0</math>
-:
-<math>{{\Phi }^{(0)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{0}}}{r}</math>
-<math>{{Q}_{0}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
-sogenannter Monopol ( die Gesamtladung).
-Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung
-'''l=1:'''
-<math>{{\Phi }^{(1)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{{{r}^{3}}}</math>
-<math>{{Q}_{1}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r\acute{\ }\cos \vartheta =\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{r}</math>
-Mit dem Dipolmoment
-<math>\bar{p}:=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }</math>
-Das Dipolpotenzial fällt also
-<math>\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}}</math>
-ab.
-Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper (
-<math>{{Q}_{0}}=0</math>
-).
-<u>'''Beispiel: 2 Punktladungen q, -q '''</u> bei
-<math>{{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}}</math>
-:
-<math>\begin{align}
-& \rho (\bar{r}\acute{\ })=q\left[ \delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{1}} \right)-\delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right] \\
-& {{Q}_{0}}=0 \\
-& \bar{p}=q\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right)=q\cdot \bar{a} \\
-\end{align}</math>
-'''Feld des Dipolpotenzials:'''
-<math>{{E}_{i}}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\frac{{{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{{{r}^{3}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{3{{x}_{i}}\cdot {{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{r5}-{{\delta }_{ik}}\frac{{{p}_{k}}}{{{r}^{3}}} \right]</math>
-<math>\Rightarrow E(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)\bar{r}-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>
-Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:
-<math>\Rightarrow E(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>
-'''l=2:'''
-<math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{2}}}{{{r}^{3}}}</math>
-<math>\begin{align}
-& {{Q}_{2}}=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r{{\acute{\ }}^{2}}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right) \\
-& \frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}=\frac{{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{k}}{{x}_{l}}\acute{\ }{{x}_{l}}}{{{r}^{2}}} \\
-& \Rightarrow {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right) \\
-\end{align}</math>
-Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment:
-<math>\begin{align}
-& {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}{{Q}_{kl}} \\
-& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right)={{Q}_{kl}} \\
-\end{align}</math>
-<math>{{Q}_{kl}}</math>
-ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:
-<math>\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{Q}_{ii}}=\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{i}}\acute{\ }{{x}_{i}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{ii}} \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}-3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right)=0</math>
-Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:
-<math>\begin{align}
-& {{Q}_{kl}}=0f\ddot{u}r\quad k\ne l \\
-& {{Q}_{11}}+{{Q}_{22}}+{{Q}_{33}}=0 \\
-\end{align}</math>
-Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit !
-Für das Potenzial ergibt sich:
-<math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{2{{r}^{5}}}{{Q}_{kl}}{{x}_{k}}{{x}_{l}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{r}\cdot \bar{\bar{Q}}\cdot \bar{r}}{2{{r}^{5}}}\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>
-<u>'''Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:'''</u>
-<u>'''1.5 Die elektrostatische Feldenergie'''</u>
-Kraft:
-<math>\begin{align}
-& \bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})=-q\nabla \Phi (\bar{r}) \\
-& \Rightarrow V(\bar{r})=\Phi (\bar{r}) \\
-\end{align}</math>
-ist die potenzielle Energie ! einer Ladung im Feld
-<math>\bar{E}(\bar{r})</math>
-Also:
-<math>{{W}_{ij}}={{q}_{i}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math>
-ist die Energie der Ladung
-<math>{{q}_{i}}</math>
-an
-<math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
-im Feld der Ladung
-<math>{{q}_{j}}</math>
-an
-<math>{{\bar{r}}_{j}}</math>
-. ( In ihrem Potenzial)
-Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:
-<math>W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
-i,j \\
-i\ne j
-\end{smallmatrix}}^{{}}{{}}{{W}_{ij}}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
-i,j \\
-i\ne j
-\end{smallmatrix}}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math>
-und bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung:
-<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
-<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}</math>
-Mit
-<math>\rho (\bar{r})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}</math>
-folgt:
-<math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]</math>
-Mit Hilfe des Gaußschen Satz folgt dann:
-<math>\begin{align}
-& W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{S}_{\infty }}}^{{}}{\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)d\bar{f}}+\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r} \right] \\
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-r\to \infty   \\
-\end{matrix}\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)=0 \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-da die Größen ~ 1/3 bzw. 1/r² gehen
-Also:
-<math>W=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}rw(\bar{r})}</math>
-Somit folgt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
-<math>w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r})</math>
-Die Selbstenergie einer Punktladung ergibt sich zu
-<math>\begin{align}
-& \left| \bar{E}(\bar{r}) \right|=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}} \\
-& w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
-\end{align}</math>
-und die Gesamtenergie ist folglich:
-<math>\begin{align}
-& W=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}4\pi \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
-& \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}}=\int_{0}^{\infty }{dr}\frac{1}{{{r}^{2}}}=\left[ \frac{1}{r} \right]_{0}^{\infty }\to \infty  \\
-\end{align}</math>
-Dies divergiert jedoch !!
-Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird
-<math>i\ne j</math>
-nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.
-Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der P8unktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte ( wen wunderts ?)
-<u>'''1.6 Leiter in der Elektrostatik'''</u>
-Elektrischer Leiter = Materie, mit quasi frei beweglichen Elektronen. Ein elektrisches Feld im Inneren eines Leiters übt dann eine Kraft auf die frei beweglichen Elektronen aus:
-<math>\bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})</math>
-Dadurch werden die Ladungen verschoben.
-Es folgt, dass ein kompensierendes Feld
-<math>\bar{E}\acute{\ }(\bar{r})</math>
-aufgebaut wird, bis
-<math>\bar{F}=0</math>
-, also
-<math>\bar{E}\acute{\ }-\bar{E}=0</math>
-:
-Anfangssituation:
-Endsituation:
-Für das Innere des Leiters folgt:
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{E}}}^{res.}}(\bar{r})=0 \\
-& {{{\bar{E}}}^{res.}}(\bar{r})=-\nabla \Phi (\bar{r})=0 \\
-& \Rightarrow \Phi (\bar{r})=const \\
-\end{align}</math>
-im Inneren des Leiters.
-Man sagt: die Leiteroberfläche ist eine sogenannte Äquipotenzialfläche !
-Allgemein gilt:
-<math>\bar{E}(\bar{r})\bot \Phi (\bar{r})=const</math>
-Somit steht das elektrische Feld immer senkrecht auf der Leiteroberfläche !
-Vor allem beim Übergang zwischen einem Leiter und dem Vakuum !
-Allgemein gilt:
-<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r})=\rho (\bar{r})</math>
-Hier:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}(\bar{r})=0 \\
-& \Rightarrow \rho (\bar{r})=0 \\
-\end{align}</math>
-Das heißt: es existieren keine elektrischen Ladungen im Inneren eine Leiters !
-'''Flächenladungsdichte'''
-auf Leiteroberflächen:
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})=\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\bar{E}(\bar{r}) \\
-& V=d\bar{f}\cdot \Delta s \\
-\end{align}</math>
-Mit
-<math>\begin{align}
-& d\bar{f}\to 0 \\
-& \Delta s\to 0 \\
-\end{align}</math>
-folgt:
-<math>\begin{align}
-& \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\bar{E}(\bar{r})\to df\bar{n}\cdot \bar{E} \\
-& \bar{n}\cdot \bar{E}=E,da \\
-& \bar{n}\quad Normalenvektor\ \bar{n}||\bar{E} \\
-\end{align}</math>
-Also:
-<math>\begin{align}
-& \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})\to df\rho (\bar{r})\Delta s \\
-& \rho (\bar{r})\Delta s=\sigma (\bar{r}) \\
-\end{align}</math>
-= Flächenladungsdichte !!
-Also gilt für das elektrische Feld auf der Leiteroberfläche:
-<math>\begin{align}
-& \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})\to df\rho (\bar{r})\Delta s \\
-& E(\bar{r})=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\sigma (\bar{r})\bar{n} \\
-\end{align}</math>
-Allgemein gilt für Flächenladungen:
-<math>En\acute{\ }\acute{\ }-En\acute{\ }=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\sigma (s)</math>
-Man bezeichnet
-<math>En\acute{\ }\acute{\ }-En\acute{\ }</math>
-als Flächendivergenz analog zur "Volumendivergenz"
-<math>\nabla \cdot \bar{E}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho (\bar{r})</math>
-Dies ist ein Sprung der Normalkomponente von
-<math>\bar{E}</math>
-beim Durchgang durch eine geladene Fläche
-Die Tangentialkompoente von E dagegen ist stetig beim Durchgang durch geladene Flächen
-'''Beweis:'''
-<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}\bar{E}d\bar{s}=\int_{F}^{{}}{\nabla \times }\bar{E}d\bar{f}=0</math>
-<math>\begin{align}
-& F=dl\cdot dh \\
-& dl\to 0 \\
-& dh\to 0 \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow \left( Et\acute{\ }\acute{\ }-Et\acute{\ } \right)dl=0 \\
-& \Rightarrow Et\acute{\ }\acute{\ }-Et\acute{\ }=0 \\
-\end{align}</math>
-<math>En\acute{\ }\acute{\ }-En\acute{\ }=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\sigma (s)</math>
-<u>'''Randwertaufgaben der Elektrostatik mit Leitern'''</u>
-# <u>'''Grundaufgabe:'''</u>
-Gegeben sind Leiter
-<math>{{L}_{\alpha }}</math>
-mit den Oberflächen
-<math>{{S}_{\alpha }}</math>
-<math>\alpha =1,2,..,n</math>
-, die auf den Potenzialen
-<math>{{\Phi }_{\alpha }}</math>
-liegen.
-Die Raumladungsdichte im Außenraum V ist
-<math>\rho (\bar{r})</math>
-.
-Gesucht ist
-<math>\Phi (\bar{r})</math>
-als Lösung der Poissongleichung
-<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho (\bar{r})</math>
-zu den gegebenen Randbedingungen
-<math>\begin{align}
-& \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{S\alpha }}={{\Phi }_{\alpha }} \\
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-r\to \infty   \\
-\end{matrix}\Phi (\bar{r})=0 \\
-\end{align}</math>
-außerdem: Gesamtladungen
-<math>{{Q}_{\alpha }}</math>
-auf den Leitern.
-Dies ist das Dirichletsche Randwertproblem
-Beispiel: 2 Leiterschleifen mit Potenzial Phi1/ Phi 2 auf den Oberflächen S1 und S2, die im Außenraum V mit der Ladungsdichte
-<math>\rho (\bar{r})</math>
-liegen.
-'''Formale Lösung:'''
-<math>\Phi (\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\int_{S\alpha }^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
-Dabei ist die Greensche Funktion
-<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-die Lösung von
-<math>\Delta G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>
-zu den Randbedingungen
-<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\begin{smallmatrix}
-\bar{r}\in S\alpha  \\
-\bar{r}\acute{\ }\in V
-\end{smallmatrix}}}=0</math>
-<math>\begin{matrix}
-\lim   \\
-r\to \infty   \\
-\end{matrix}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0</math>
-Somit ist
-<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-das Potenzial am Ort
-<math>\bar{r}</math>
-einer Punktladung am Ort
-<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
-.
-Beweis:
-Aus dem Gaußschen Satz
-<math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \bar{v}=}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{v}}</math>
-folgt mittels der Funktion
-<math>\bar{v}=\phi \nabla \psi </math>
-:
-<math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \left( \phi \nabla \psi  \right)=}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \left( \phi \nabla \psi  \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \phi \nabla \psi +\phi \Delta \psi }</math>
-<math>\bar{v}=\psi \nabla \phi </math>
-<math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \left( \psi \nabla \phi  \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \phi \nabla \psi +\psi \Delta \phi }</math>
-Also:
-'''Greenscher Satz:'''
-<math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \left( \phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi  \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\phi \Delta \psi -\psi \Delta \phi }</math>
-Nun kann man einsetzen:
-<math>\begin{align}
-& \phi \left( {\bar{r}} \right):=G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\
-& \psi \left( {\bar{r}} \right):=\Phi (\bar{r}) \\
-& \partial V=\bigcup\limits_{\alpha =1}^{n}{{{S}_{\alpha }}} \\
-\end{align}</math>
-Bleibt zu zeigen:
-<math>\begin{align}
-& \Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow  \\
-& \Phi (\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\int_{S\alpha }^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)} \\
-\end{align}</math>
-<math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-}\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}}\Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\Phi (\bar{r})\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rG\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho (\bar{r})} \right]}</math>
-<math>\begin{align}
-& \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}}\Phi (\bar{r})=0\quad wegen\quad G{{\left. {} \right|}_{\bar{r}\in S\alpha }}=0} \\
-& \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\Phi (\bar{r})\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\Phi (\bar{r}\acute{\ })} \\
-\end{align}</math>
-'''Für'''
-<math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
-setzen wir
-<math>-\int_{\bigcup\limits_{\alpha =1}^{n}{{{S}_{\alpha }}}}^{{}}{d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
-Dies führt deshalb zu einem Vorzeichenwechsel, da
-<math>d\bar{f}</math>
-stets nach außen zeigt .
-Also:
-<math>\Phi (\bar{r}\acute{\ })=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
-Zeige:
-<math>\begin{align}
-& \Phi (\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\int_{S\alpha }^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)} \\
-& \Rightarrow \Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho  \\
-\end{align}</math>
-im Inneren von V und
-<math>\Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{S\alpha }}={{\Phi }_{\alpha }}</math>
-, erfüllt also die Randbedingungen.
-<math>\begin{align}
-& {{\Delta }_{r\acute{\ }}}\Phi (\bar{r}\acute{\ })=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\Delta }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}{{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-& {{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-& \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0,da\ \bar{r}\in S\alpha ,\bar{r}\acute{\ }\in V-\partial V \\
-& \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}{{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0 \\
-& {{\Delta }_{r\acute{\ }}}\Phi (\bar{r}\acute{\ })=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\Delta }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\rho \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-\end{align}</math>
-Dabei
-<math>{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}{{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-als Anteil der Lösung, die die homogene Poissongleichung lösen, ohne Ladungsdichte
-<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\Delta }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
-dagegen löst gerade die inhomogene Poisson- Gleichung
-'''Randbedingungen:'''
-<math>\begin{align}
-& \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\rho \left( {\bar{r}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }} \\
-& G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\rho \left( {\bar{r}} \right)=0 \\
-& \Rightarrow \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}={{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{\partial V}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }} \\
-\end{align}</math>
-Auch hier: Vorzeichenwechsel, da df nach außen zeigt:
-Das Innere der Ellipse ist die Leiterfläche , die vom Leiter
-<math>{{L}_{\alpha }}</math>
-eingeschlossene Fläche .
-Mit dem Gaußschen Satz folgt:
-<math>\begin{align}
-& \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{\partial V}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }} \\
-& =-{{\varepsilon }_{0}}\left[ \int_{\partial V}^{{}}{{}}d\bar{f}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\cdot {{\nabla }_{r}}\Phi (\bar{r})+\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}{{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}{{\Delta }_{r}}\Phi (\bar{r}) \right)} \right] \\
-& G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=0 \\
-& \Rightarrow \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}{{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)=}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\left( -\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right) \right)} \\
-& =\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)}=\Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}={{\Phi }_{\beta }} \\
-\end{align}</math>
-'''Ladung:'''
-<math>\begin{align}
-& Q=\oint\limits_{S\alpha }{df\sigma ={{\varepsilon }_{0}}}\oint\limits_{S\alpha }{df\bar{n}\cdot \bar{E}} \\
-& df\bar{n}=d\bar{f} \\
-& \Rightarrow Q={{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{d\bar{f}\cdot \bar{E}}=-{{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{d\bar{f}\cdot \nabla \Phi } \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Konstruktion der Greenschen Funktion'''</u>
-Für Leiteroberflächen mit hoher Symmetrie bietet sich die Methode der Bildladungen an ! ( Spiegelladungsmethode).
-Dabei wählt man eine fiktive Bildladung q´ bei
-<math>\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }</math>
-im Leiter, so dass das Potenzial beider Ladungen auf der Leiteroberfläche verschwindet: q´=-q
-<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left( \frac{1}{\left| r-r\acute{\ } \right|}-\frac{1}{\left| r-r\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right)</math>
-# <u>'''Grundaufgabe'''</u>
-Gegeben: Gegeben sind Leiter
-<math>{{L}_{\alpha }}</math>
-mit den Oberflächen
-<math>{{S}_{\alpha }}</math>
-<math>\alpha =1,2,..,n</math>
-, die mit
-<math>{{Q}_{\alpha }}</math>
-geladen sind.
-Die Raumladungsdichte im Außenraum V ist
-<math>\rho (\bar{r})</math>
-.
-Gesucht:
-Gesucht ist
-<math>\Phi (\bar{r})</math>
-als Lösung der Poissongleichung
-<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho (\bar{r})</math>
-und
-<math>{{\Phi }_{\alpha }}</math>
-.
-Lösung:
-Das Problem kann auf die erste Grundaufgabe zurückgeführt werden durch Ausnutzung eines Zusammenhangs zwischen
-<math>{{\Phi }_{\alpha }}</math>
-und
-<math>{{Q}_{\alpha }}</math>
-:
-Es gilt:
-<math>{{Q}_{\alpha }}=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}\quad \alpha =1,..,n</math>
-Mit den Kapazitätskoeffizienten
-<math>{{C}_{\alpha \beta }}</math>
-.
-'''Beweis:'''
-<math>{{Q}_{\alpha }}=-{{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot \nabla \Phi (\bar{r})</math>
-<math>\begin{align}
-& {{Q}_{\alpha }}=-{{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{\Phi }_{\beta }}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-& {{Q}_{\alpha }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{L\alpha }^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)-\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{\Phi }_{\beta }}{{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{{{S}_{\alpha }}}{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-& {{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0\quad f\ddot{u}r\quad \bar{r}\in {{L}_{\alpha }},\bar{r}\acute{\ }\in V, \\
-& {{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{{{S}_{\alpha }}}{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=:-{{C}_{\alpha \beta }} \\
-& \Rightarrow {{Q}_{\alpha }}=-\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{\Phi }_{\beta }}{{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{{{S}_{\alpha }}}{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}} \\
-\end{align}</math>
-Aus der Symmetrie
-<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=G\left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)</math>
-was aus der Greenschen Formel folgt mit
-<math>\begin{align}
-& \psi =G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-& \phi =G\left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right) \\
-\end{align}</math>
-folgt
-<math>{{C}_{\alpha \beta }}={{C}_{\beta \alpha }}</math>
-Einheit der Kapazität ist
-<math>1F=1\frac{C}{V}=1Farad</math>
-nach M. Faraday , 1791-1867
-Betrachte speziell einen einzelnen Leiter mit Potenzial
-<math>{{\Phi }_{l}}</math>
-:
-Für die Kapazität des Leiters gilt dann:
-<math>C=\frac{Q}{{{\Phi }_{l}}}</math>
-'''Beispiel: Plattenkondensator:'''
-Zwei Kondensatorplatten befinden sich auf dem Potenzial
-<math>{{\Phi }_{1}},{{\Phi }_{2}}</math>
-:
-Es gilt:
-<math>\begin{align}
-& {{Q}_{1}}={{C}_{11}}{{\Phi }_{1}}+{{C}_{12}}{{\Phi }_{2}} \\
-& {{Q}_{1}}={{C}_{21}}{{\Phi }_{1}}+{{C}_{22}}{{\Phi }_{2}} \\
-& {{C}_{12}}={{C}_{21}}=C\acute{\ } \\
-& 1\leftrightarrow 2Symmetrie \\
-& \Rightarrow {{C}_{11}}={{C}_{22}}=C \\
-\end{align}</math>
-Spezialfall: Q1+Q2=0
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow Q=C{{\Phi }_{1}}+C\acute{\ }{{\Phi }_{2}} \\
-& -Q=C\acute{\ }{{\Phi }_{1}}+C{{\Phi }_{2}} \\
-& \Rightarrow 0=(C+C\acute{\ })({{\Phi }_{1}}+{{\Phi }_{2}})\Rightarrow C=-C\acute{\ }=\frac{Q}{{{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}}\quad (1) \\
-\end{align}</math>
-Das E-Feld existiert fast nur zwischen den Platten
-Also:
-<math>\begin{align}
-& \sigma =\frac{Q}{F}={{\varepsilon }_{0}}E=const.\quad (2) \\
-& \Rightarrow \Phi (x)=-Ex+{{\Phi }_{0}} \\
-& \Rightarrow {{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}=E({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\quad (3) \\
-& ({{x}_{2}}-{{x}_{1}}):=a \\
-& \Rightarrow C=-C\acute{\ }=\frac{Q}{{{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}}=\frac{Q}{Ea}={{\varepsilon }_{0}}\frac{F}{a} \\
-\end{align}</math>
-Betrachten wir nun die Lösung der zweiten Grundaufgabe:
-<math>{{C}_{\alpha \beta }}={{C}_{\beta \alpha }}</math>
-ist eine positiv definite Matrix und damit nicht singulär. Also können wir die Inverse suchen:
-<math>{{\Phi }_{\alpha }}=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{C}_{\alpha \beta }}^{-1}{{Q}_{\beta }}}</math>
-Eingesetzt in die Lösung der ersten Grundaufgabe liefert dies
-<math>\Phi (\bar{r})</math>
-für gegebene
-<math>{{Q}_{\beta }},\rho (\bar{r})</math>
-Damit ist dann die zweite Grundaufgabe gelöst !
-'''Energie '''des Feldes im Außenraum:
-für
-<math>\rho (\bar{r})=0</math>
-:
-<math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{(\bar{E}(\bar{r}))}^{2}}}</math>
-Betrachten wir nun eine differenzielle Änderung der Randbedingungen auf den
-<math>{{L}_{\alpha }}</math>
-:
-<math>\begin{align}
-& {{Q}_{\alpha }}\to {{Q}_{\alpha }}+\delta {{Q}_{\alpha }} \\
-& {{\Phi }_{\alpha }}\to {{\Phi }_{\alpha }}+\delta {{\Phi }_{\alpha }} \\
-\end{align}</math>
-Lösung
-<math>\Phi (\bar{r})\to \Phi (\bar{r})+\delta \Phi (\bar{r})</math>
-Räumliche Anordnung ungeändert ermöglicht die Vertauschung von
-<math>\delta ,\nabla </math>
-''':'''
-<math>\Delta \Phi (\bar{r})=0\Rightarrow \Delta \delta \Phi (\bar{r})=0</math>
-in V ( Außenraum)
-<math>\bar{E}(\bar{r})=-\nabla \Phi (\bar{r})\Rightarrow \delta \bar{E}(\bar{r})=-\nabla \delta \Phi (\bar{r})</math>
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow \delta W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r(2\bar{E}(\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}))=-}{{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r(\nabla \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}))} \\
-& (\nabla \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}))=\nabla \left( \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}) \right)-\Phi (\bar{r})\nabla \delta \bar{E}(\bar{r}) \\
-& \nabla \cdot \delta \bar{E}(\bar{r})=\delta \nabla \cdot \bar{E}(\bar{r})=0,da\ \rho =0 \\
-\end{align}</math>
-im Außenraum !
-<math>\Rightarrow \delta W=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \left( \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}) \right)=}{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\left( \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}) \right)</math>
-Als Umformung mit dem Gaußschen Satz
-Auch hier: Vorzeichenwechsel, da df an allen
-<math>S\alpha </math>
-in den Außenraum nach außen zeigt:
-Wegen
-<math>\Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{S\alpha }}={{\Phi }_{\alpha }}</math>
-<math>\Rightarrow \delta W={{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\delta \bar{E}(\bar{r})=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\delta {{Q}_{\alpha }}</math>
-'''Mit'''
-<math>{{Q}_{\alpha }}=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}\quad \alpha =1,..,n</math>
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow \delta W={{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\delta \bar{E}(\bar{r})=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\delta \sum\limits_{\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}=\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\alpha }}{{C}_{\alpha \beta }}\delta {{\Phi }_{\beta }} \\
-& \sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\alpha }}{{C}_{\alpha \beta }}\delta {{\Phi }_{\beta }}=\frac{1}{2}\left\{ \sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\beta }}{{C}_{\beta \alpha }}\delta {{\Phi }_{\alpha }}+\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\alpha }}{{C}_{\alpha \beta }}\delta {{\Phi }_{\beta }} \right\} \\
-& {{C}_{\beta \alpha }}={{C}_{\alpha \beta }} \\
-& \Rightarrow \delta W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}\left\{ {{\Phi }_{\beta }}\delta {{\Phi }_{\alpha }}+{{\Phi }_{\alpha }}\delta {{\Phi }_{\beta }} \right\}=\delta \left\{ \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\alpha }}{{\Phi }_{\beta }} \right\} \\
-\end{align}</math>
-Damit ist jedoch die Feldenergie gefunden als
-<math>W=\left\{ \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\alpha }}{{\Phi }_{\beta }} \right\}</math>
-. <u>'''Stationäre Ströme und Magnetfeld'''</u>
-<u>'''2.1 Kontinuitätsgleichung'''</u>
-Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I
-Experimentelle Erfahrung:  Die Ladung bleibt erhalten:
-<math>Q(t)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)</math>
-Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:
-<math>\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I</math>
-<math>\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left| v \right|dt\left| df \right|\cos \alpha }{dt}=\rho \bar{v}d\bar{f}</math>
-Also gerade die Ladung, die durch
-<math>d\bar{f}</math>
-pro zeit aus V herausströmt
-Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte:
-<math>\bar{j}(\bar{r},t):=\rho (\bar{r},t)\bar{v}(\bar{r},t)</math>
-<math>\Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)</math>
-( Gauß !)  für alle Volumina V ( einfach zusammenhängend)
-Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als LOKALER Erhaltungssatz:
-<math>\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\rho (\bar{r},t)+\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math>
-Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit  des Stroms:
-<math>\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math>
-Aber : natürlich muss deswegen nicht
-<math>\bar{j}(\bar{r},t)=0</math>
-gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein !
-<u>'''2.2 Magnetische Induktion'''</u>
-<u>'''Experimentelle Erfahrung:'''</u>
-Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:
-<math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math>
-Die sogenannte Lorentz- Kraft !
-<math>\bar{B}(\bar{r})</math>
-ist die magnetische Induktion am Ort
-<math>\bar{r}</math>
-, die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte
-<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
-.
-Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:
-<math>\bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math>
-Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik:
-<math>\begin{align}
-& \bar{F}=q\bar{E}(\bar{r}) \\
-& \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho (\bar{r}\acute{\ })\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-\end{align}</math>
-Die Einheiten im SI- System lauten:
-<math>\left[ B \right]=\frac{1Ns}{Cm}=\frac{1kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}\cdot \frac{s}{{{m}^{2}}}=1V\frac{s}{{{m}^{2}}}=1T</math>
-Mit diesen Einheiten ist dann
-<math>{{\mu }_{0}}=1,26\cdot {{10}^{-6}}\frac{Vs}{Am}</math>
-festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar !!
-Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:
-Im Gauß System:
-<math>\bar{F}=\frac{q}{c}\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math>
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}(\bar{r})=\frac{1}{c}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:'''</u>
-Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:
-Der Strom durch L´:
-<math>\begin{align}
-& \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{v}\acute{\ }=\frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\
-& \frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ } \\
-& \Rightarrow \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\
-\end{align}</math>
-Somit folgt das Biot- Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´:
-Die magnetische Induktion ist gerade:
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }I\acute{\ }\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r  von L ist damit gerade:
-<math>d\bar{F}=\rho \bar{v}\times \bar{B}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\bar{j}\times \bar{B}{{d}^{3}}r=Id\bar{r}\times \bar{B}</math>
-Also:
-<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\times \int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math>
-Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L
-mit
-<math>\begin{align}
-& d\bar{r}\times \left( d\bar{r}\acute{\ }\times \left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)=\left( d\bar{r}\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)d\bar{r}\acute{\ }-\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \\
-& und \\
-& \int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}=-\left. \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right|_{L-ANfang}^{L-Ende}=0 \\
-\end{align}</math>
-( Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen)
-folgt:
-<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math>
-für parallele Ströme:
-<math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }>0</math>
-folgt Anziehung
-für antiparallele Ströme:
-<math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }<0</math>
-dagegen Abstoßung
-Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:
-<math>\begin{align}
-& \bar{r}\leftrightarrow \bar{r}\acute{\ } \\
-& d\bar{r}\leftrightarrow d\bar{r}\acute{\ } \\
-& I\leftrightarrow I\acute{\ } \\
-\end{align}</math>
-Somit:
-<math>\bar{F}\leftrightarrow -\bar{F}</math>
-( actio gleich reactio)
-<u>'''2.3 Die magnetostatischen feldgleichungen:'''</u>
-Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !!
-Mit dem Vektorpotenzial
-<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
-Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß
-<math>\bar{A}(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi </math>
-umgeeicht werden kann.
-(
-<math>\Psi (\bar{r})</math>
-beliebig möglich, da
-<math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math>
-)
-Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:
-<math>\bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
-Beweis:
-<math>\begin{align}
-& rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\
-& {{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\
-& \Rightarrow rot\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}=\bar{B}(\bar{r}) \\
-\end{align}</math>
-Folgende Aussagen sind äquivalent:
-Es existiert ein Vektorpotenzial mit
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r}) \\
-& \Leftrightarrow  \\
-\end{align}</math>
-<math>div\bar{B}=0</math>
-Beweis:
-<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math>
-es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen".
-Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !)
-Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen !
-Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten
-<math>{{10}^{-35}}s</math>
-erzeugt worden sein sollen.
-Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.)
-'''Der Zusammenhang zwischen'''
-<math>\bar{B}(\bar{r})</math>
-und
-<math>\bar{j}(\bar{r})</math>
-:
-<math>\begin{align}
-& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r}) \\
-& \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=\nabla \cdot \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right] \\
-& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=-\frac{\partial }{\partial t}\rho =0 \\
-& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\
-\end{align}</math>
-Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt !
-Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-& \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\Phi (\bar{r},t) \\
-& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t) \\
-\end{align}</math>
-Mit dem Gaußschen Satz.
-Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:
-<math>\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=0</math>
-Also:
-<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t)</math>
-Also:
-<math>\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math>
-Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach
-<math>\begin{align}
-& \Delta \bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\
-& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\
-\end{align}</math>
-wegen
-<math>{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=4\pi \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-Also:
-<math>\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})+{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math>
-Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt:
-<math>\begin{align}
-& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\
-& {{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)=0 \\
-\end{align}</math>
-Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes
-Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !!
-Integration über eine Fläche F mit Rand
-<math>\partial F</math>
-liefert die Intgralform:
-<math>\begin{align}
-& \int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\
-& \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\
-\end{align}</math>
-Mit dem Satz von Stokes
-Das sogenannte Durchflutungsgesetz !
-<u>'''Zusammenfassung:'''</u>
-<u>'''Magnetostatik:'''</u>
-<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math>
-( quellenfreiheit)
-<math>\begin{align}
-& rot\bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})\Leftrightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{B}={{\mu }_{0}}I \\
-& \Rightarrow \Delta \bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\
-\end{align}</math>
-Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung:
-<math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>
-Dies geschieht durch die Umeichung
-<math>\begin{align}
-& \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi  \\
-& \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A}+\nabla \times \nabla \Psi  \\
-& \nabla \times \nabla \Psi =0\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A} \\
-& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)=\nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-& \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Elektrostatik:'''</u>
-<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math>
-( Wirbelfreiheit)
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho  \\
-& \Leftrightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}=Q \\
-\end{align}</math>
-differenzielle Form / integrale Form
-<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
-( Poissongleichung)
-<u>'''Magnetische Multipole ( stationär)'''</u>
-Ausgangspunkt ist
-<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
-(mit der Coulomb- Eichung
-<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>
-)
-mit den Randbedingungen
-<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
-für r-> unendlich
-Taylorentwicklung nach
-<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
-von analog zum elektrischen Fall:
-Die Stromverteilung
-<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
-sei stationär für
-<math>r>>r\acute{\ }</math>
-<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
-<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
-'''Monopol- Term'''
-'''Mit'''
-<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math>
-Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
-<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math>
-<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math>
-Mit
-<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math>
-folgt dann:
-<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>
-Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie
-'''Dipol- Term'''
-mit
-<math>\left[ \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{r}=\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ }=2\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math>
-und mit
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right)+{{x}_{k\acute{\ }}}\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j} \right] \\
-& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}=0 \\
-& \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right) \right] \\
-\end{align}</math>
-Folgt:
-<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right) \right]=0</math>
-Da
-<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=0</math>
-weil der Strom verschwindet !
-Somit gibt der Term
-<math>\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math>
-keinen Beitrag zum
-<math>\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-Also:
-<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)\times \bar{r}</math>
-Als DIPOLPOTENZIAL !!
-<math>\begin{align}
-& \bar{A}(\bar{r}):=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r} \\
-& \bar{m}=\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right) \\
-\end{align}</math>
-das magnetische Dipolmoment !
-Analog zu
-<math>\begin{align}
-& \Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\bar{p}\cdot \bar{r} \\
-& \bar{p}:=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ }) \\
-\end{align}</math>
-dem elektrischen Dipolmoment
-Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als:
-<math>\bar{B}(\bar{r}):=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{m}\cdot \bar{r} \right)\bar{r}-{{r}^{2}}\bar{m} \right]</math>
-Wegen:
-<math>\nabla \times \left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( \bar{b}\cdot \nabla  \right)\bar{a}-\left( \bar{a}\cdot \nabla  \right)\bar{b}+\bar{a}\left( \nabla \cdot \bar{b} \right)-\bar{b}\left( \nabla \cdot \bar{a} \right)</math>
-mit
-<math>\begin{align}
-& \bar{a}=\frac{{\bar{m}}}{{{r}^{3}}} \\
-& \bar{b}=\bar{r} \\
-& \Rightarrow div\bar{a}=-3\frac{\bar{m}\cdot \bar{r}}{{{r}^{5}}} \\
-& div\bar{b}=3 \\
-& \left( \bar{b}\cdot \nabla  \right)\bar{a}=-3\frac{\bar{m}\cdot {{r}^{2}}}{{{r}^{5}}} \\
-& \left( \bar{a}\cdot \nabla  \right)\bar{b}=\frac{{\bar{m}}}{{{r}^{3}}} \\
-\end{align}</math>
-Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld:
-<math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>
-<u>'''Beispiel: Ebene Leiterschleife L:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& d\bar{f}\acute{\ }=\frac{1}{2}\bar{r}\acute{\ }\times d\bar{s}\acute{\ } \\
-& {{d}^{3}}\bar{r}\acute{\ }j(\bar{r}\acute{\ })=d\bar{s}\acute{\ }I \\
-\end{align}</math>
-Mit I = Strom durch den Leiter
-<math>\Rightarrow \bar{m}=\frac{1}{2}\oint\limits_{L}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)=\frac{I}{2}\oint\limits_{L}{{}}\bar{r}\acute{\ }\times d\bar{s}\acute{\ }=I\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }=IF\bar{n}</math>
-Dabei ist
-<math>\bar{n}</math>
-die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F
-Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment
-<math>\bar{m}</math>
-analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
-<math>\bar{p}=q\bar{a}</math>
-, welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.
-<u>'''Bewegte Ladungen'''</u>
-N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich.
-Dabei sei die spezifische Ladung
-<math>\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m}</math>
-konstant:
-<math>\begin{align}
-& \rho (\bar{r})=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
-& \bar{j}(\bar{r})=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}{{{\bar{v}}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
-& {{{\bar{v}}}_{i}}=\frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}}{dt} \\
-\end{align}</math>
-Das magnetische Dipolmoment beträgt:
-<math>\begin{align}
-& \bar{m}=\frac{1}{2}\oint\limits_{L}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\times {{{\bar{v}}}_{i}}\delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{v}}}_{i}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{v}}}_{i}} \\
-& \frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m} \\
-& \Rightarrow \bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L} \\
-\end{align}</math>
-Mit dem Bahndrehimpuls
-<math>\bar{L}</math>
-:
-<math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math>
-gilt aber auch für starre Körper !
-* Allgemeines Gesetz !
-Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons !!!
-<math>\begin{align}
-& \bar{m}=g\frac{e}{2m}\bar{S} \\
-& g\approx 2 \\
-\end{align}</math>
-Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen !
-'''Kraft auf eine Stromverteilung:'''
-<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math>
-im Feld einer externen magnetischen Induktion
-<math>\bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>
-:
-Spürt die Lorentzkraft
-<math>\bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>
-Talyorentwicklung liefert:
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })=\bar{B}(\bar{r})+\left[ \left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)\nabla  \right]\bar{B}(\bar{r})+.... \\
-& \Rightarrow \bar{F}=\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)\nabla  \right]\bar{B}(\bar{r})+... \\
-\end{align}</math>
-im stationären Fall gilt wieder:
-<math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>
-( keine Monopole)
-Also:
-<math>\begin{align}
-& \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r}) \\
-& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})=0,da\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0 \\
-& \Rightarrow \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r}) \\
-& \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})={{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]-\bar{r}\acute{\ }\times \left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right] \\
-\end{align}</math>
-Man fordert:
-<math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math>
-( Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von
-<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
-haben:
-<math>\begin{align}
-& \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times {{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right] \\
-& \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times {{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]=-{{\nabla }_{r}}\times \left[ \left( \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]+\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]{{\nabla }_{r}}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0 \\
-& \Rightarrow \bar{F}=-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left[ \left( \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=-{{\nabla }_{r}}\times \left( \bar{m}\times \bar{B}(\bar{r}) \right) \\
-& \bar{F}=-{{\nabla }_{r}}\times \left( \bar{m}\times \bar{B}(\bar{r}) \right)=\left( \bar{m}\cdot {{\nabla }_{r}} \right)\bar{B}(\bar{r})=-{{\nabla }_{r}}\left( -\bar{m}\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right) \\
-\end{align}</math>
-( Vergl. S. 34)
-# <u>'''Die Maxwell-Gleichungen'''</u>
-Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder
-Methode: Erweiterung der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen derart, dass allgemeine Invarianz- Prinzipien erfüllt sind !
-Invarianz- Prinzipien sind / können sein:
-<u>'''3.1 TCP- Invarianz'''</u>
-Zeitumkehr T: t -> t´=-t
-Ladungsumkehr / Konjugation :  C :  Q  Q´= - Q
-Paritätsumkehr P :  r - >  r´= -r ( für den Ortsvektor)
-<u>'''Die Zeitumkehr- Transformation'''</u>
-<math>\begin{align}
-& {{T}_{g}}:=\left\{ T-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:TA=A \right\} \\
-& =\left\{ \bar{r},d\bar{r},a:=\frac{{{d}^{2}}\bar{r}}{d{{t}^{2}}},m,q,\rho :=\begin{matrix}
-\lim   \\
-\Delta V\to 0  \\
-\end{matrix}\frac{\Delta q}{\Delta V},\bar{F}=m\bar{a},\bar{E}=\frac{{\bar{F}}}{q},\Phi ... \right\} \\
-\end{align}</math>
-Diese Observablen sind "gerade" unter T
-Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:
-<math>{{T}_{u}}:=\left\{ A:TA=-A \right\}=\left\{ \bar{v}:=\frac{d\bar{r}}{dt},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{B},\bar{A} \right\}</math>
-Denn:
-<math>\begin{align}
-& \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
-& \bar{F}\in {{T}_{g}},\bar{v}\in {{T}_{u}},q\in {{T}_{g}}\Rightarrow \bar{B}\in {{T}_{u}} \\
-& \bar{B}=\nabla \times \bar{A},\nabla \in {{T}_{g}} \\
-\end{align}</math>
-Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:
-<math>\begin{align}
-& T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
-& T:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\} \\
-& T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\Leftrightarrow \left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
-& T:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-Kontinuitätsgleichung:
-<math>T:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>
-Die Gleichungen sind FORMINVARIANT !
-'''Ladungsumkehr ( Konjugation)'''
-<math>\begin{align}
-& {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\
-& {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\
-\end{align}</math>
-sind gerade unter C
-'''Ungerade unter c sind:'''
-<math>\begin{align}
-& {{C}_{u}}:=\left\{ A:CA=-A \right\}=\left\{ \bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{B},\bar{j},\rho  \right\} \\
-& \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
-\end{align}</math>
-* C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:
-<math>\begin{align}
-& C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
-& C:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\}\to \left\{ -{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=-\rho  \right\} \\
-& C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
-& C:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
-\end{align}</math>
-<math>C:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>
-<u>'''Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion'''</u>
-Vertauschung: rechts <-> links
-Man unterscheidet:
-<math>P\bar{r}=-\bar{r}</math>
--> polarer Vektor
-und
-<math>P\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( -\bar{a}\times -\bar{b} \right)=\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)</math>
-P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor !!
-Seien:
-<math>\bar{a},\bar{b}</math>
-polar,
-<math>\bar{w},\bar{\sigma }</math>
-axial
-Dann ist
-<math>\begin{align}
-& \bar{a}\times \bar{w}\quad polar \\
-& \bar{a}\times \bar{b},\bar{w}\times \bar{\sigma }\quad axial \\
-& \bar{a}\bar{b}\ skalar:P(\bar{a}\bar{b})=\bar{a}\bar{b} \\
-& \bar{w}\bar{\sigma }\ pseudoskalarP(\bar{w}\bar{\sigma })=-\bar{w}\bar{\sigma } \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{align}
-& {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\
-& {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\
-\end{align}</math>
-Wegen
-<math>\begin{align}
-& \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
-& \bar{F}\in {{P}_{u}} \\
-& q\in {{P}_{g}} \\
-& \bar{v}\in {{P}_{u}} \\
-\end{align}</math>
-ungerade Parität dagegen:
-<math>{{P}_{u}}=\left\{ polareVektoren,\bar{r},d\bar{r},\bar{v},\bar{a},\bar{F},\bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{A},Pseudoskalare\quad \nabla \cdot \bar{B} \right\}</math>
-Wegen
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
-& \nabla \in {{P}_{u}} \\
-& \bar{B}\in {{P}_{g}} \\
-\end{align}</math>
-P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:
-<math>\begin{align}
-& P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
-& P:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\} \\
-& P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
-& P:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
-\end{align}</math>
-<math>P:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>
-Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare
-Außerdem ( Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!
-<u>'''3.2 Maxwell- Gleichungen im Vakuum'''</u>
-Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder
-<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
-lauten:
-) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \\
-& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
-& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0 \\
-\end{align}</math>
-) die Gleichungen sollen linear in
-<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
-sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen !
-Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !)
-Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !!
-Somit sind
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{a}_{1}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
-& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{2}}\dot{\bar{B}} \\
-& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-Dies sind 6 Vektorgleichungen, die
-<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
-für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen
-) Wir fordern TCP- Invarianz:
-<math>\begin{align}
-& {{T}_{g}}oder\ {{P}_{g}}\Rightarrow {{a}_{1}}=0 \\
-& {{T}_{u}}oder\ {{P}_{u}}\Rightarrow {{b}_{2}}=0 \\
-\end{align}</math>
-Also bleibt:
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
-& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}} \\
-& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-) Ladungserhaltung:
-<math>\begin{align}
-& 0=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho  \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \dot{\bar{E}}-\dot{\rho }=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho } \\
-& \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \nabla \times \bar{B}=0 \\
-& \Rightarrow \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( {{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho }=0 \\
-& \Rightarrow {{a}_{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}} \\
-\end{align}</math>
-Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung !
-Somit ( vergl. S. 32, §2.3  folgt die Verschiebungsstromdichte
-<math>{{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math>
-) Lorentzkraft
-<math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}</math>
-soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein.
-Suche also eine Lagrange- Funktion
-<math>L(\bar{r},\bar{v},t)</math>
-so dass die Lagrangegleichung
-<math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}} \right)-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=0</math>
-die nichtrelativistische Bewegungsgleichung
-<math>m\ddot{\bar{r}}=q\left[ \bar{E}(\bar{r},t)+\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r},t) \right]</math>
-ergibt !
-Lösung:
-<math>L=\frac{m}{2}{{v}^{2}}+q\left[ \bar{v}\bar{A}(\bar{r},t)-\Phi (\bar{r},t) \right]</math>
-Tatsächlich gilt
-<math>{{p}_{k}}=\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{v}_{k}}+q{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>
-= kanonischer Impuls
-<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{\ddot{x}}_{k}}+q\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>
-Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn
-<math>\bar{r}</math>
-zu sehen !
-<math>\begin{align}
-& \frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+\frac{\partial {{A}_{k}}(\bar{r},t)}{\partial {{x}_{l}}}\frac{\partial {{x}_{l}}}{\partial t} \right)=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t) \\
-& \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi  \right] \\
-& \Rightarrow 0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi  \right] \\
-& =m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+q\left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]+q\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi  \\
-& \left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]=-{{\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]}_{k}} \\
-& \Rightarrow 0=m\ddot{\bar{r}}+q\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-q\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]+q\nabla \Phi =m\ddot{\bar{r}}+q\left[ \frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)+\nabla \Phi -\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right] \right] \\
-\end{align}</math>
-Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-\nabla \Phi  \\
-& \bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times A(\bar{r},t) \\
-\end{align}</math>
-und:
-<math>\begin{align}
-& \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times A(\bar{r},t)-\nabla \times \nabla \Phi  \\
-& \nabla \times A(\bar{r},t)=\bar{B}(\bar{r},t) \\
-& \nabla \times \nabla \Phi =0 \\
-& \Rightarrow {{b}_{1}}=-1 \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum'''</u>
-mit den neuen Feldgrößen
-<math>\bar{D}(\bar{r},t):={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}(\bar{r},t)</math>
-dielektrische Verschiebung
-und
-<math>\bar{H}(\bar{r},t):=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}(\bar{r},t)</math>
-, Magnetfeld
-ergibt sich:
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho  \\
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-Dabei sind
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern
-<math>\bar{E},\bar{B}</math>
-beschreiben
-und
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho  \\
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder
-<math>\bar{D},\bar{H}</math>
-durch gegebene Ladungen und Ströme
-Im Gauß- System:
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\frac{1}{c}\dot{\bar{B}}=0 \\
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
-& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=4\pi \rho  \\
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}-\dot{\bar{E}}=\frac{4\pi }{c}\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-Mit
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}-\nabla \Phi  \\
-& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
-& \bar{D}=\bar{E} \\
-& \bar{H}=\bar{B} \\
-\end{align}</math>
-im Vakuum !
-<u>'''Induktionsgesetz :'''</u>
-Die Maxwellgleichung
-<math>{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math>
-wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand
-<math>\partial F</math>
-integriert:
-<math>\begin{align}
-& \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\left( {{\nabla }_{r}}\times \bar{E} \right)=-\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\dot{\bar{B}} \\
-& \Rightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B} \\
-\end{align}</math>
-Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest !
-Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung
-<math>\begin{align}
-& \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t) \\
-& \Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A} \\
-\end{align}</math>
-Der magnetische Fluß !
-Der magnetische Fluß
-<math>\Phi (t)</math>
-hängt nur vom Rand
-<math>\partial F</math>
-der Fläche ab !
-Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :
-<math>\begin{align}
-& \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}-\int_{F\acute{\ }}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
-& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um
-<math>\partial F</math>
-beträgt:
-<math>\Delta \Phi :=-\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}</math>
-Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld)
-Somit folgt das
-Faradaysche Induktionsgesetz:
-<math>\Delta \Phi =\frac{\partial }{\partial t}{{\Phi }_{mag}}</math>
-mit dem magnetischen Fluß
-<math>{{\Phi }_{mag}}</math>
-<u>'''Die Lenzsche Regel:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& \dot{\bar{B}}\to \bar{E} \\
-& \nabla \times \bar{E}=-\bar{B} \\
-\end{align}</math>
-induziert
-<math>\bar{E}\to \bar{j}\tilde{\ }\bar{E}</math>
-Ladungsverschiebung/- Bewegung
-<math>\begin{align}
-& \bar{j}\to \bar{H} \\
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}=\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-erzeugt
-Also:
-<math>\bar{H}</math>
-ist
-<math>\dot{\bar{B}}</math>
-entgegengerichtet !
-<u>'''Zusammenfassung'''</u>
-<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)</math>
-Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:
-<math>\Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A}</math>
-<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=0</math>
-Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL
-<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{E}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-Der Fluß des elektrischen Feldes durch
-<math>\partial V</math>
-ist gleich der eingeschlossenen Ladung
-<math>\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{H}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}+I</math>
-Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom
-<math>\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}</math>
-und dem Konvektionsstrom
-<math>I=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{j}</math>
-<u>'''3.4 Energiebilanz'''</u>
-Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung
-<math>\begin{align}
-& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0 \\
-& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=\nabla \cdot \left( \dot{\bar{D}}+\bar{j} \right)=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=0 \\
-\end{align}</math>
-'''Frage:'''
-Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls.
-( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)
-<u>'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0\left. {} \right|\cdot \bar{H} \\
-& \nabla \times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j}\left. {} \right|\cdot \bar{E} \\
-& \Rightarrow \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)+\bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}+\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=-\bar{j}\cdot \bar{E} \\
-& \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=\nabla \cdot \left( \bar{E}\times \bar{H} \right) \\
-& \bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right) \\
-& \bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right) \\
-\end{align}</math>
-Also:
-<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
-Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport
-mit
-<math>w:=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)</math>
-Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
-Remember:
-Elektrostatik:
-<math>\frac{1}{2}\bar{E}\cdot \bar{D}</math>
-Magnetostatik:
-<math>\frac{1}{2}\bar{B}\cdot \bar{H}</math>
-<math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math>
-als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)
-<math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
-als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)
-<math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math>
-bedingt die Abnahme der Feldenergie bei
-<math>(\bar{r},t)</math>
-<math>\bar{j}\cdot \bar{E}<0</math>
-bedingt die Zunahme der Feldenergie bei
-<math>(\bar{r},t)</math>
-Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder
-<math>\bar{E},\bar{B}</math>
-:
-Kraft auf die Ladung q:
-<math>\bar{F}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>
-Kraftdichte:
-<math>\bar{f}=\rho \left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>
-Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte
-<math>\rho </math>
-folgt:
-<math>\begin{align}
-& \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)=\rho \bar{v}\bar{E}+\rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \\
-& \rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right)=0 \\
-& \Rightarrow \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\bar{E}=\bar{j}\bar{E} \\
-\end{align}</math>
-Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht
-Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)
-Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!
-<u>'''Beispiel: '''</u> Ohmsches Gesetz:
-<math>\sigma \cdot \bar{E}=\bar{j}</math>
-mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT
-<math>\sigma >0</math>
-( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)
-Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.
-Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder
-<math>\bar{E}</math>
-Die Energiebilanz lautet:
-<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math>
-Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie !
-Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik
-Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !
-Das bedeutet:
-<math>\begin{align}
-& t\to -t \\
-& \bar{j}\to -\bar{j} \\
-& aber \\
-& \bar{E}\to \bar{E} \\
-\end{align}</math>
-<math>\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}>0</math>
-wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert
-<u>'''2. Beispiel:'''</u>
-Antennenstrahlung ( offenes System)
-<math>\bar{j}</math>
-in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld
-<math>\bar{E}</math>
-außerhalb entgegengesetzt.
-<math>\Rightarrow \bar{j}\bar{E}<0</math>
-<math>\Rightarrow </math>
-Energiegewinn des Feldes
-<u>'''3.5 Impulsbilanz'''</u>
-Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:
-<math>\begin{align}
-& \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=\dot{\bar{D}}\times \bar{B}+\bar{D}\times \dot{\bar{B}} \\
-& \dot{\bar{D}}=\nabla \times \bar{H}-\bar{j} \\
-& \dot{\bar{B}}=-\nabla \times \bar{E} \\
-& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)-\bar{j}\times \bar{B}-{{\varepsilon }_{o}}\bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right) \\
-\end{align}</math>
-Mittels
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\frac{1}{2}\nabla \left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\left( \bar{B}\cdot \nabla  \right)\bar{B} \\
-& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}+\bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\} \\
-& \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=0 \\
-\end{align}</math>
-Dabei bezeichnet
-<math>\left( 1 \right)</math>
-den Einheitstensor 1. Stufe und
-<math>\bar{B}\otimes \bar{B}</math>
-das Tensorprodukt (dyadisches Produkt).
-Außerdem ist
-<math>\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}</math>
-die Divergenz eines Tensors
-<math>\left( T \right)</math>
-zweiter Stufe.
-In Komponenten gilt:
-<math>{{\left( \nabla \cdot T \right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }</math>
-Analog:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\left( \nabla \cdot \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)+\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
-\end{align}</math>
-Dabei beschreibt
-<math>\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right)</math>
-den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf  Ströme und Ladungen übertragen wird
-Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:
-<math>\begin{align}
-& \frac{\partial }{\partial t}\bar{g}+\nabla \cdot \left( {\bar{\bar{T}}} \right)=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
-& \bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right) \\
-& \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right) \\
-\end{align}</math>
-Dabei ist
-<math>\bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)</math>
-die Impulsdichte des Feldes.
-Nach Newton gilt:
-<math>\begin{align}
-& \frac{d}{dt}\bar{p}=\bar{F} \\
-& \Rightarrow \frac{d}{dt}\bar{g}=\bar{f} \\
-\end{align}</math>
-Es ergibt sich
-<math>\left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-\bar{E}\otimes \bar{D}-\bar{B}\otimes \bar{H} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right)</math>
-Als der
-IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)
-in Komponenten:
-<math>{{T}_{\alpha \beta }}=\left\{ {{\delta }_{\alpha \beta }}\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-{{{\bar{E}}}_{\alpha }}{{{\bar{D}}}_{\beta }}-{{{\bar{B}}}_{\alpha }}{{{\bar{H}}}_{\beta }} \right\}</math>
-Dies ist die Stromrichtung der
-<math>\beta </math>
-- Komponente der Impulsdichte in
-<math>\alpha </math>
-- Richtung.
-Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !
-<math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math>
-Energiedichte
-Außerdem ist T symmetrisch:
-<math>{{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}</math>
-Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung
-<math>\frac{\partial }{\partial t}{{g}_{\beta }}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}</math>
-beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.
-'''Bemerkung:'''
-Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !
-<u>'''3.6 Eichinvarianz'''</u>
-Die Felder
-<math>\bar{E},\bar{B}</math>
-werden durch die Potenziale
-<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
-dargestellt.:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
-& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.
-Also:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
-& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
-& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \\
-& \Rightarrow -\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \right) \\
-& \Rightarrow \nabla \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
-& \Rightarrow \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=g(t)(r-unabh\ddot{a}ngig) \\
-\end{align}</math>
-Mit
-<math>\begin{align}
-& F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\
-& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\
-& \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}F\left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
-<math>F\left( \bar{r},t \right)</math>
-.
-Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur
-<math>\bar{E},\bar{B}</math>
-sondern auch
-<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
-sind physikalisch relevant.
-So muss auch
-<math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math>
-erfüllt sein.
-Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen  erfüllt sind.
-Durch
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt:
-<math>\begin{align}
-& \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
-& \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
-\end{align}</math>
-Auch die Umkehrung gilt:
-<math>\begin{align}
-& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
-& \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\
-& \nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=-\nabla \times \frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \left( \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
-& \Rightarrow \exists \Phi \left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden
-Ziel: Entkopplung der DGLs für
-<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
-:
-# <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u>
-<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>
-Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt:
-)
-<math>\begin{align}
-& -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-& \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-\end{align}</math>
-Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu
-<math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-'''Für A:'''
-)
-<math>\begin{align}
-& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\
-& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-& \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=+\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \Rightarrow \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-Was mit der Lorentz- Eichung
-<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>
-wird zu
-<math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math>
-Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit
-<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math>
-zusammengefasst werden:
-<math>\begin{align}
-& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung)
-Es ergibt sich im SI- System:
-<math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math>
-als Lichtgeschwindigkeit
-Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !
-<u>'''Coulomb- Eichung'''</u>
-( sogenannte Strahlungseichung):
-<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
-Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik):
-Für
-<math>\begin{align}
-& \dot{\bar{D}}=0 \\
-& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-(Poissongleichung der Magnetostatik)
-<u>'''Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :'''</u>
-Allgemein kann man
-<math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
-in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:
-<math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
-und ein quellenfreies Transversalfeld
-<math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
-zerlegen.
-Tatsächlich gilt:
-<math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math>
-<math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
-Da
-<math>\bar{B}</math>
-quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:
-<math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math>
-Also:
-<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
-ergibt die longitudinalen Felder und
-<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
-die transversalen Felder.
-Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).
-<u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u>
-<math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math>
-mit
-<math>\nabla \times {{\bar{j}}_{l}}=0</math>
-<math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math>
-Mit
-<math>\begin{align}
-& \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
-& \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\
-& \nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
-& \Rightarrow \nabla \cdot \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0 \\
-\end{align}</math>
-Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:
-<math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>
-Also:
-<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math>
-Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:
-<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>
-Also:
-<math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math>
-Also:
-Die Feldgleichungen
-<math>\begin{align}
-& \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\
-& \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-\end{align}</math>
-und
-<math>\begin{align}
-& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\
-& \nabla {{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)={{{\bar{j}}}_{l}} \\
-\end{align}</math>
-erhalten dann die Form:
-<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-und
-<math>\begin{align}
-& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-In der Coulomb- Eichung !
-Also.
-<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-: longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik
-<math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math>
-als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.
-Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !
-Sie liefert eine Poissongleichung für
-<math>\Phi </math>
-und eine Wellengleichung für
-<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
-.
-<u>'''4. Elektromagnetische Wellen'''</u>
-Im statischen Fall sind die Felder
-<math>\bar{E},\bar{B}</math>
-entkoppelt.
-Im dynamischen Fall jedoch sind
-<math>\bar{E},\bar{B}</math>
-über den Verschiebungsstrom
-<math>\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-\bar{j}={{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math>
-und über das Induktionsgesetz
-<math>\nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math>
-gekoppelt !
-Dies bestimmt die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen !
-<u>'''4.1 Freie Wellenausbreitung im Vakuum'''</u>
-Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:
-<math>\rho =0</math>
-<math>\bar{j}=0</math>
-Damit:
-<math>\#\Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0</math>
-<math>\#\bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0\Rightarrow \#\bar{A}=0</math>
-Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung
-Wegen
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-gilt auch
-<math>\begin{align}
-& \#\bar{E}=0 \\
-& \#\bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-Dies folgt auch direkt aus
-<math>\begin{align}
-& \nabla \times \bar{B}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\dot{\bar{E}} \\
-& \nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}} \\
-& \Rightarrow mit\quad \nabla \cdot \bar{E}=0 \\
-& \left( \Delta -{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\bar{E}=0 \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Allgemeine Lösung '''</u>von
-<math>u(\bar{r},t)=0</math>
-:
-<math>u(\bar{r},t)=F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)</math>
-mit einer beliebigen , zweifach diffbaren Funktion
-<math>F(\phi )</math>
-und
-<math>\varpi =c\left| {\bar{k}} \right|</math>
-( dÁlembertsche Lösung)
-Beweis:
-<math>\#F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)=\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-\frac{{{\varpi }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)F\acute{\ }\acute{\ }\left( \phi  \right)=0</math>
-Nebenbemerkung:
-<math>F(\phi )</math>
-muss nicht periodisch in
-<math>\phi </math>
-sein !
-Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :
-Der Wellenvektor
-<math>\bar{k}</math>
-zeigt in Ausbreitungsrichtung:
-Es gilt:
-<math>\nabla \phi (\bar{r},t)=\bar{k}</math>
-Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:
-<math>\bar{k}\bar{r}-\varpi t=\phi (\bar{r},t)=const!</math>
-Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:
-<math>\bar{k}\left( \bar{r}-\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi  \right) \right)=0</math>
-Die  Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:
-<math>\bar{r}(t)=\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi  \right)</math>
-Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit
-<math>\begin{align}
-& {{v}_{ph}}=\left. \frac{d\bar{r}(t)}{dt} \right|_{\phi =const}^{{}}=\frac{{\bar{k}}}{{{k}^{2}}}\varpi =c\frac{{\bar{k}}}{k} \\
-& \frac{{\bar{k}}}{k}:=\bar{n} \\
-\end{align}</math>
-spezielle Lösung:  Harmonische Ebene Welle
-<math>u(\bar{r},t)=\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}}</math>
-mit der komplexen Amplitude
-<math>\tilde{u}(\bar{k})</math>
-Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation
-<math>\varpi (\bar{k})</math>
-<math>u(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi (\bar{k})t)}}</math>
-Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity
-Sei
-<math>\tilde{u}(\bar{k})</math>
-um
-<math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
-herum lokalisiert:
-So ergibt sich ein '''Wellenpaket ''', welches im Ortsraum lokalisiert ist !
-Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um
-<math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
-ergibt
-<math>\begin{align}
-& \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+\frac{1}{2!}{{\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right)}^{2}}{{\left( {{\nabla }_{k}} \right)}^{2}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+... \\
-& {{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}={{{\bar{v}}}_{g}} \\
-& \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{{\bar{v}}}_{g}} \\
-\end{align}</math>
-Diese lineare Näherung ergibt nun gerade
-<math>\begin{align}
-& u(\bar{r},t)={{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{{\bar{k}}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}} \\
-& \tilde{\bar{k}}=\bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \\
-\end{align}</math>
-Dies ist zu interpretieren als
-<math>{{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}</math>
-eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit
-<math>{{\bar{v}}_{ph}}=\frac{{{\varpi }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math>
-<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{\bar{k}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}}</math>
-als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit
-<math>{{\bar{v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
-bewegt:
-Wir erhalten die Dispersionsrelation
-<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
-elektromagnetische Wellen im Vakuum:
-<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)=c\left| {\bar{k}} \right|\Rightarrow {{\bar{v}}_{g}}=c\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}={{\bar{v}}_{ph}}=\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\bar{n}</math>
-es gibt also keine Dispersion ( kein zerfließen!)
-Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum !
-<u>'''Polarisation'''</u>
-Betrachte eine elektromagnetische Welle:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
-& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
-\end{align}</math>
-Allgemein gilt:
-<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
-heißt transversal, wenn
-<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
-( quellenfrei)
-<math>\Rightarrow i\bar{k}\cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}\bot \bar{E}(\bar{r},t)</math>
-<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
-heißt longitudinal, wenn
-<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
-( wirbelfrei)
-<math>\Rightarrow i\bar{k}\times \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}||\bar{E}(\bar{r},t)</math>
-Für
-<math>\rho =0</math>
-ist wegen
-<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
-das elektrische Feld transversal.
-Wegen
-<math>\nabla \cdot \bar{B}(\bar{r},t)=0</math>
-ist das magnetische Feld stets transversal !
-Weiter folgt aus:
-<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0</math>
-dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist !
-<math>\begin{align}
-& \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0 \\
-& \Rightarrow \left( i\bar{k}\times {{{\bar{E}}}_{0}}-i\varpi {{{\bar{B}}}_{0}} \right){{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}}=0 \\
-& \varpi =c\left| {\bar{k}} \right| \\
-& \Rightarrow {{{\bar{B}}}_{0}}=\frac{1}{c}\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}\times {{{\bar{E}}}_{0}}:=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{{\bar{E}}}_{0}} \\
-\end{align}</math>
-Folglich bilden
-<math>\bar{k},{{\bar{E}}_{0}},{{\bar{B}}_{0}}</math>
-ein Rechtssystem !
-Die Richtung von
-<math>\operatorname{Re}\left\{ {{{\bar{E}}}_{0}},{{{\bar{B}}}_{0}} \right\}</math>
-legt die Polarisation fest:
-Sei
-<math>\bar{k}||{{\bar{e}}_{3}}</math>
-- Achse, also:
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{E}}}_{0}}={{E}_{01}}{{{\bar{e}}}_{1}}+{{E}_{02}}{{{\bar{e}}}_{2}} \\
-& {{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C \\
-& {{a}_{i}},{{\delta }_{i}}\in R \\
-& i=1,2 \\
-\end{align}</math>
-Das physikalische Feld ergibt sich zu
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{E}}}_{1}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{1}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{1}}+\bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}} \right\}={{a}_{1}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{1}} \right) \\
-& \phi :=\bar{k}\bar{r}-\varpi t \\
-\end{align}</math>
-und
-<math>{{\bar{E}}_{2}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{2}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{2}}+\phi  \right)}} \right\}={{a}_{2}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{2}} \right)</math>
-Aus
-<math>\begin{align}
-& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}} \\
-& \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}} \\
-\end{align}</math>
-Kann
-<math>\phi </math>
-und somit
-<math>\left( \bar{r},t \right)</math>
-eliminiert werden:
-<math>\begin{align}
-& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
-& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
-& \Rightarrow {{1}^{2}}+{{2}^{2}}\Rightarrow {{\left( \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2} \right)}^{2}}-2\frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)={{\sin }^{2}}\left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
-\end{align}</math>
-Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für
-<math>{{\bar{E}}_{1}},{{\bar{E}}_{2}}</math>
-:
-Der Feldvektor
-<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
-läuft als Funktion von
-<math>\phi </math>
-auf einer Ellipse senkrecht zu
-<math>\bar{k}</math>
-um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:
-Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor
-<math>\bar{r}</math>
-für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort
-<math>\bar{r}</math>
-.
-<u>'''Spezialfälle:'''</u>
-<u>'''Linear polarisierte Welle:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1 \\
-& \Rightarrow \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\pm \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}=0 \\
-\end{align}</math>
-Dies ist jedoch eine Geradengleichung:
-<math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\cos \phi (\bar{r},t)</math>
-mit reeller Amplitude
-<math>{{\bar{E}}_{0}}</math>
-<u>'''Zirkular polarisierte Welle'''</u>
-<math>\begin{align}
-& a1=a2=a \\
-& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left( 2n+1 \right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0 \\
-& \Rightarrow {{{\bar{E}}}_{1}}^{2}+{{{\bar{E}}}_{2}}^{2}={{a}^{2}} \\
-\end{align}</math>
-Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um
-<math>\frac{\pi }{2}</math>
-phasenverschoben sind !
-Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um
-<math>\bar{E}(\bar{r},t)=a\left( \begin{matrix}
-\cos \phi   \\
-\pm \sin \phi   \\
-\end{matrix} \right)</math>
-Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:
-Dabei läuft
-<math>\bar{B}(\bar{r},t)</math>
-dem
-<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
-- Vektor um
-<math>\frac{\pi }{2}</math>
-verschoben nach bzw. voraus !
-<u>'''Energiedichte der elektromagnetischen Welle:'''</u>
-<math>{{\bar{E}}_{0}}(\bar{r},t)</math>
-reell:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
-& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
-\end{align}</math>
-mit
-<math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{\bar{E}}_{0}}</math>
-Die Energiedichte ergibt sich gemäß
-<math>w=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{\bar{B}}^{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{{\bar{E}}^{2}}=2\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}</math>
-Für die Energiestromdichte gilt:
-<math>\begin{align}
-& \bar{S}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \bar{B} \\
-& \bar{S}=\frac{1}{c{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \left( \bar{n}\times \bar{E} \right)=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{\mu }_{0}}}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=c{{\varepsilon }_{0}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=cw\bar{n} \\
-\end{align}</math>
-Also:
-Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung
-<math>\bar{n}=\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}</math>
-transportiert
-Für ine Kugelwelle:
-<math>\bar{E}(\bar{r},t)=\frac{1}{r}{{\bar{E}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)</math>
-verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:
-für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:
-<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)</math>
-Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden ( sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:
-<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}^{2}}{{{r}^{2}}}=const.</math>
-*# <u>'''Retardierte Potenziale'''</u>
-<u>'''Aufgabe'''</u>
-Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:
-<math>\begin{align}
-& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-zu vorgegebenen erzeugenden Quellen
-<math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
-und Randbedingungen
-<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to 0f\ddot{u}r\quad \bar{r}\to \infty </math>
-<u>'''Methode: Greensche Funktion verwenden:'''</u>
-<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)</math>
-'''In der Elektrodynamik:'''
-<math>\#u\left( \bar{r},t \right)=-f\left( \bar{r},t \right)</math>
-mit
-<math>\begin{align}
-& u\left( \bar{r},t \right):=\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-& f\left( \bar{r},t \right)=\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}},{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-Fourier- Trafo:
-<math>\begin{align}
-& {{{\hat{\#}}}^{-1}}:=-\hat{G} \\
-& \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{k},\omega  \right)=\hat{G}\hat{f}\left( \bar{k},\omega  \right) \\
-\end{align}</math>
-Rück- Trafo:
-es folgt schließlich:
-<math>u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
-mit
-<math>\#G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
-'''Vergleiche: Elektrostatik:'''
-<math>\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
-Fourier- Trafo:
-<math>\begin{align}
-& {{\Delta }^{-1}}:=-\hat{G} \\
-& \Rightarrow \hat{\Phi }\left( {\bar{k}} \right)=\hat{G}\hat{\rho } \\
-& \hat{G}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
-\end{align}</math>
-Rück- Trafo:
-es folgt schließlich:
-<math>\Phi \left( {\bar{r}} \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-mit
-<math>\begin{align}
-& G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-& \Delta G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-\end{align}</math>
-'''Kausalitätsbedingung:'''
-<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0</math>
-für t<t´
-Somit kann
-<math>u\left( \bar{r},t \right)</math>
-nur von
-<math>f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
-mit t´ < t  beeinflusst werden
-<u>'''Fourier- Transformation:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& f\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-& \hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}f\left( \bar{r},t \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-\end{align}</math>
-Ebenso:
-<math>\begin{align}
-& u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega  \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-& \Rightarrow \#u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega  \right)\#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-& \#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}=-\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-\end{align}</math>
-Aber es gilt:
-<math>\begin{align}
-& \#u\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-& \Rightarrow \left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)\hat{u}\left( \bar{q},\omega  \right)=\hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right) \\
-& \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{q},\omega  \right)=\frac{\hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right)}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
-& \Rightarrow \hat{G}=\frac{1}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
-\end{align}</math>
-'''Rücktransformation:'''
-<math>\begin{align}
-& u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-& u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }\left\{ \frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \right\}f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
-& \Rightarrow \frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right) \\
-\end{align}</math>
-Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.
-<u>'''Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration'''</u>
-für
-<math>\omega =\pm cq</math>
-gibt es Polstellen.
-Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:
-Der obere Integrationsweg wird durch
-<math>\tau <0</math>
-charakterisiert, der untere Integrationsweg durch
-<math>\tau >0</math>
-.
-Dabei:
-<math>\tau =t-t\acute{\ }</math>
-'''Das Integral über den Halbkreis:'''
-'''Oberer Halbkreis:'''
-<math>\tau <0</math>
-<math>\begin{align}
-& \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad 0\le \phi \le \pi  \\
-& d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi  \\
-& \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
-& \sin \phi >0 \\
-& \tau <0 \\
-& \Rightarrow \begin{matrix}
-\lim   \\
-R\to \infty   \\
-\end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
-\end{align}</math>
-'''Unterer Halbkreis:'''
-<math>\tau >0</math>
-<math>\begin{align}
-& \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad \pi \le \phi \le 2\pi  \\
-& d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi  \\
-& \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
-& \sin \phi <0 \\
-& \tau >0 \\
-& \Rightarrow \begin{matrix}
-\lim   \\
-R\to \infty   \\
-\end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
-\end{align}</math>
-Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:
-<math>\Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}</math>
-( Residuensatz)
-Für
-<math>\tau <0</math>
-liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow \Gamma (\bar{q},\tau )=0 \\
-& \Rightarrow G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0:=G\left( \bar{s},\tau  \right)=0 \\
-\end{align}</math>
-für t<t´
-Dies ist die Kausalitätsbedingung.
-Für
-<math>\tau >0</math>
-:
-<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=-2\pi i\sum\limits_{\omega =\pm cq}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\frac{1}{{{c}^{2}}}\left( \omega -cq \right)\left( \omega +cq \right)}</math>
-Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:
-<math>\oint\limits_{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}sf(z)</math>
-,
-falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen !
-<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}}{2cq}+\frac{{{e}^{icq\tau }}}{-2cq} \right)</math>
-<math>G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}q{{e}^{i\bar{q}\bar{s}}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2iq} \right)</math>
-Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:
-<math>\begin{align}
-& {{d}^{3}}q={{q}^{2}}dq\sin \vartheta d\vartheta d\phi  \\
-& \bar{q}\bar{s}=qs\cos \vartheta  \\
-& G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}dqq\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2i} \right)\int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}\int\limits_{0}^{2\pi }{{}}d\phi  \\
-& \int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}=\frac{{{e}^{iqs}}-{{e}^{-iqs}}}{iqs} \\
-& \xi :=cq \\
-& \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{2{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ {{e}^{i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}+{{e}^{-i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{-i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }} \right\} \\
-& \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{4\pi s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ \delta \left( \tau -\frac{s}{c} \right)-\delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right) \right\} \\
-& \delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right)=0\quad f\ddot{u}r\ \tau >0 \\
-\end{align}</math>
-Also lautet das Ergebnis:
-<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })=\left\{ \begin{matrix}
-\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)  \\
-\quad \quad \quad \quad \quad t<t\acute{\ }  \\
-\end{matrix} \right.\ t>t\acute{\ }</math>
-Retardierte Greensfunktion (kausal)
-<u>'''Physikalische Interpretation'''</u>
-<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })</math>
-ist das Potenzial
-<math>\Phi (\bar{r},t)</math>
-, das von einer punktförmigen Ladungsdichte
-<math>\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
-am Punkt
-<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
-zur Zeit t´ erzeugt wird.
-'''Die Eigenschaften:'''
-* Kausalität
-* Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
-* <math>\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|=c\left( t-t\acute{\ } \right)</math>
-*
-'''Nebenbemerkung:'''
-Für den Integrationsweg
-'''Oberer Halbkreis:'''
-<math>\tau <0</math>
-'''Unterer Halbkreis:'''
-<math>\tau >0</math>
-erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´).
-Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an
-<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
-zur zeit t´ zusammenzieht !
-Mit
-<math>G(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}f\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
-folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen
-<math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-\end{align}</math>
-Die retardierten Potenziale
-<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
-sind bestimmt durch
-<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
-zu retardierten Zeiten
-<math>t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}</math>
-.
-Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.
-## <u>'''Multipolstrahlung'''</u>
-<u>'''Ziel:'''</u>
-<u>'''Die '''</u>retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.
-<u>'''Voraussetzung: Lorentz- Eichung'''</u>
-<math>\dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
-Somit kann aus
-<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
-dann
-<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
-und somit auch
-<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>
-<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>
-berechnet werden.
-# <u>'''Näherung:'''</u>
-<u>'''r>>a ( '''</u>Ausdehnung der Quelle)
-Mit
-<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
-folgt:
-<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt !
-# <u>'''Näherung'''</u>
-<math>\begin{align}
-& t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}\approx t-\frac{r}{c}+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}+.... \\
-& t-\frac{r}{c}:=\tau  \\
-\end{align}</math>
-Diese Näherung sollte gut sein, falls
-<math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math>
-Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander !
-a~ Ausdehnung der Quelle
-<math>\tau </math>
-ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von
-<math>\bar{j}</math>
-:
-Beispielsweise: harmonische Erregung:
-<math>\begin{align}
-& \bar{j}\tilde{\ }{{e}^{i\omega t}} \\
-& \omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau =\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{ck}=\frac{\lambda }{c} \\
-& \Rightarrow a<<\lambda  \\
-\end{align}</math>
-Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes !
-Dann gilt:
-<math>\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\approx \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)}{\partial \left( t-\frac{r}{c} \right)}=\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}{\partial \tau }</math>
-Also folgt für das Vektorpotenzial:
-Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:
-<math>\nabla \cdot \bar{j}\ne 0</math>
-:
-Mit:
-<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)+{{j}_{k}}</math>
-mit der Kontinuitäätsgleichung:
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)=-\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \\
-& \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)={{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \\
-\end{align}</math>
-und wegen
-<math>\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)=0</math>
-(Gauß)
-folgt dann:
-<math>\begin{align}
-& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)=0=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( {{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right) \\
-& \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)=:\dot{\bar{p}}\left( \tau  \right)} \\
-\end{align}</math>
-mit dem elektrischen Dipolmoment:
-<math>\bar{p}\left( \tau  \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)</math>
-Somit für die erste Ordnung:
-<math>{{\bar{A}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
-<u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u>
-<u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)'''</u>
-<math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math>
-<math>\bar{p}</math>
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{A}}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega \left( t-\frac{r}{c} \right)}}}{r}=\frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{i\left( kr-\omega t \right)}}}{r} \\
-& k:=\frac{\omega }{c} \\
-\end{align}</math>
-Die Kugelwelle !
-<u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& \dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\
-& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\
-& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right]+{{\Phi }_{stat.}}\left( {\bar{r}} \right) \\
-& {{\Phi }_{stat.}}\left( {\bar{r}} \right)=0(obda) \\
-& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right]=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)+\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\
-& \frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\tilde{\ }\frac{1}{r} \\
-& \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}} \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Grenzfälle:'''</u>
-<u>'''1) Fernzone / Wellenzone:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& r>>\lambda >>\left( a \right)\Leftrightarrow kr>>1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r>>1 \\
-& \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}>>\frac{{\bar{p}}}{r} \\
-\end{align}</math>
-In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !!
-Es gilt die Näherung
-<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
-<u>'''2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):'''</u>
-<math>\begin{align}
-& \lambda >>r>>>\left( a \right) \\
-& \Leftrightarrow kr<<1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r<<11 \\
-& \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}<<\frac{{\bar{p}}}{r} \\
-\end{align}</math>
-Also:
-<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
-Dies kann man noch entwickeln nach
-<math>\bar{p}\left( t \right)</math>
-. dadurch entstehen Terme:
-<math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>
-Diese kompensieren sich gegenseitig.
-Also:
-Die Retardierung kompensiert den
-<math>\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>
-- Term.
-Wir schreiben:
-<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math>
-in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).
-<u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u>
-<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\
-& \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\dot{\bar{A}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{c}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\
-\end{align}</math>
-Es gilt:
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}\left( \bar{r},t \right)\times \frac{{\bar{r}}}{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}=\frac{1}{c}\bar{E}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}=\frac{{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}}{4\pi c{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{1}{4\pi {{c}^{3}}{{\varepsilon }_{0}}} \\
-\end{align}</math>
-F
-Fazit:
-<math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>
-bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander !
-Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !!
-<u>'''Nebenbemerkung:'''</u>
-In der Nahzone gilt immer noch wegen
-<math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
-, dass r und B senkrecht stehen.
-Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind).
-<u>'''Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)'''</u>
-<math>\begin{align}
-& \bar{S}=\bar{E}\times \bar{H}=\frac{-1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \bar{E}=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\bar{B}\times \left( \bar{B}\times \bar{r} \right)=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\left[ \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)\bar{B}-{{B}^{2}}\bar{r} \right] \\
-& \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)=0 \\
-& \Rightarrow \bar{S}=\frac{c}{{{\mu }_{0}}r}{{B}^{2}}\bar{r} \\
-\end{align}</math>
-<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right)</math>
-Also:
-entspricht
-<math>l=1,m=0</math>
-Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:
-<math>\begin{align}
-& \bar{p}(t)={{{\bar{p}}}_{0}}{{e}^{-i\omega t}} \\
-& {{\left| {\ddot{\bar{p}}} \right|}^{2}}={{{\bar{p}}}_{0}}^{2}{{\omega }^{4}} \\
-\end{align}</math>
-Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt !
-Nebenbemerkung:
-Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne
-<u>'''Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung'''</u>
-Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von
-<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
-(mit der Coulomb- Eichung
-<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>
-)
-mit den Randbedingungen
-<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
-für r-> unendlich  verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:
-Taylorentwicklung nach
-<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
-von analog zum elektrischen Fall:
-Die Stromverteilung
-<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
-sei stationär für
-<math>r>>r\acute{\ }</math>
-<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
-<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
-'''Monopol- Term'''
-'''Mit'''
-<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math>
-Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
-<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math>
-<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math>
-Mit
-<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math>
-folgt dann:
-<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>
-Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.
-Also: Falls
-<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )</math>
-quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A:
-Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\bar{r}\acute{\ },\tau )=0 \\
-& \Rightarrow \dot{\bar{p}}(\tau )=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }=0 \\
-& \Rightarrow {{A}^{(1)}}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}(\tau )\equiv 0 \\
-\end{align}</math>
-Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung)
-<u>'''Beispiel:  '''</u>geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne):
-Mit
-<math>I(t)={{I}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}</math>
-<u>'''2. Ordnung:'''</u>
-<math>{{\bar{A}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )}</math>
-Mit
-<math>\begin{align}
-& \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{2}\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right] \\
-& und \\
-& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right)+{{x}_{k\acute{\ }}}\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j} \right] \\
-& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \\
-\end{align}</math>
-Kontinuitätsgleichung
-Dann folgt integriert:
-Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik):
-<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau  \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
-Falls
-<math>\tilde{Q}\left( \tau  \right)</math>
-oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt
-<math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
-keinen Beitrag zu
-<math>\bar{E},\bar{B}</math>
-* verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen
-<u>'''->'''</u>
-<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}=3\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}\bar{r}\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r} \right)</math>
-'''Also:'''
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{A}}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\left[ \bar{m}\left( \tau  \right)\times \bar{r}+\frac{1}{6}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r} \right] \\
-& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\left( \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}+\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r} \right) \\
-\end{align}</math>
-Mit der magnetischen Dipolstrahlung
-<math>\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}</math>
-und elektrischer Quadrupolstrahlung
-<math>\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}</math>
-Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe
-<math>\nabla \times \frac{1}{r}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}</math>
-schreiben als:
-Die magnetische Dipolstrahlung
-'''Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung'''
-<math>\begin{align}
-& \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{4\pi }\nabla \cdot \left( \nabla \times \frac{1}{r}\bar{m} \right)\equiv 0 \\
-& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right)=!=0 \\
-\end{align}</math>
-O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt
-'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:'''
-das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung
-<u>'''Nebenbemerkung'''</u>
-Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung
-<math>\frac{q}{m}</math>
-ist
-<math>\bar{p}\tilde{\ }\bar{R}</math>
-(Schwerpunkt)
-und
-<math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math>
-( Gesamtdrehimpuls)
-<math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math>
-In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich
-vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung
-<u>'''4.4 Wellenoptik und Beugung'''</u>
-Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen
-<math>\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
-und
-<math>\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
-und bei vorgegebenen Leitern
-<math>{{L}_{\alpha }}</math>
-im Vakuum:
-<u>'''Ziel'''</u>
-ist die Berechnung des Wellenfeldes im Außenraum V
-Anwendung: Radiowellen
-<math>\lambda =1-{{10}^{4}}</math>
-m
-Radar
-Optik
-<math>\lambda =400-800nm</math>
--> Beugung
-<u>'''Rückführung auf Randwertaufgabe'''</u>
-Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentzeichung ( Potenzialgleichungen) ( vergleiche dazu 1.6 in der Elektrostatik)
-<math>\begin{align}
-& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-\end{align}</math>
-Zu vorgegebenen Ladungen und Strömen.
-Gleichzeitig haben wir Randbedingungen auf
-<math>{{L}_{\alpha }}</math>
-und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2
-'''Annahme:'''
-<math>\begin{align}
-& \rho \left( \bar{r},t \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
-& \bar{j}\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}\left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
-\end{align}</math>
-Dies sollte wegen Fourier- Zerlegung bei periodischer Erregung beliebiger Art grundsätzlich möglich sein.
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
-& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
-\end{align}</math>
-eingesetzt in die Wellengleichung
-<math>\begin{align}
-& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Phi \left( \bar{r},t \right) \\
-& \Rightarrow \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)\Phi \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-& k:=\frac{\omega }{c} \\
-\end{align}</math>
-Mit der Greenschen Funktion der Wellengleichung
-<math>\#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
-:
-<math>\#G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
-Haben wir formal sofort die allgemeine Lösung:
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right) \\
-& t-t\acute{\ }:=\tau  \\
-& \Rightarrow \int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \\
-& =\left[ \int_{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right]{{e}^{-i\omega t}}:=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{e}^{-i\omega t}} \\
-& \int_{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau  \right):=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-\end{align}</math>
-Somit kann die periodische Zeitabhängigkeit absepariert werden:
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( {\bar{r}} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
-& mit \\
-& \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-\end{align}</math>
-Problem:
-Die Randbedingungen für
-<math>\Phi \left( {\bar{r}} \right),\bar{A}</math>
-sind im stationären Fall nicht bekannt, sondern müssen selbstkonsistent bestimmt werden.
-Man kann das Problem jedoch mit Hilfe des Greenschen Satzes umformulieren:
-<u>'''Skalare Kirchhoff- Identität'''</u>
-( eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Lösung):
-Skalar: Wir beschreiben keine Polarisationseffekte !!! Alle Polarisationseffekte sind vernachlässigt. Das hat man unter dem Begriff Skalar an dieser Stelle zu verstehen !
-Weiter: Greenscher Satz:
-<math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \phi \nabla \Psi -\Psi \nabla \phi  \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \phi \Delta \Psi -\Psi \Delta \phi  \right)</math>
-Setze:
-<math>\begin{align}
-& \Psi (\bar{r})=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-& \phi (\bar{r})=\Phi \left( {\bar{r}} \right) \\
-\end{align}</math>
-Dabei sei das Potenzial als Lösung angenommen:
-<math>\begin{align}
-& \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right) \\
-& \Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-{{k}^{2}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
-& \Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right)=\frac{-\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}-{{k}^{2}}\Phi \left( {\bar{r}} \right) \\
-& \Rightarrow \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right)=-\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right) \\
-& \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)=\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right) \\
-\end{align}</math>
-Also:
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right) \\
-& \bar{r}\acute{\ }\in V \\
-\end{align}</math>
-Dabei ist
-<math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-im inneren von V durch
-<math>\Phi </math>
-und
-<math>\nabla \Phi </math>
-auf dem Rand festgelegt, falls die Greensfunktion
-<math>\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
-bekannt ist
-<u>'''Freier Raum: Greensfunktion des unendlichen Raumes:'''</u>
-Randbedingung
-<math>\begin{matrix}
-\lim   \\
-r\to \infty   \\
-\end{matrix}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0</math>
-* Retardierte Potenziale ( Vergl. § 4.2):
-<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau  \right)=\left\{ \begin{matrix}
-\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( \tau -\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\quad \tau >0  \\
-\quad \quad \quad \quad \tau <0  \\
-\end{matrix} \right.</math>
-Somit:
-<math>\begin{align}
-& \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\int_{0}^{\infty }{d}\tau G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau  \right){{e}^{i\omega \tau }}=\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-& k:=\frac{\omega }{c} \\
-\end{align}</math>
-Es folgt für das Potenzial:
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{e}^{-i\omega t}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{e}^{-i\omega t}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}} \\
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{e}^{i\left( k\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|-\omega t \right)}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}} \\
-\end{align}</math>
-beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen-> Lösung als Entwicklung in Kugelwellen.
-( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).
-Mit
-<math>\bar{R}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }</math>
-lautet die Kirchhoff- Identität:
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ },t \right)=\frac{1}{4\pi }\int_{\partial V}^{{}}{d{{{\bar{f}}}_{R}}}\left[ \frac{{{e}^{ikR}}}{R}{{\nabla }_{r}}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R} \right] \\
-& {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}=\frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-\end{align}</math>
-Dazu eine Grafik:
-Mittels
-<math>d\bar{f}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=df\cos \vartheta </math>
-und über Beschränkung auf Fernzone von
-<math>\partial V</math>
-, also R >> 1/k gilt:
-<math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ },t \right)=\frac{1}{4\pi }\int_{\partial V}^{{}}{d{{f}_{R}}}\left[ \frac{\partial }{\partial n}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-ik\Phi \left( {\bar{r}} \right)\cos \vartheta  \right]\frac{{{e}^{ikR}}}{R}</math>
-Mit der richtungsabhängigen Amplitude
-<math>\left[ \frac{\partial }{\partial n}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-ik\Phi \left( {\bar{r}} \right)\cos \vartheta  \right]</math>
-und der Kugelwelle
-<math>\frac{{{e}^{ikR}}}{R}</math>
-.
-Beides zusammen ergeben sogenannte Sekundärwellen.
-Insgesamt ist dies die exakte ( mathematische) Formulierung des Huygensschen Prinzips
-( jeder Punkt an der Oberfläche des Hindernisses ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle).
-deren phasengerechte Überlagerung ergibt dann das Wellenfeld in r´
-<u>'''b) Greensfunktion zu Randbedingungen'''</u>
-<math>\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\begin{smallmatrix}
-\bar{r}\in \partial V \\
-\bar{r}\acute{\ }\in V
-\end{smallmatrix}}}=0</math>
-<math>\Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
-Die neue Greensfunktion unterscheidet sich von der alten nur durch eine additive  Lösung g der homogenen Wellengleichung:
-<math>\begin{align}
-& \tilde{G}\left( {\bar{R}} \right)=g\left( {\bar{R}} \right)+\frac{1}{4\pi }\frac{{{e}^{ikR}}}{R} \\
-& \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)g=0 \\
-\end{align}</math>
-Mit Randbedingung
-<math>g{{\left. {} \right|}_{\partial V}}=-\frac{1}{4\pi }{{\left. \frac{{{e}^{ikR}}}{R} \right|}_{\partial V}}</math>
-Beispiel für die Konstruktion von
-<math>\tilde{G}\left( {\bar{R}} \right)</math>
-:
-'''Ebener Schirm:'''
-Spiegelladungsmethode:
-Hinter dem Schirm wird die Halbkugel im UNENDLICHEN geschlossen.
-Hinter dem ebenen Schirm wenden wir die Spiegelladungsmethode an:
-<math>\begin{align}
-& \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( \frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right) \\
-& \Rightarrow {{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right):=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right) \\
-\end{align}</math>
-Dieser Gradient wurde einige Seiten vorher bereits gelöst:
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right):=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right) \\
-& =\frac{1}{4\pi }\left( \frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }}\left( ik-\frac{1}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right) \\
-\end{align}</math>
-Mit
-<math>\begin{align}
-& R=R\acute{\ }\acute{\ } \\
-& d\bar{f}\cdot \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-d\bar{f}\cdot \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}=+df\cos \vartheta  \\
-& \Rightarrow d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\tilde{G}=df\frac{1}{2\pi }\frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\cos \vartheta  \\
-\end{align}</math>
-Für
-<math>\lambda <<R</math>
-( Fernzone):
-<math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}=-\frac{i}{\lambda }\int_{F}^{{}}{df\Phi \left( {\bar{r}} \right)\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}\cos \vartheta </math>
-Zur Konstruktion der Lösung müssen die Randwerte
-<math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{F}}</math>
-erraten werden.
-<u>'''Kirchhoffsche Näherung'''</u>
-Beugung an Blenden B in einem ebenen Schirm:
-Annahme:
-<math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{S}}=0</math>
-Das Potenzial verschwindet auf dem Schirm ( leitender Schirm)
-<math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{B}}=\frac{{{e}^{ik{{R}^{Q}}}}}{{{R}^{Q}}}</math>
-freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende
-Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{i}{\lambda }\int_{B}^{{}}{df\frac{{{e}^{ik\left| R+{{R}^{Q}} \right|}}}{R{{R}^{Q}}}}\cos \vartheta  \\
-& \cos \vartheta \approx const. \\
-\end{align}</math>
-Der Winkel ist näherungsweise konstant für kleine Blenden:
-<math>\lambda <<d</math>
-<math>\begin{align}
-& \bar{R}=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
-& {{{\bar{R}}}^{Q}}=\bar{r}-{{{\bar{r}}}^{Q}} \\
-& df={{d}^{2}}r \\
-\end{align}</math>
-Somit:
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{i}{\lambda }\frac{\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}\int_{B}^{{}}{df}{{e}^{ik\left| R+{{R}^{Q}} \right|}} \\
-& \cos \vartheta \approx const. \\
-\end{align}</math>
-im schnell oszillierenden Exponenten darf man R und RQ nicht so ohne weiteres durch Ro / RQo ersetzen !
-* typisches Näherungsverfahren in Fernfeldoptik
-<u>'''Grenzfälle'''</u>
-# <u>'''Fraunhofersche Beugung ( Fernzone:'''</u>
-# <math>\lambda <<d<<R</math>
-# )
-Setze
-<math>\bar{R}={{\bar{R}}_{0}}+\bar{s}</math>
-<math>{{R}^{2}}\approx {{R}_{0}}^{2}+2{{\bar{R}}_{0}}\bar{s}</math>
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow R\approx {{R}_{0}}+\bar{\alpha }\bar{s} \\
-& \bar{\alpha }:=\frac{{{{\bar{R}}}_{0}}}{{{R}_{0}}} \\
-\end{align}</math>
-Analog:
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow {{R}^{Q}}\approx {{R}_{0}}^{Q}+{{{\bar{\alpha }}}_{0}}\bar{s} \\
-& {{{\bar{\alpha }}}_{0}}:=\frac{{{{\bar{R}}}_{0}}^{Q}}{{{R}_{0}}^{Q}} \\
-\end{align}</math>
-<math>\Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\approx -\frac{i}{\lambda }{{e}^{ik\left( {{R}_{0}}+{{R}_{0}}^{Q} \right)}}\frac{\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}\int_{B}^{{}}{{{d}^{2}}s}{{e}^{ik\left( \bar{\alpha }+{{{\bar{\alpha }}}_{0}} \right)\bar{s}}}</math>
-<u>'''Fresnelsche Beugung ( Mittelzone:'''</u>
-<math>\lambda <<R\approx d</math>
-hier:
-<math>{{R}^{2}}={{R}_{0}}^{2}+2{{\bar{R}}_{0}}\bar{s}+{{s}^{2}}</math>
-nicht genähert !!
-'''Beispiel: Fraunhofersche Beugung am Spalt ( eindimensional):'''
-Bei senkrechtem Einfall gilt:
-<math>{{\bar{\alpha }}_{0}}\bar{s}=0</math>
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=C\int_{-d/2}^{d/2}{d{{s}_{1}}}{{e}^{ik\alpha {{s}_{1}}}} \\
-& \alpha :=\sin {{\vartheta }_{0}} \\
-& \bar{\alpha }\bar{s}={{s}_{1}}\sin {{\vartheta }_{0}} \\
-& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{C}{ik\alpha }\left( {{e}^{ik\alpha \frac{d}{2}}}-{{e}^{-ik\alpha \frac{d}{2}}} \right) \\
-& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=Cd\frac{\sin \left( k\alpha \frac{d}{2} \right)}{k\alpha \frac{d}{2}} \\
-\end{align}</math>
-Die Spaltfunktion, Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ( Blende)
-Wir finden Beugungsminima bei den Nullstellen des Sinus ( Außer in der Mitte), also
-<math>\sin {{\vartheta }_{0}}=n\cdot \frac{\lambda }{d}</math>
-ebenso ( als ÜBUNG !!!)
-können dann Beugung am Gitter und an kreisförmigen Blenden berechnet werden.
-<u>'''Einwurf:                 1. Der holografische Prozess'''</u>
-*# <u>'''Aufzeichnung und Rekonstruktion'''</u>
-Lichtintensität einer Lichtwelle:
-<math>I(x,y)=|O(x,y)|{}^\text{2}=O(x,y)\bullet O*(x,y)</math>
-* Phaseninformationen gehen verloren
-* Idee: Phaseninfo durch Interferenz aufzeichnen
-* Lösung mittels eines Zweistufenprozesses: Aufzeichnung und Rekonstruktion
-* Kohärenz erforderlich
-* monochromatisches Licht
-* unpolarisiertes Licht
-<u>'''1. Schritt: Die Aufzeichnungsphase'''</u>
-* Problem: Speichern komplexer Funktionen in einem reellen Medium
-* Überlagerung der Objektwelle
-<math>O(x,y)=|O(x,y)|\bullet \exp (i{{\varphi }_{O}}(x,y))</math>
-* Mit einer Referenzwelle
-<math>R(x,y)=|R(x,y)|\bullet \exp (i{{\varphi }_{R}}(x,y))</math>
-* Auch in diesem Fall werden nur Intensitäten gespeichert. Doch diese sind nun:
-<math>I(x,y)=|O(x,y)+R(x,y)|{}^\text{2}\ =\quad |O|{}^\text{2}\ +\ |R|{}^\text{2}\ +\ OR*\ +\ O*R</math>
-<math>I(x,y)=|O|{}^\text{2}\ +\ |R|{}^\text{2}\ +2RO\cos [{{\varphi }_{R}}(x,y)-{{\varphi }_{O}}(x,y)]</math>
-* Diese Intensitätsverteilung kann verstanden werden als " Hologrammfunktion" oder "Aperturefunktion"
-* Planare Wellen: Fraunhofer Hologramme
-* Divergierende Wellen: Fresnelhologramme
-* Im obigen Bild dargestellt: Trägerfrequenzholografie
-* Eigentliche Holografie: ohne Trägerfrequenz: Referenzstrahl, in den auch das Objekt gestellt wird.
-* Dabei überlagern sich jedoch mehrere Ordnungen.
-* Generell: verschiedenste Aufzeichnungstechniken:
-* Trägerfrequenzholografie ( wie oben)
-* Denisyukhologramm
-<u>'''2. Schritt: Rekonstruktionsphase'''</u>
-* Gleiche Wellenlänge wie bei Aufzeichnung rekonstruiert das Objekt
-* Ansonsten: Verzerrung
-* Beugung durch Hologrammstrukturen vergleichbar mit Gitter
-* Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
-* Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
-* Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion -> reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:
-<math>O\acute{\ }=R\cdot I(x,y)=R\cdot (|O|{}^\text{2}+|R|{}^\text{2})+O\cdot |R|{}^\text{2}+R\cdot R\cdot O*</math>
-* Zu beachten: komplexe Funktionen
-<u>'''Fresnel- und Fourier- Hologramme'''</u>
-* Wesentlich für Fourier- Hologramme: Aufzeichnung mittels ebener Wellen
-* Linse
-* Objekt in weiter Entfernung
-* Wesentlich für Fresnelhologramme: Die Objektwelle ist eine Kugelwelle. Das Objekt muss sich also in der Nähe der Hologrammebene befinden.
-* Fouriernäherung des Beugungsintegrals
-* Fresnel- Näherung des Beugungsintegrals
-*# <u>'''Grundlagen der Beugung'''</u>
-* Das Beugungsintegral beschreibt die Lichterregung in der Beobachtungsebene.
-* Keine Berücksichtigung der Polarisation
-* Voraussetzung: kohärente Beleuchtung
-* Die einfallende Welle wird mit der Aperturefunktion A(x1, y1) ( z.B. Amplitudentransparenz einer Blende oder Phasenaddition durch ein Phasenobjekt) multipliziert und dann über den gesamten Raum integriert.
-* Fällt das Licht durch ein Hologramm, so muss in die Gleichungen die entsprechende Funktion der Lichttransmission, die das Hologramm beschreibt, gesetzt werden ( Hologramm-/ Aperturefunktion).
-* Ausgangspunkt:
-Helmholtz- Gleichung
-<math>(\nabla {}^\text{2}+k{}^\text{2})\,U(\bar{r})=0</math>
-mit
-<math>U(\bar{r})=\frac{{{e}^{i\bar{k}\bar{r}o1}}}{ro1}</math>
-* lauter Kugelwellen in x1/y1
-<math>O(xo,yo)\tilde{\ }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)\bullet U(\bar{r})dx1dy1}}</math>
-<math>\approx \tilde{\ }\frac{1}{z}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{ikr}}\bullet A(x1,y1)}}dx1dy1</math>
-* Komposition des Objekts durch Interferenz aufgrund von Phasenunterschieden im Raum hinter der Blende
-'''Reihenentwicklung des Abstandes als Näherung:'''
-<math>r=\sqrt{(xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2}+z{}^\text{2}}</math>
-<math>\approx z\left[ 1+\frac{(xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2}}{2z{}^\text{2}} \right]</math>
-'''Fresnel- Näherung:'''
-* Die Hologrammfunktion / Aperturfunktion kodiert das Fresnelsche Beugungsbild
-<math>O(xo,yo)\approx \tilde{\ }\frac{{{e}^{ikz}}}{z}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)}}\bullet {{e}^{\frac{i\pi }{\lambda z}\left[ (xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2} \right]}}dx1dy1</math>
-'''Fraunhofer- Näherung:'''
-* Aufzeichnung allgemein mit Linse
-* Zur Aufzeichnung: ebene Welle erforderlich
-* Das Integral entspricht einer Fouriertransformation der Hologrammfunktion/ Aperturefunktion
-'''Aufzeichnung:'''
-<u>'''1.3 Beispiele: Einfach- und Doppelspalt'''</u>
-'''Hintergrund'''
-* Laufstreckenunterschiede von kohärenten Lichtstrahlen bestimmen Interferenzerscheinungen
-Fernfeldnäherungen/ Fouriernäherungen:
-* Für schmalen Doppelspalt gilt:
-<math>d\varphi (P)=k\cdot ds=k(r2-r1)\approx k\cdot \sin \theta \cdot a=2\pi \sin \theta \cdot \frac{a}{\lambda }</math>
-<math>\Rightarrow \sin \theta \cdot a=m\lambda </math>
-als Maximabedingung
-Sofort ersichtlich:
-* Variation des Spaltabstands variiert Phase
-* Variation der Spaltbreite variiert Amplitude
-* Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
-* 1. Strahl <-> n/2 +1  ,    2. Stahl <-> N/2 + 2
-
-<math>\sin \theta \cdot b=m\lambda </math>
-als Minimabedingung
-<u>'''Der Einfachspalt:'''</u>
-Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:
-<math>O\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
-entspricht Feldverteilung des E-Feldes:
-<math>E\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
-<math>I(\theta )={{I}_{o}}\cdot \text{sinc }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ (}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
-<u>'''2. Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite/ Minimalgitter:'''</u>
-* Lösung Gesamtproblem: Reihe von Beugungsintegralen
-Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:
-<math>E\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
-* Entspricht den Beugungserscheinungen an einer Periode
-Amplitudenverteilung bei mehreren schmalen Spalten/ Vielstrahlinterferenz:
-<math>E\tilde{\ }\left\{ \frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))} \right\}</math>
-<math>I(\theta )={{I}_{o}}\text{sin}{{\text{c}}^{\text{2}}}\text{(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )\cdot {{\left\{ \frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))} \right\}}^{2}}</math>
-* Der Abstand der Spalte ist immer größer als die Breite: a>b
-* Die Interferenzstreifen aus Spaltbreite modulieren mit niedriger Frequenz
-* Interferenzstreifen aus Spaltanzahl modulieren mit hoher Frequenz
-* Für schmale Spalte: Kammfunktion
-<u>'''5. Materie in elektrischen und magnetischen Feldern'''</u>
-<u>'''5.1 Polarisation'''</u>
-Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine
-# '''freie Ladungsträger'''
-Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern
-* Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft
-<math>\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]</math>
-* elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
-*
-* <math>\sigma </math>
-*
-# '''gebundene Ladungen  ( In Isolatoren)'''
-* '''Polarisierung im '''<u>'''E- '''</u>'''Feld'''
-# '''Für '''<u>'''E '''</u>=0 vorhandene mikroskopische Dipole <u>p</u> werden zur Minimierung der potenziellen Energie
-Wel.=-<u>p</u> <u>E</u>
-vorzugsweise  ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu <u>E </u>orientiert ( z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !)
-# Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind:
-<math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math>
-nach Einschalten des Feldes.
-Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt !
-<u>'''Makroskopische räumliche Mittelung'''</u>
-Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen
-Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\
-& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\
-\end{align}</math>
-gemäß
-<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar{E}}_{p}}={{\rho }_{P}}</math>
-Das resultierende Gesamtfeld lautet:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\
-& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\
-\end{align}</math>
-Mit der freien Ladungsdichte
-<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho </math>
-Also:
-<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }=\rho +{{\rho }_{P}}</math>
-Die Polarisation selbst bestimmt sich nach
-<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}\left( \bar{r},t \right)</math>
-ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.
-Somit:
-<math>\begin{align}
-& \nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)=\rho  \\
-& \nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{P}} \\
-\end{align}</math>
-Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir
-<math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math>
-Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten:
-<math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math>
-Wir bezeichnen mit
-<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=d{{Q}_{P}}</math>
-die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand  durch die Fläche df verschoben wird:
-Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):
-<math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math>
-= Polarisationsladung, die V verläßt !
-<u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u>
-<math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
-( mikroskopische Ladungsdichte)
-<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
-( mikroskopische Dipoldichte) mit:
-<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math>
-Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen
-<math>\Delta V:</math>
-<math>{{\left( \Delta V \right)}^{\frac{1}{3}}}<<</math>
-Längenskala der makroskopischen Dichtevariation
-Somit:
-<math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
-( makroskopische Ladungsdichte)
-<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
-Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !!
-'''Beweis:'''
-Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:
-<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
-wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist !
-Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
-& \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }:=\bar{r}\acute{\ }-\bar{s} \\
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \\
-& =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
-\end{align}</math>
-Wobei
-<math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
-Die makroskopische Ladungsdichte ist !
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
-& =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
-\end{align}</math>
-'''Analog:'''
-Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole
-<math>{{\bar{p}}_{i}}</math>
-:
-<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\nabla }_{r}}\left\{ \sum\limits_{i}{{}}\frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right\}</math>
-mit dem mikroskopischen Dipolmoment
-<math>{{\bar{p}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)</math>
-Analog:
-<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}</math>
-mit der mikroskopischen Dipoldichte
-<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
-Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:
-<math>\begin{align}
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\
-& =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\
-& =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\
-\end{align}</math>
-'''Umformung:'''
-<math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math>
-Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:
-<math>\begin{align}
-& {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
-& t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
-& {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
-\end{align}</math>
-Also folgt für das Potenzial:
-Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte
-<math>{{\rho }_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\left( -{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right)</math>
-Damit können wir die makroskopische Dipoldichte
-<math>\bar{P}</math>
-mit der durch
-<math>\bar{P}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}</math>
-bzw.
-<math>\nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{p}}</math>
-definierten Polarisation identifizieren.
-<u>'''5.2 Magnetisierung'''</u>
-Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente
-<math>\bar{m}</math>
-:
-a) Für
-<math>\bar{B}=0</math>
-vorhandene, permanente magnetische Momente
-<math>\bar{m}</math>
-werden zur Minimierung der potenziellen Energie
-<math>{{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}</math>
-vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen
-* paramagnetisches Verhalten
-# durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.
-* diamagnetisches Verhalten !
-<u>'''Makroskopisch gemittelte Felder'''</u>
-mikroskopische magnetische Dipoldichte:
-Wie bei Polarisationsdichte:
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{m}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
-& {{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)\quad el.Dipoldichte \\
-\end{align}</math>
-Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen
-<math>\Delta V</math>
-:
-<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
-'''makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung'''
-<u>'''Ziel:'''</u>
-Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte
-<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
-und den effektiven Feldern
-<math>\bar{B}</math>
-in der Materie finden.
-Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte
-<math>{{\bar{j}}_{M}}</math>
-als Quelle der Felder eingeführt werden kann:
-<math>\nabla \times {{\bar{B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{M}}</math>
-bzw.
-<math>\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}</math>
-'''effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):'''
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
-& \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ } \right)=\nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}=\bar{j}+{{{\bar{j}}}_{M}} \\
-\end{align}</math>
-Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom <u>j :</u>
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
-& \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-\bar{M} \right)=\bar{j} \\
-& \bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-{{{\bar{B}}}_{M}} \right)=\frac{{\bar{B}}}{{{\mu }_{0}}} \\
-\end{align}</math>
-Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\sum\limits_{i}{{}}\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)+\nabla \times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right) \right] \\
-& {{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad elektrDipolmoment \\
-& {{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad magnetDipolmoment \\
-& \Rightarrow {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
-\end{align}</math>
-mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte
-<math>{{\bar{p}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
-und der magnetischen Dipoldichte
-<math>{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
-'''Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:'''
-<math>\begin{align}
-& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\
-& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
-& ==\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
-\end{align}</math>
-'''Wobei '''nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind ( vergleiche oben)
-Umformung liefert:
-<math>\begin{align}
-& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
-& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)= \\
-& =-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
-& t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
-& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)=0 \\
-& \Rightarrow \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right] \\
-\end{align}</math>
-'''Definition'''
-<math>\begin{align}
-& \dot{\bar{P}}={{{\bar{j}}}_{p}} \\
-& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)={{{\bar{j}}}_{M}} \\
-\end{align}</math>
-Ersteres: Polarisationsstromdichte
-'''Letzteres: Magnetisierungsstromdichte'''
-'''Also:'''
-<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]</math>
-Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !
-es gilt der Erhaltungssatz:
-<math>\begin{align}
-& \frac{\partial }{\partial t\acute{\ }}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot \dot{\bar{P}}=-\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}} \\
-& \Rightarrow {{{\dot{\rho }}}_{p}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}}=0 \\
-\end{align}</math>
-Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung !
-<u>'''5.3 Maxwell- Gleichungen in Materie'''</u>
-Die vollständigen Potenziale enthalten
-* die freie Ladungs- und Stromdichten
-* <math>\rho ,\bar{j}</math>
-*
-* die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
-* <math>{{\rho }_{p}},{{\bar{j}}_{p}},{{\bar{j}}_{m}}</math>
-*
-Somit folgt für die vollständigen Potenziale:
-<math>\begin{align}
-& t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
-& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
-& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\rho }_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung
-<math>\begin{align}
-& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{\acute{\ }0}}\left[ \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right] \\
-& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \rho +{{\rho }_{P}} \right] \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-Für die Felder in Materie folgt:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:
-<math>\begin{align}
-& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
-& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-* Wie im Vakuum
-<math>\begin{align}
-& 3)\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi  \\
-& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi  \\
-& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi  \\
-\end{align}</math>
-In Lorentz Eichung !
-<math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math>
-per Definition von
-<math>{{\rho }_{p}}</math>
-.
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow 3)\nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
-& \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right):=\bar{D}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-Die Dielektrische Verschiebung
-) Letzte Gleichung:
-<math>\begin{align}
-& \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi  \\
-& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\nabla \Phi  \\
-& \nabla \Phi =-\bar{E}-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
-& ={{\mu }_{0}}\left( \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
-& {{{\bar{j}}}_{P}}=\dot{\bar{P}} \\
-& {{{\bar{j}}}_{M}}=\nabla \times \bar{M} \\
-& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{P}+{{\varepsilon }_{0}}\bar{E} \right)+{{\mu }_{0}}\nabla \times \bar{M}+{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-& \Rightarrow 4) \\
-& \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
-& \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=H\left( \bar{r},t \right) \\
-& \Rightarrow \nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
-\end{align}</math>
-Mit dem Magnetfeld
-<math>H\left( \bar{r},t \right)</math>
-, welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:
-<u>'''Zusammenfassung:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
-& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
-<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
-<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>
-Dabei beschreibt
-<math>\begin{align}
-& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
-& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und
-<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
-<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>
-die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
-Weiter:
-<math>\begin{align}
-& \bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
-& \bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):
-<math>\begin{align}
-& 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
-& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>
-<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>
-die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
-Weiter:
-<math>\begin{align}
-& 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
-& 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden):
-<math>\begin{align}
-& 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
-& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>
-<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>
-<math>\begin{align}
-& 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
-& 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
-\end{align}</math>
-sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".
-<u>'''Einfachster Fall:'''</u>
-# isotrope Materie:
-<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)||\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
-und für paramagnetische Stoffe
-<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \uparrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
-für diamagnetische Stoffe:
-<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
-,
-also ein skalarer Zusammenhang
-# bei nicht zu hohen Feldern:
-<math>\bar{E}\tilde{\ }\bar{P}</math>
-<math>\bar{B}\tilde{\ }\bar{M}</math>
-also ein linearer Zusammenhang
-# ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen):
-<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
-<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
-neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang !
-Dann kann man schreiben:
-<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>
-<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)={{\chi }_{M}}\bar{H}\left( \bar{r},t \right)</math>
-Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität
-<math>{{\chi }_{e}}</math>
-und der magnetischen Suszeptibilität
-<math>{{\chi }_{M}}</math>
-( Materialkonstanten).
-Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.
-<math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>
-mit
-<math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math>
-, der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)
-<math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math>
-mit
-<math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math>
-, der relativen Permeabilität
-<math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math>
-Man sagt:
-Ein Stoff ist paramagnetisch für
-<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}>0</math>
-diamagnetisch für
-<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}<0</math>
-paramagnetisch:
-<math>{{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1</math>
-diamagnetisch
-<math>0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1</math>
-Bemerkungen
-<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=0\Rightarrow \bar{P}=0</math>
-beschreibt kein Ferroelektrikum
-<math>\bar{B}=0\Rightarrow \bar{M}=0</math>
-kein Ferromagnet
-Es gilt stets
-<math>{{\chi }_{e}}>0</math>
-( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit)
-<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix}
->  \\
-<  \\
-\end{matrix}0</math>
-Para- ODER Diamagnet
-Ein Term
-<math>\tilde{\ }\bar{B}</math>
-in
-<math>\bar{P}</math>
-oder
-<math>\tilde{\ }\bar{E}</math>
-in
-<math>\bar{M}</math>
-kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens !
-<math>\bar{E}</math>
-ist polarer Vektor,
-<math>\bar{B}</math>
-ist axialer Vektor !
-<math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
-ist ein Skalar
-<math>{{\bar{j}}_{M}}=rot\bar{M}</math>
-ist ein polarer Vektor.
-<u>'''Abweichungen'''</u>
-)Für anisotrope Kristalle :
-<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}\bar{E}</math>
-drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor
-<math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math>
-.
-) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:
-<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(1)}\bar{E}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(2)}{{{\bar{E}}}^{2}}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(3)}{{{\bar{E}}}^{3}}+... \right)</math>
-Anwendung: optische Nichtlinearität,
-Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:
-Für hochfrequente Felder folgt:
-<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
-( räumliche bzw. zeitliche Dispersion):
-<math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega  \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega  \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega  \right)</math>
-<u>'''5.4 Grenzbedingungen für Felder'''</u>
-_ Frage ist: Wie verhalten sich
-<math>\bar{B},\bar{H},\bar{D},\bar{E}</math>
-an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien ( Vakuum/ Materie) trennen ?
-'''Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:'''
-<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)</math>
-<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math>
-'''Bildlich:'''
-'''Normalkomponenten:'''
-'''Betrachte einen Zylinder, '''der senkrecht auf einer Grenzfläche steht.
-Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:
-also: Für die Normalkomponenten: h -> 0
-Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist,
-springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt:
-Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte
-<math>\sigma </math>
-trägt:
-<math>\begin{align}
-& \rho \left( \bar{r},t \right)=\sigma \left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\
-& {{{\bar{e}}}_{z}}\equiv \bar{n} \\
-& \Rightarrow \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{B}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0</math>
-Somit müssen die Integranden übereinstimmen:
-<math>\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0</math>
-<math>\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\sigma \left( x,y,t \right)</math>
-<u>'''Tangentialkomponenten'''</u>
-<u>'''Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:'''</u>
-<math>1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0</math>
-<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>
-<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>
-<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math>
-Auch hier: h-> 0
-<math>\begin{align}
-& \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
-& \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right) \\
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right) \\
-\end{align}</math>
-In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder ! senkrecht auf Flächenvektor und Feld
-Wegen:
-<math>\begin{align}
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=-\begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\
-\end{align}</math>
-Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte
-<math>\begin{align}
-& {\bar{g}} \\
-& \Rightarrow \bar{j}\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}\left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\
-\end{align}</math>
-wie es bei metallen der Fall ist !,
-dann:
-<math>\begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\bar{j}=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}</math>
-Weiter:
-<math>\begin{align}
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
-\end{align}</math>
-können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn
-<math>\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
-Unendlichkeitsstellen besitzen.
-Annahme:
-<math>\bar{B},\bar{D}</math>
-und
-<math>\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
-sind beschränkt:
-<math>\begin{align}
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=0 \\
-& \begin{matrix}
-\lim   \\
-h->0  \\
-\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\
-& \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\
-& \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\
-\end{align}</math>
-Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:
-<math>\begin{align}
-& \bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\
-& \bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\bar{g}(x,y,t) \\
-\end{align}</math>
-Das heißt:
-Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig
-Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte !
-Bildlich:
-Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt -> Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig !
-Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig !
-<u>'''Zusammenfassung:'''</u>
-<math>\delta \bar{E}:=\left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)</math>
-<u>'''Maxwellgleichung					Grenzbedingung'''</u>
-<math>\begin{align}
-& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta \bar{E}=0 \\
-& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{B}=0 \\
-\end{align}</math>
-<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\sigma </math>
-<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta H\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}</math>
-Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig
-Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte ( Flächendivergenz)
-Die Tangentialkomponente von H springt ( Flächenrotation) um die Flächenstromdichte
-Die Normalkomponente von B ist stetig.
-'''Beispiele:'''
-# Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien  mit
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }^{(1)}}<{{\varepsilon }^{(2)}} \\
-& \sigma =0 \\
-\end{align}</math>
-Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin !
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\
-& {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)} \\
-\end{align}</math>
-letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte !
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\
-& {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)}\Rightarrow {{\varepsilon }_{1}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}={{\varepsilon }_{2}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)} \\
-& \Rightarrow {{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)} \\
-& \tan {{\alpha }_{1}}=\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\tan {{\alpha }_{2}} \\
-\end{align}</math>
-Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien
-Achtung ! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen
-# <u>'''Grenzfläche zwischen Vakuum ( Luft) und magnetischem Material'''</u>
-<u>'''2.1 Sei '''</u>speziell
-<math>\bar{B}\bot </math>
-Grenzfläche ( z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso !)):
-In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist
-<math>\bar{B}</math>
-grundsätzlich stetig !
-B ist eh immer grundsätzlich stetig ! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer ( wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.
-# <u>'''Paramagnetisch:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\
-& \bar{M}\uparrow \uparrow \bar{H} \\
-\end{align}</math>
-# <u>'''Paramagnetisch:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\
-& \bar{M}\uparrow \downarrow \bar{H} \\
-\end{align}</math>
-<u>'''2.2 Sei '''</u>speziell
-<math>\bar{B}||</math>
-Grenzfläche ( z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso !)):
-Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen ( E und H):
-In diesem Fall ist
-<math>\bar{H}</math>
-stetig für
-<math>\bar{g}=0</math>
-( kein Oberflächenstrom)
-<u>'''5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit'''</u>
-Ziel: Berechnung der Materialkonstanten
-<u>'''5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit'''</u>
-Ziel: Berechnung der Materialkonstanten
-<math>{{\chi }_{e}}</math>
-aus einfachen mikroskopischen Modellen
-Methode:  Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte
-<math>\bar{P}</math>
-für ein gegebenes Feld
-<math>\bar{E}</math>
-.
-'''Nebenbemerkung: '''Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation
-<u>'''Klassisches Atommodell:'''</u>
-homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung
-<math>{{Q}_{e}}=-Ze<0</math>
-Außerdem ein punktförmiger Kern mit
-<math>{{Q}_{k}}=+Ze>0</math>
-am Ort
-<math>{{\bar{r}}_{k}}</math>
-'''Merke:'''
-Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler Darstellungen der Maxwellgleichungen
-Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes
-<math>{{\bar{E}}_{el.}}\left( {\bar{r}} \right)</math>
-der Elektronen nach außen:
-Gauß- Gesetz
-<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)</math>
-Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen
-Wichtig ! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber ! Betrachtung des elektrischen Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig , aber hier homogen verteilt !-> einfache Integration.
-Auswertung liefert
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V(r\acute{\ })}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V(r\acute{\ })}^{{}}{{}}\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\
-& \Rightarrow 4r{{\acute{\ }}^{2}}\pi {{\varepsilon }_{0}}\left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\
-& \Rightarrow \left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r\acute{\ }}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}Q \\
-\end{align}</math>
-Natürlich nur für
-<math>r\acute{\ }\le R</math>
-setzt man
-<math>\bar{r}\acute{\ }=\bar{r}-{{\bar{r}}_{e}}</math>
-, wobei
-<math>{{\bar{r}}_{e}}</math>
-das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,
-so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis
-<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}</math>
-und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:
-<math>{{\bar{F}}_{K}}={{Q}_{K}}\bar{E}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}{{Q}_{k}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)</math>
-wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:
-<math>{{\bar{F}}_{e}}=-{{\bar{F}}_{K}}</math>
-Aufstellen der Bewegungsgleichungen ( inklusive einem äußeren Feld
-<math>{{\bar{E}}_{a}}</math>
-):
-<math>\begin{align}
-& {{m}_{K}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}={{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\
-& Z{{m}_{e}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-{{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)-Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\
-\end{align}</math>
-Also folgt für die Relativbewegung:
-<math>\bar{r}={{\bar{r}}_{k}}-{{\bar{r}}_{e}}</math>
-als relativer Abstand
-<math>\begin{align}
-& \ddot{\bar{r}}={{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}-{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{K}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{Ze}{{{m}_{K}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{e}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
-& =-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right){{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
-& \left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\approx \frac{1}{Z{{m}_{e}}} \\
-& \left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)=\bar{r} \\
-& \Rightarrow \ddot{\bar{r}}=-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}\bar{r}+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
-& \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\
-& \Rightarrow \ddot{\bar{r}}+{{\omega }_{0}}^{2}\bar{r}=\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
-\end{align}</math>
-Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial ! was wir schon an der Bestimmung des Potenzials sofort hätten sehen können !
-Jedenfalls im stationären Zustand gilt:
-<math>\bar{r}=\frac{e}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{\bar{E}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)</math>
-( Dynamik mit Dämpfung)
-<math>\Rightarrow {{\chi }_{e}}\left( \omega  \right)</math>
-Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des elektrischen Dipolmoments:
-<math>\begin{align}
-& \bar{p}=Ze\bar{r}=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\alpha {{{\bar{E}}}_{a}} \\
-& \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}} \\
-& \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\
-& \Rightarrow \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}=4\pi {{R}^{3}}=3{{V}_{Atom}} \\
-\end{align}</math>
-Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter.
-Entsprechend:
-<math>\begin{align}
-& \bar{p}=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }+Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\
-& Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=Ze\bar{r} \\
-& \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }=-\frac{Ze}{\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ } \\
-& \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }=0 \\
-\end{align}</math>
-wegen Symmetrie
-<math>\bar{p}=Ze\bar{r}</math>
-makroskopisch gemittelte Energiedichte:
-<math>\bar{P}=n\bar{p}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{\bar{E}}_{a}}</math>
-mit der mittleren Atomdichte n
-<u>'''Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:'''</u>
-Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:
-<u>'''Gedankenexperiment'''</u>
-<u>Feld einer homogenen polarisierten Kugel:</u>
-Ansatz: homogen geladene Kugel:
-<math>{{\bar{E}}_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
-\frac{{\bar{r}}}{{{a}^{3}}}r\le a  \\
-\frac{{\bar{r}}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
-\end{matrix} \right.</math>
-Also:
-<math>{{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
-c-\frac{{{{\bar{r}}}^{2}}}{2{{a}^{3}}}r\le a  \\
-\frac{1}{r}r\ge a  \\
-\end{matrix} \right.</math>
-Bestimmung der Integrationskonstanten:
-<math>\begin{matrix}
-\lim   \\
-\varepsilon ->0  \\
-\end{matrix}{{\Phi }_{0}}\left( a-\varepsilon  \right)={{\Phi }_{0}}\left( a+\varepsilon  \right)\Rightarrow c=\frac{3}{2a}</math>
-<u>'''die homogen polarisierte Kugel'''</u>
-Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro annehmen.
-Dann: ro -> 0
-Bilde:
-<math>\begin{align}
-& {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)={{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}-\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right)-{{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}+\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right) \\
-& \approx -{{{\bar{r}}}_{0}}\nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right) \\
-& \nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=-{{{\bar{E}}}_{0}} \\
-& \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
-\frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a  \\
-\frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
-\end{matrix} \right.=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
-\frac{\bar{p}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a  \\
-\frac{\bar{p}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
-\end{matrix} \right. \\
-& \bar{p}:=Q{{{\bar{r}}}_{0}} \\
-\end{align}</math>
-Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.
-Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung verschwindet.
-Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation ( eigentlich Dipoldichte) umschreiben:
-<math>\begin{align}
-& \bar{P}=\frac{{\bar{p}}}{\frac{4}{3}{{a}^{3}}\pi } \\
-& \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
-\frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a  \\
-\frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
-\end{matrix} \right.=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
-\frac{\bar{P}\bar{r}}{3}r\le a  \\
-\bar{P}\bar{r}\frac{{{a}^{3}}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
-\end{matrix} \right. \\
-\end{align}</math>
-Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.
-<math>{{\bar{E}}_{Kugel}}=-\nabla \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\frac{{\bar{P}}}{3}r\le a</math>
-für das elektrische Feld im Inneren der Kugel ( homogen polarisiert).
-<u>'''Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:'''</u>
-das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden.
-Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel.
-Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld
-Das Lokalfeld  im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen herausgeschnitten wurde:
-<math>{{\bar{E}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}-{{\bar{E}}_{KUgel}}</math>
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right):Lokalfeld \\
-& \bar{E}:makroskopisch \\
-& {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \\
-\end{align}</math>
-Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"
-weil
-<math>{{\bar{E}}_{a}}+{{\bar{E}}_{Kugel}}=\bar{E}</math>
-sein muss
-Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel ( wieder in den Hohlraum eingesetzt) ergibt das mittlere makroskopische Feld !
-'''Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:'''
-<math>\begin{align}
-& \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{{\bar{E}}}_{a}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha \left( \bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \right) \\
-& \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E} \\
-& \Rightarrow {{\chi }_{e}}=\frac{n\alpha }{1-\frac{1}{3}n\alpha } \\
-& n\alpha =\frac{{{\chi }_{e}}}{1+\frac{1}{3}{{\chi }_{e}}}=\frac{\varepsilon -1}{1+\frac{\varepsilon -1}{3}}=3\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon +2} \\
-\end{align}</math>
-Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel
-<u>'''5.6 Wellenausbreitung in Materie'''</u>
-Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern
-<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
-:
-<math>\begin{align}
-& \bar{D}=\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\quad \varepsilon >1 \\
-& \bar{B}={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}\quad i.a.\mu \tilde{\ }1 \\
-& \bar{j}=\sigma \bar{E} \\
-\end{align}</math>
-( ohmsches Gesetz)
-<u>'''Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:'''</u>
-<u>'''Das heißt:'''</u>
-<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
-nicht frequenzabhängig !
-Sei
-<math>\begin{align}
-& \rho =0 \\
-& \nabla \times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
-& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}={{\mu }_{0}}\mu \bar{j}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \bar{E} \\
-& \nabla \cdot \bar{E}=0 \\
-& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
-& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{E} \right)-\Delta \bar{E}=-\Delta \bar{E}=-\nabla \times \dot{\bar{B}}=-{{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
-&  \\
-& \Delta \bar{E}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}+{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
-\end{align}</math>
-Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle
-<math>\begin{align}
-& \Delta \bar{E}-\frac{1}{{{c}_{m}}^{2}}\left( \frac{\sigma }{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\dot{\bar{E}}+\ddot{\bar{E}} \right)=0 \\
-& {{c}_{m}}:=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\mu {{\mu }_{0}}}}=c\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu }} \\
-\end{align}</math>
-Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung !
-<u>'''Spezielle Lösung dieses Problems:'''</u>
-<u>homogene, ebene Welle:</u>
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-& \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \mu \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
-\end{align}</math>
-Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter
-Durch die Dämpfung
-<math>\sigma </math>
-ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.
-<math>k\in C</math>
-Setze:
-<math>k=\frac{\omega }{c}\tilde{n}=\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma  \right)</math>
-mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit
-<math>\tilde{n}=\left( n+i\gamma  \right)</math>
-komplexer Brechungsindex !
-Somit:
-<math>{{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}{{\tilde{n}}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma  \right)=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right)</math>
-Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:
-<math>\begin{align}
-& {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}=\varepsilon \mu  \\
-& n\gamma =\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau } \\
-\end{align}</math>
-* Bestimmung von
-* <math>n,\gamma </math>
-* :
-o.B.d.A.:
-<math>\bar{k}||{{\bar{x}}_{3}}</math>
-:
-Ausschreiben der Welle:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-& \bar{E}({{{\bar{x}}}_{3}},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{-\frac{{{x}_{3}}}{\lambda }}}{{e}^{-i\omega \left( t-\frac{n}{c}{{x}_{3}} \right)}} \\
-\end{align}</math>
-Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit
-<math>\frac{c}{n}</math>
-und dem Extinktionskoeffizienten
-<math>\lambda =\frac{c}{\omega \gamma }</math>
-'''Lineare Polarisation:'''
-<math>{{\bar{E}}_{0}}||{{\bar{x}}_{1}}\Rightarrow {{\bar{B}}_{0}}||{{\bar{x}}_{2}}</math>
-<math>\begin{align}
-& {{\left( \nabla \times \bar{E} \right)}_{2}}=\frac{\partial {{E}_{1}}}{\partial {{x}_{3}}}=-{{{\dot{B}}}_{2}} \\
-& \Leftrightarrow i\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma  \right){{E}_{1}}=i\omega {{B}_{2}} \\
-& \Leftrightarrow {{B}_{2}}=\frac{\left( n+i\gamma  \right)}{c}{{E}_{1}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}{c}{{e}^{i\phi }}{{E}_{1}} \\
-\end{align}</math>
-Somit existiert eine Phasenverschiebung
-<math>\phi </math>
-zwischen E und B
-<u>'''Der Isolator'''</u>
-<math>\begin{align}
-& \sigma =0 \\
-& \tau \to \infty  \\
-\end{align}</math>
-Folgen:
-<math>\gamma =0</math>
-keine Dämpfung
-<math>\phi </math>
-=0  keine Phasenverschiebung zwischen E und B
-* kommt erst durch die Dämpfung !
-* i m Isolator schwingen E und B in Phase !
-reeller Brechungsindex:
-<math>n=\sqrt{\varepsilon \mu }\approx \sqrt{\varepsilon }>1</math>
-* Phasengeschwindigkeit :
-* <math>\frac{c}{n}<c</math>
-*
-Nebenbemerkung:
-Nur OHNE DISPERSION  ist
-<math>\varepsilon </math>
-reell
-<u>'''Metalle'''</u>
-<math>\tau =\frac{{{\varepsilon }_{0}}\varepsilon }{\sigma }<<\frac{1}{\omega }</math>
-für alle Frequenzen bis UV
-Somit:
-<math>\begin{align}
-& {{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma  \right)\approx \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \frac{i}{\omega \tau } \\
-& \Rightarrow {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\approx 0 \\
-& n\gamma \approx {{n}^{2}}\approx {{\gamma }^{2}}\approx \frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }\Rightarrow n=\gamma =\sqrt{\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }} \\
-& \tan \phi =\frac{\gamma }{n}\approx 1\Rightarrow \phi \approx \frac{\pi }{4} \\
-\end{align}</math>
-Extinktionskoeffizient
-<math>d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm</math>
-für 100 Hz
-( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)
-<u>'''Dielektrische Dispersion'''</u>
-Annahme:
-<math>\mu =1</math>
-Betrachte nun zeitliche Dispersion, also
-<math>\begin{align}
-& \hat{\chi }\left( \omega  \right): \\
-& \hat{\bar{P}}\left( \omega  \right)={{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega  \right)\hat{\bar{E}}\left( \omega  \right) \\
-\end{align}</math>
-mit:
-<math>\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}}</math>
-dynamische elektrische Suszeptibilität
-'''Fourier- Trafo:'''
-<math>\begin{align}
-& \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \hat{\bar{P}}\left( \bar{r},\omega  \right){{e}^{-i\omega t}} \\
-& \hat{\bar{E}}\left( \bar{r},\omega  \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\bar{E}\left( \bar{r},t \right){{e}^{+i\omega t}} \\
-& \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega  \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}} \\
-\end{align}</math>
-Betrachte:
-<math>\begin{align}
-& \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega  \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }{{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}:=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\chi \left( t-t\acute{\ } \right) \\
-& \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega  \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{t}{{}}dt\acute{\ }\chi \left( t-t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right) \\
-\end{align}</math>
-Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral -> Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.
-'''Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:'''
-<math>\begin{align}
-& \chi \left( t-t\acute{\ } \right)=0 \\
-& f\ddot{u}r \\
-& t\acute{\ }>t \\
-\end{align}</math>
-Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes
-<math>\hat{\chi }\left( \omega  \right)\in C</math>
-* Komplexe dielektrische Funktion:
-<math>\begin{align}
-& \varepsilon \left( \omega  \right)=1+\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right) \\
-& \varepsilon \acute{\ },\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\in R \\
-\end{align}</math>
-Aus:
-<math>\begin{align}
-& \varepsilon \left( \omega  \right)=1+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}} \\
-& \Rightarrow \varepsilon *(\omega )=\varepsilon (-\omega ) \\
-& \varepsilon \acute{\ }(\omega )=\varepsilon \acute{\ }(-\omega ) \\
-& \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(\omega )=-\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(-\omega ) \\
-\end{align}</math>
-Monochromatische ebene Welle:
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-& \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega  \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
-\end{align}</math>
-'''Isolator ( dispersives Dielektrikum)'''
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-& \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega  \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{align}
-& \tilde{n}\left( \omega  \right)=n\left( \omega  \right)+i\gamma \left( \omega  \right) \\
-& \tilde{n}{{\left( \omega  \right)}^{2}}=\varepsilon \left( \omega  \right)\equiv \varepsilon \acute{\ }+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ } \\
-& \varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)={{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}} \\
-& \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right)=2n\gamma  \\
-& \Rightarrow \left. \begin{matrix}
-\gamma   \\
-n  \\
-\end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}} \\
-\end{align}</math>
-Dabei
-<math>\left. \begin{matrix}
-\gamma   \\
-n  \\
-\end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
-Als Absorptionskoeffizient
-<math>\gamma </math>
-( reeller Brechungsindex n)
-'''Absorption'''
-<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }=0\Rightarrow \gamma =0,n=\sqrt{\varepsilon \acute{\ }}</math>
-Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon
-Also: für
-<math>\varepsilon \acute{\ }>0</math>
--> ungedämpfte Welle
-<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math>
-* in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation).
-Der Frequenzbereich mit
-<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }</math>
-heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption).
-'''Dispersion'''
-<math>\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )</math>
-nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !)
-* Definition der Gruppengeschwindigkeit:
-<math>\begin{align}
-& {{v}_{g}}:=\frac{d\omega }{dk\acute{\ }}=\frac{1}{\frac{dk\acute{\ }}{d\omega }}=\frac{c}{\frac{d\left( \omega n \right)}{d\omega }} \\
-& {{v}_{g}}=\frac{c}{n+\omega \frac{dn}{d\omega }}\ne \frac{c}{n\left( \omega  \right)}={{v}_{ph.}} \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):'''</u>
-<u>'''Normale Dispersion'''</u>
-<math>\frac{dn}{d\omega }>0</math>
-Stets im Transparenzgebiet, also wenn
-<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\tilde{\ }0</math>
-<math>{{v}_{g}}<{{v}_{ph.}}</math>
-'''Anormale Dispersion'''
-<math>\frac{dn}{d\omega }<0</math>
-bei Absorption !
-<u>'''Beziehung zwischen'''</u>
-<math>\varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)</math>
-und
-<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right)</math>
-<u>'''Kramers- Kronig- Relation'''</u>
-* Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen  Dispersion
-* <math>n\left( \omega  \right)</math>
-* und Absorption
-* <math>\gamma \left( \omega  \right)</math>
-* .
-* erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
-* Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip !
-<u>'''Beweis ( Funktionenthorie)'''</u>
-Für kausale Funktion gilt:
-<math>\begin{align}
-& \chi \left( t \right)=\Theta \left( t \right)\chi \left( t \right) \\
-& \Theta \left( t \right)=\left\{ \begin{matrix}
-\begin{align}
-& 0t<0 \\
-& 1t\ge 0 \\
-\end{align}  \\
-{}  \\
-\end{matrix} \right. \\
-\end{align}</math>
-Heavyside
-'''Fourier- Trafo:'''
-<math>\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{{}}^{{}}{{}}d\omega \acute{\ }\Theta \left( \omega -\omega \acute{\ } \right)\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
-<math>\begin{align}
-& \hat{\Theta }\left( \omega  \right):=\begin{matrix}
-\lim   \\
-\sigma ->0+  \\
-\end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{dt{{e}^{i\omega t-\sigma t}}}=\begin{matrix}
-\lim   \\
-\sigma ->0+  \\
-\end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{i\omega -\sigma } \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor
-<math>\sigma </math>
-:
-Also:
-<math>\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
-\lim   \\
-\sigma ->0+  \\
-\end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
-'''Der Integrand hat einen Pol für'''
-<math>\omega \acute{\ }=\omega +i\sigma </math>
-Also:
-'''Äquivalenter Integrationsweg:'''
-'''Zerlegung:'''
-<math>\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=\begin{matrix}
-\lim   \\
-\varepsilon ->{{0}^{+}}  \\
-\end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
-Man sagt:
-<math>\begin{matrix}
-\lim   \\
-\varepsilon ->{{0}^{+}}  \\
-\end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
-= Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle !
-<math>\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
-Integral längs des Halbkreis mit Radius
-<math>\varepsilon </math>
-um den Pol !
-<math>\begin{align}
-& \int\limits_{Kreisbogen}{{}}ds\frac{f(s)}{s}=f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s} \\
-& s=\varepsilon {{e}^{i\phi }}\Rightarrow ds=isd\phi  \\
-& f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s}=f(0)i\int\limits_{0}^{\pi }{{}}d\phi =i\pi f(0) \\
-\end{align}</math>
-sogenanntes " Halbes Residuum!"
-Also:
-<math>\begin{align}
-& \hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
-\lim   \\
-\sigma ->0+  \\
-\end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
-& =\frac{1}{2\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\frac{1}{2}\hat{\chi }\left( \omega  \right) \\
-& \Rightarrow \hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
-\end{align}</math>
-Nun: Zerlegung in Re und Im mit
-<math>\begin{align}
-& \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)-1 \\
-& \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right) \\
-\end{align}</math>
-Also:
-<math>\begin{align}
-& \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)-1=\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
-& \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right)=-\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\left( \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right)-1 \right) \\
-\end{align}</math>
-Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft  Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander !
-Titchmask- Theorem:
-<math>\hat{\chi }\left( z \right)</math>
-sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene
-Somit:
-<math>\hat{\chi }\left( z \right)\to 0</math>
-für
-<math>\operatorname{Im}z\to \infty </math>
-<u>'''Brechung und Reflexion'''</u>
-Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:
-Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien
-Transparent ->
-<math>{{\varepsilon }_{i}}\in R</math>
-<math>\begin{align}
-& \frac{\omega }{{{c}_{1}}}=\left| {\bar{k}} \right|=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }}{{{c}_{1}}} \\
-& \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }\acute{\ }}{{{c}_{2}}} \\
-& {{c}_{i}}=\frac{c}{{{n}_{i}}}=\frac{c}{\sqrt{{{\varepsilon }_{i}}}}\quad i=1,2 \\
-& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
-\end{align}</math>
-Einfallende Welle:
-<math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}}</math>
-Reflektierte Welle:
-<math>\bar{E}\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }t \right)}}</math>
-Transmittierte Welle:
-<math>\bar{E}\acute{\ }\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }\acute{\ }t \right)}}</math>
-<u>'''Grenzbedingungen für'''</u>
-<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
-. Annahme: linear polarisiert:
-<math>{{\left. {{E}_{1}}+{{E}_{1}}\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}={{\left. {{E}_{1}}\acute{\ }\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}</math>
--> Stetigkeit der Tangenzialkomponenten
-Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:
-Betrachte Situation für r=0
-<math>\begin{align}
-& {{{\bar{E}}}_{01}}{{e}^{i\omega t}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }t}}={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }\acute{\ }t}} \\
-& \Rightarrow \omega =\omega \acute{\ }=\omega \acute{\ }\acute{\ } \\
-& {{{\bar{E}}}_{01}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ } \\
-\end{align}</math>
-Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen.
-Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren ( Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:
-Betrachte für t=0
-<math>{{E}_{01}}{{e}^{i{{k}_{1}}{{x}_{1}}}}+{{E}_{01}}\acute{\ }{{e}^{ik{{\acute{\ }}_{1}}{{x}_{1}}}}={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i{{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }{{x}_{1}}}}</math>
-Also:
-<math>{{k}_{1}}={{k}_{1}}\acute{\ }={{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
-Aber: ( Siehe Skizze) ! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also:
-muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:
-<math>\begin{align}
-& \left| {\bar{k}} \right|\sin \gamma =\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
-& \left| {\bar{k}} \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\
-& \left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\
-& \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{2}}} \\
-\end{align}</math>
-Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:
-<math>\begin{align}
-& \sin \gamma =\sin \gamma \acute{\ } \\
-& \frac{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\sin \gamma }=\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}=\frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}} \\
-\end{align}</math>
-Reflexions- und Brechungsgesetz
-<u>'''Bestimmung der Amplituden:'''</u>
-# <u>'''Polarisation von E in der Einfallsebene'''</u>
-Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden -> Nur Tangentialkomponenten:
-<math>\begin{align}
-& {{E}_{01}}={{E}_{01}}\acute{\ }={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
-& {{E}_{03}}={{E}_{03}}\acute{\ }={{E}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
-\end{align}</math>
-Für die Tangentialkomp.:
-<math>{{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ }={{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
-Mit
-<math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{c}{\omega }\bar{k}\times {{\bar{E}}_{0}}=\frac{c}{\omega }{{E}_{02}}\left( \begin{matrix}
--{{k}_{3}}  \\
-  \\
-{{k}_{1}}  \\
-\end{matrix} \right)</math>
-Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:
-<math>{{B}_{01}}+{{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }\Rightarrow {{k}_{3}}{{E}_{02}}+{{k}_{3}}\acute{\ }E{{\acute{\ }}_{02}}={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }{{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
-mit dem Reflexionsgesetz.
-<math>{{k}_{3}}=-{{k}_{3}}\acute{\ }</math>
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow {{k}_{3}}\left( {{E}_{02}}-E{{\acute{\ }}_{02}} \right)={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }\left( {{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ } \right) \\
-& \Rightarrow \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{{{k}_{3}}-{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\
-& \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\
-\end{align}</math>
-Man muss nun  nur
-<math>{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
-über den Brechungswinkel
-<math>\gamma \acute{\ }\acute{\ }</math>
-ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:
-<math>\begin{align}
-& {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
-& \frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}=\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }} \\
-& \Rightarrow {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
-& {{k}_{3}}=\left| {\bar{k}} \right|\cos \gamma  \\
-\end{align}</math>
-Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln ( Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:
-Also:
-<math>\begin{align}
-& \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}=\frac{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)}{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)} \\
-& \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)} \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Intensitätsverhältnisse:'''</u>
-<u>'''betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:'''</u>
-<math>\left\langle {\bar{S}} \right\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{}}dt\left( \bar{E}\times \bar{H} \right)</math>
-'''Reflexionskoeffizient: ( bei senkrechter Polarisation)'''
-<math>\begin{align}
-& {{R}_{\bot }}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)}{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)} \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-Transmissionskoeffizient ( bei senkrechter Polarisation)
-<math>{{T}_{\bot }}={{\left| \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{4{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right){{\cos }^{2}}\gamma }{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)}=1-{{R}_{\bot }}</math>
-# <u>'''Polarisation von'''</u>
-# <math>\bar{E}||</math>
-# Einfallsebene:
-<u>'''Dadurch:'''</u>
-<math>\bar{B}\bot </math>
-Einfallsebene
-* Analoge Argumentation:
-<math>\begin{align}
-& {{B}_{01}}={{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
-& {{B}_{03}}={{B}_{03}}\acute{\ }={{B}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
-& {{B}_{02}}+{{B}_{02}}\acute{\ }={{B}_{02}}\acute{\ }\acute{\ } \\
-\end{align}</math>
-usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse  in Abhängigkeit von k -> wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen.
-k durch Zwischenwinkel ausdrücken:
-Zur Übung berechnen, es ergibt sich:
-<math>\begin{align}
-& \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)}{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)} \\
-& \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)\cos \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)} \\
-\end{align}</math>
-Ebenso:
-<math>\begin{align}
-& {{R}_{||}}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)}{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)}=1-{{T}_{||}} \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-'''Bemerkung'''
-Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall
-<math>\begin{align}
-& \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2} \\
-& ->\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)\to \infty  \\
-& {{R}_{||}}=0 \\
-\end{align}</math>
-In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert ( senkrecht zur Einfallsebene)
-* Dies ist der Brewsterwinkel:
-*
-* <math>\begin{align}
-*   & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2}->\gamma =\left( {{\gamma }_{Brew}} \right) \\
-*  & \tan {{\gamma }_{B}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\
-* \end{align}</math>
-*
-'''Totalreflexion'''
-'''Sei'''
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\
-& \sin {{\gamma }_{G}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\
-\end{align}</math>
-Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher !
-Grenzwinkel der Totalreflexion ->
-<math>\gamma \acute{\ }\acute{\ }=\frac{\pi }{2}</math>
-<math>\begin{align}
-& {{R}_{\bot }}={{R}_{||}}=1 \\
-& {{T}_{\bot }}={{T}_{||}}=0 \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\
-& \gamma >{{\gamma }_{G}}\Rightarrow  \\
-\end{align}</math>
-<math>k\acute{\ }\acute{\ }</math>
-wird imaginär -> es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein !
-<u>'''6. Relativistische Formulierung der Elektrodynamik'''</u>
-<u>'''6.1 Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie'''</u>
-Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
-Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
-Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
-* Kugelwellen sind
-* -> Lorentz- Invariant, also:
-*
-* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>
-*
-Für Lorentz- Transformationen !
-<u>'''Formalisierung:'''</u>
-<u>'''Der Raumzeitliche Abstand als'''</u>
-<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>
-Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
-<math>\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }</math>
-Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
-Dann schreibt man
-<math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>
-als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der '''linearen orthogonalen '''Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:
-In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
-<u>'''kontravariante Komponenten:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& {{x}^{i}} \\
-& {{x}^{1}}:=ct \\
-& {{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \\
-\end{align}</math>
-als Komponenten des Ortsvektors
-<math>\bar{r}</math>
-:
-<u>'''kovariante Komponenten'''</u>
-<math>\begin{align}
-& {{x}_{i}}: \\
-& {{x}_{0}}:=ct \\
-& {{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\
-\end{align}</math>
-kovarianter Vektor
-<math>\in \tilde{V}</math>
-, dualer Vektorraum zu V !
-Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
-->
-<math>\in \tilde{V}</math>
-als Raum der linearen Funktionale l:
-<math>V\to R</math>
-Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !
-Schreibe
-<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>
-Mit: Summenkonvention !
-über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !
-<u>'''Physikalische Anwendung'''</u>
-Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
-<math>{{a}^{i}}{{a}_{i}}</math>
-schreiben !
-'''Beispiel: dÁlemebert- Operator:'''
-<math>\#=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>
-<u>'''Vierergeschwindigkeit'''</u>
-<math>\begin{align}
-& {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{{\left( ds \right)}^{2}}}=1 \\
-& mit \\
-& ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}dt}}=\frac{c}{\gamma }dt \\
-& \Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma  \\
-& {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }} \\
-& {{v}^{\alpha }}:=\frac{d{{x}^{\alpha }}}{dt} \\
-& \beta :=\frac{v}{c} \\
-& \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\
-\end{align}</math>
-'''Physikalische Interpretation'''
-<math>\begin{align}
-& {{u}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\
-& d\tau =\frac{dt}{\gamma } \\
-\end{align}</math>
-'''Viererimpuls'''
-<math>{{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}</math>
-mit der Ruhemasse  m0
-Also:
-<math>\begin{align}
-& {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}} \\
-& {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\
-& \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\
-& {{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c} \\
-& {{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }} \\
-& {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}} \\
-\end{align}</math>
-Mit der Energie
-<math>E=m(v){{c}^{2}}</math>
-'''Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:'''
-<math>\begin{align}
-& {{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}} \\
-& {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\
-& {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\
-& {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Der metrische Tensor'''</u>
-<math>{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left. \left\{ \begin{matrix}
-{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0  \\
--{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3  \\
-\end{matrix} \right. \right\}={{g}_{ik}}</math>
-<math>{{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left( \begin{matrix}
-& 0 & 0 & 0  \\
-& -1 & 0 & 0  \\
-& 0 & -1 & 0  \\
-& 0 & 0 & -1  \\
-\end{matrix} \right)</math>
-Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:
-<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}</math>
-Wichtig fürs Skalarprodukt:
-<math>d{{s}^{2}}={{g}^{ik}}d{{x}_{i}}d{{x}_{k}}={{g}_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}</math>
-<u>Lorentz- Trafo</u>
-zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo
-die Lorentz- Transformation für
-<math>\begin{align}
-& \left( {{x}^{0}}\begin{matrix}
-, & {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}}  \\
-\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
-ct, & x, & y, & z  \\
-\end{matrix} \right) \\
-& d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}} \\
-\end{align}</math>
-Nämlich:
-<math>\begin{align}
-& \left( \begin{matrix}
-{{x}_{0}}\acute{\ }  \\
-{{x}_{1}}\acute{\ }  \\
-{{x}_{2}}\acute{\ }  \\
-{{x}_{3}}\acute{\ }  \\
-\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
-\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
-& 0 & 1 & 0  \\
-& 0 & 0 & 1  \\
-\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
-{{x}_{0}}  \\
-{{x}_{1}}  \\
-{{x}_{2}}  \\
-{{x}_{3}}  \\
-\end{matrix} \right) \\
-& x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\
-\end{align}</math>
-Mit
-<math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
-\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
-& 0 & 1 & 0  \\
-& 0 & 0 & 1  \\
-\end{matrix} \right)</math>
-für
-<math>v||{{x}_{1}}</math>
-Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):
-U ist orthogonale Trafo:
-<math>\begin{align}
-& {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l} \\
-& \Rightarrow a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\
-\end{align}</math>
-Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
-Bzw.
-Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !
-Umkehr- Transformation:
-<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>
-<u>'''6.2 Transformationsverhalten der Ströme und Felder'''</u>
-<u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u>
-Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!
-Historisch gab die  Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !
-'''Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:'''
-<math>\begin{align}
-& div\bar{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {{j}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{j}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{j}_{z}}}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0 \\
-& 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum\limits_{\alpha =1}^{3}{{}}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }} \\
-\end{align}</math>
-Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich
-<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
-in Viererschreibweise.
-Die Vierer- Stromdichte ist
-<math>\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}</math>
-ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte.
-Die Kontinuitätsgleichung ist gleich
-<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
-'''Forderung:'''
-Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !
-->
-<math>{{j}^{\mu }}=0</math>
-muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit  das Skalarprodukt
-<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
-Lorentz- invariant ist !:
-<math>\begin{align}
-& {{x}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}} \right)\Leftrightarrow t\acute{\ }=\gamma \left( t-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{x}^{1}} \right) \\
-& {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-vt \right) \\
-& {{x}^{2}}\acute{\ }={{x}^{2}} \\
-& {{x}^{3}}\acute{\ }={{x}^{3}} \\
-\end{align}</math>
-Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:
-<math>\begin{align}
-& {{j}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}} \right)\Leftrightarrow \rho \acute{\ }=\gamma \left( \rho -\frac{v}{{{c}^{2}}}{{j}^{1}} \right) \\
-& {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-v\rho  \right) \\
-& {{j}^{2}}\acute{\ }={{j}^{2}} \\
-& {{j}^{3}}\acute{\ }={{j}^{3}} \\
-\end{align}</math>
-Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo.
-Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.
-<u>'''4- Potenziale:'''</u>
-<u>Die </u>Potenziale
-<math>\Phi ,\bar{A}</math>
-sind in der Lorentz- Eichung
-<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
-Lösungen von
-<math>\begin{align}
-& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
-& \#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }} \\
-& {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
-& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\alpha }} \\
-& \alpha =1,2,3 \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{align}
-& \Delta \phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho  \\
-& \#\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
-\end{align}</math>
-Zusammen:
-<math>\begin{align}
-& -\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }} \\
-& {{\Phi }^{0}}:=\phi  \\
-& {{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3 \\
-\end{align}</math>
-Da
-<math>{{j}^{\mu }}</math>
-Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch
-<math>{{\Phi }^{\mu }}</math>
-wie ein Vierervektor transformieren.
-Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:
-<math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}</math>
-lorentz- invariant !:
-<math>\begin{align}
-& {{\Phi }^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}} \right)\quad bzw.\quad \Phi \acute{\ }=\gamma \left( \Phi -v{{A}^{1}} \right) \\
-& {{\Phi }^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}} \right)\quad bzw.\quad A{{\acute{\ }}^{1}}=\gamma \left( {{A}^{1}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\Phi  \right),{{A}^{\acute{\ }2}}={{A}^{2}},A{{\acute{\ }}^{3}}={{A}^{3}} \\
-\end{align}</math>
-Nun: Lorentz- Eichung:
-<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
-Lorentz- Eichung <->  Lorentz- Invarianz
-<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
-( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)
-<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
-<u>'''Umeichung:'''</u>
-<math>\begin{align}
-& \tilde{\bar{A}}=\bar{A}+\nabla F \\
-& \tilde{\phi }=\phi -\frac{\partial }{\partial t}F \\
-& \Leftrightarrow  \\
-& c{{{\tilde{A}}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF \\
-& {{{\tilde{\Phi }}}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF \\
-\end{align}</math>
-'''Also:'''
-<math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF</math>
-'''Felder E und B:'''
-<math>\begin{align}
-& \bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A} \\
-& \Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }} \\
-\end{align}</math>
-<math>\begin{align}
-& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
-& \Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}} \\
-\end{align}</math>
-Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:
-<math>\begin{align}
-& c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}} \\
-& c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}} \\
-\end{align}</math>
-Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:
-<math>\begin{align}
-& \left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
-& \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}}  \\
--\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}}  \\
--\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}}  \\
--\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0  \\
-\end{matrix} \right) \\
-& {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
-& -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & -\frac{1}{c}{{E}_{z}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0  \\
-\end{matrix} \right) \\
-& \Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
-& -{{E}^{1}} & -{{E}^{2}} & -{{E}^{3}}  \\
-{{E}^{1}} & 0 & -c{{B}^{3}} & c{{B}^{2}}  \\
-{{E}^{2}} & c{{B}^{3}} & 0 & -c{{B}^{1}}  \\
-{{E}^{3}} & -c{{B}^{2}} & c{{B}^{1}} & 0  \\
-\end{matrix} \right) \\
-\end{align}</math>
-Wegen der Antisymmetrie hat
-<math>{{F}^{\mu \nu }}</math>
-nur 6 unabhängige Komponenten !
-Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen
-<math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
-während die Raum- zeit- Komponenten:
-<math>\bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}</math>
-erfüllen.
-<u>'''Lorentz- Trafo der Felder:'''</u>
-Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation.
-Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit
-<math>\bar{v}</math>
-bewegtes System K´ gilt:
-<math>{{F}_{{}}}{{\acute{\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}</math>
-<math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
-\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
-& 0 & 1 & 0  \\
-& 0 & 0 & 1  \\
-\end{matrix} \right)</math>
-Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder
-<math>\bar{E}</math>
-und
-<math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
-berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!
-<math>\begin{align}
-& E{{\acute{\ }}^{1}}=F{{\acute{\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left( \beta \gamma  \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}= \\
-& ={{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right){{F}^{10}}={{E}^{1}} \\
-& {{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1 \\
-&  \\
-& E{{\acute{\ }}^{2}}=F{{\acute{\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
-\end{align}</math>
-<math>E{{\acute{\ }}^{3}}=F{{\acute{\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right)</math>
-<math>\begin{align}
-& B{{\acute{\ }}^{1}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{32}}=\frac{1}{c}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{F}^{32}}={{B}^{1}} \\
-& B{{\acute{\ }}^{2}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{13}}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-\frac{\beta \gamma }{c}{{F}^{03}}+\frac{\gamma }{c}{{F}^{13}}=\gamma \left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
-\end{align}</math>
-<math>B{{\acute{\ }}^{3}}=\gamma \left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right)</math>
-'''Zusammenfassung'''
-<math>\begin{align}
-& {{E}^{1}}\acute{\ }={{E}^{1}} \\
-& {{E}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
-& {{E}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right) \\
-& {{B}^{1}}\acute{\ }={{B}^{1}} \\
-& {{B}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
-& {{B}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right) \\
-\end{align}</math>
-Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !
-<u>'''Umeichung:'''</u>
-<math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi </math>
-Somit:
-<math>\begin{align}
-& {{{\tilde{F}}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left( {{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi  \right)-{{\partial }^{\nu }}\left( {{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi  \right) \\
-& ={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }} \\
-\end{align}</math>
-<u>'''Homogene Maxwell- Gleichungen'''</u>
-<math>\begin{align}
-& \nabla \cdot \bar{B}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0 \\
-& \Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0 \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-Mit
-<math>\begin{align}
-& {{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}} \\
-& {{F}^{32}}=-{{F}^{23}} \\
-& \Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0 \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-+ zyklisch in (123)
-'''innere Feldgleichung für E- Feld'''
-<math>\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>
-# Komponente
-<math>{{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+\frac{\partial }{\partial t}{{B}^{1}}=0</math>
-<math>\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0</math>
-und zyklisch (023)
-zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit
-<math>{{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}</math>
-liefert:
-<math>\begin{align}
-& \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013) \\
-& \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012) \\
-\end{align}</math>
-'''Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen'''
-<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0</math>
-<math>{{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0</math>
-Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !
-'''Levi- Civita- Tensor:'''
-'''+1 für gerade Permutation von 0123'''
-'''-1 für ungerade Permutation von 0123'''
-'''0, sonst'''
-'''Bemerkungen'''
-# Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).
-#
-# <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
-#  transformiert unter Lorentz- Trafo
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }} \\
-& =\left| \begin{matrix}
-{{U}^{\kappa }}_{0} & {{U}^{\kappa }}_{1} & {{U}^{\kappa }}_{2} & {{U}^{\kappa }}_{3}  \\
-{{U}^{\lambda }}_{0} & {{U}^{\lambda }}_{1} & {{U}^{\lambda }}_{2} & {{U}^{\lambda }}_{3}  \\
-{{U}^{\mu }}_{0} & {{U}^{\mu }}_{1} & {{U}^{\mu }}_{2} & {{U}^{\mu }}_{3}  \\
-{{U}^{\nu }}_{0} & {{U}^{\nu }}_{1} & {{U}^{\nu }}_{2} & {{U}^{\nu }}_{3}  \\
-\end{matrix} \right|=\left( \det U \right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }} \\
-& \left( \det U \right)=\pm 1 \\
-\end{align}</math>
-Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also
-<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
-, muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet
-<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}</math>
-Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !
-Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:
-<math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}</math>
-Mit Pseudovektor
-<math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}</math>
-<u>'''Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum ( Erregungsgleichungen)'''</u>
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho  \\
-& \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}c\rho  \\
-& \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{10}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{20}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{30}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
-& \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
-& wegen{{\partial }_{0}}{{F}^{00}}=0 \\
-& auch{{\partial }_{i}}{{F}^{i0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
-\end{align}</math>
-#
-# <math>\nabla \times \bar{B}-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}={{\mu }_{0}}\left( \nabla \times \bar{H}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \right)={{\mu }_{0}}\bar{j}</math>
-#
-# Komponente
-<math>\begin{align}
-& {{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{E}^{1}} \\
-& {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
-& \Leftrightarrow {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}-.{{\partial }_{3}}{{F}^{13}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}}+.{{\partial }_{0}}{{F}^{10}} \\
-& {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{31}}+{{\partial }_{0}}{{F}^{01}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
-& \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 1}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
-& wegen{{\partial }_{1}}{{F}^{11}}=0 \\
-\end{align}</math>
-Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:
-<math>\begin{align}
-& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
-& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
-\end{align}</math>
-Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !
-'''Bemerkungen'''
-# die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz
-<math>\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
-& \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}}  \\
--\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}}  \\
--\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}}  \\
--\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0  \\
-\end{matrix} \right)</math>
-automatisch erfüllt:
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \\
-& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0, \\
-& da:{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}\quad symmetrisch \\
-& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}\quad antisymmetrisch \\
-& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
-\end{align}</math>
-Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen
-<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
-folgt mit Lorentz- Eichung
-<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
-<math>\begin{align}
-& {{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0 \\
-& also: \\
-\end{align}</math>
-<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
-als inhomogene Wellengleichung
-'''Die Maxwellgleichungen'''
-<math>\begin{align}
-& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
-& {{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }} \\
-\end{align}</math>
-sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
-Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!
-<u>'''Gauß- System:'''</u>
-<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>
-<u>'''Relativistisches Hamiltonprinzip'''</u>
-<u>'''Ziel: '''</u>Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie
-Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht  und wenn man die Ränder bei Variation festhält:
-<math>\begin{align}
-& \delta W=0 \\
-& W=\int_{1}^{2}{{}}ds \\
-\end{align}</math>
-letzteres: Wirkungsintegral
-Wichtig:
-<math>{{\left. \delta {{x}^{i}} \right|}_{1,2}}=0</math>
-Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:
-<math>W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds</math>
-Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld
-<math>\begin{align}
-& \left( {{\phi }^{i}} \right)({{x}^{j}}) \\
-& \Rightarrow  \\
-\end{align}</math>
-<math>W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}} \right\}</math>
-mit den Lorentz- Invarianten
-<math>{{m}_{0}}cds</math>
-und
-<math>{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}}</math>
-'''Variation:'''
-<math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c\delta \left( ds \right)-\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>
-Nun:
-<math>\begin{align}
-& \delta \left( ds \right)=\delta {{\left( d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\frac{\left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}+d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)}{ds} \\
-& \left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}=d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\
-& =\frac{d{{x}^{\mu }}}{ds}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)={{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\
-\end{align}</math>
-Außerdem:
-<math>\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)=\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}+{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)</math>
-Somit:
-<math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>
-Weiter mit partieller Integration:
-<math>\begin{align}
-& \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \\
-& \left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}=0,weil\delta {{x}_{\mu }}_{1}^{2}=0 \\
-& \Rightarrow \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)ds \\
-\end{align}</math>
-Weiter:
-<math>\int_{1}^{2}{{}}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=-\left[ {{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\mu }} \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}d{{\phi }^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)</math>
-Mit
-<math>\begin{align}
-& d{{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}{{u}_{\nu }}ds \\
-& \delta {{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }} \\
-& \delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}d{{x}_{\mu }}=i<->k={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}{{u}_{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}ds \\
-\end{align}</math>
-Einsetzen in
-<math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>
-liefert:
-<math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}</math>
-'''Wegen'''
-<math>\begin{align}
-& \delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}=0 \\
-& {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }}:={{f}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }} \\
-& {{f}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\
-\end{align}</math>
-Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.
-Man setze:
-<math>\begin{align}
-& {{p}^{\mu }}={{m}_{0}}c{{u}^{\mu }} \\
-& {{f}^{\mu \nu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\
-& {{\phi }^{\mu }}=\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }} \\
-& \frac{d}{ds}{{p}^{\mu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }}\Leftrightarrow \delta W=\delta \int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right\}=0 \\
-\end{align}</math>
-Man bestimmt die Ortskomponenten
-<math>\alpha =1,2,3</math>
-über
-<math>\begin{align}
-& \frac{d}{dt}\bar{p}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right) \\
-&  \\
-\end{align}</math>
-überein, denn mit
-<math>\begin{align}
-& {{u}^{0}}=\gamma  \\
-& {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }}=-{{u}_{\alpha }} \\
-\end{align}</math>
-folgt dann:
-<math>\begin{align}
-& \frac{d}{dt}{{p}^{1}}=q\left( {{E}^{1}}+{{v}^{2}}{{B}^{3}}-{{v}^{3}}{{B}^{2}} \right) \\
-& =q\left( {{F}^{10}}+{{F}^{21}}\frac{1}{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{1}{c}{{v}^{3}} \right) \\
-& =\frac{q}{\gamma }\left( {{F}^{10}}\gamma +{{F}^{21}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{3}} \right)=\frac{q}{\gamma }{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }} \\
-\end{align}</math>
-mit
-<math>ds=\frac{c}{\gamma }dt</math>
-:
-<math>\frac{d}{ds}{{p}^{1}}=\frac{q}{c}{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }}</math>
-Die zeitartige Komponente
-<math>\mu =0</math>
-gibt wegen
-<math>{{p}^{0}}=\frac{E}{c}</math>
-:
-<math>\begin{align}
-& \frac{d}{ds}\frac{E}{c}=\frac{\gamma }{{{c}^{2}}}\frac{dE}{dt}=\frac{q}{c}\left( {{F}^{01}}{{u}_{1}}+{{F}^{02}}{{u}_{2}}+{{F}^{03}}{{u}_{3}} \right)= \\
-& =\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( -{{E}^{1}}{{v}_{1}}-{{E}^{2}}{{v}_{2}}-{{E}^{3}}{{v}_{3}} \right)=\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( {{E}^{1}}{{v}^{1}}+{{E}^{2}}{{v}^{2}}+{{E}^{3}}{{v}^{3}} \right) \\
-& \frac{dE}{dt}=q\bar{E}\cdot \bar{v} \\
-\end{align}</math>
-Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit
-<u>'''6.4 Eichinvarianz und Ladungserhaltung'''</u>
-Wirkungsintegral:
-<math>W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}</math>
-Dabei:
-<math>{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds={{W}_{t}}</math>
-( Teilchen)
-<math>-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}={{W}_{tf}}</math>
-( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)
-Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte
-<math>m\left( {{x}^{\mu }} \right)</math>
-:
-Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!
-<math>\begin{align}
-& {{W}_{t}}=-c\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}rm\int_{1}^{2}{{}}ds=-\int_{\Omega }^{{}}{{}}d\Omega m\frac{ds}{dt} \\
-& d\Omega :={{d}^{3}}rcdt=d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}} \\
-\end{align}</math>
-dOmega als Volumenelement  im Minkowski- Raum !!!
-Bemerkungen:
-#
-# <math>d\Omega </math>
-# ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen
-<math>{{U}^{\mu }}_{\nu }</math>
-erhalten bleibt.
-) Aus
-<math>d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega </math>
-folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=
-<math>d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega </math>
-:
-<math>{{m}_{0}}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}\equiv {{g}^{\mu }}</math>
-ein Vier- Vektor ist, da
-<math>d{{m}_{0}},d\Omega </math>
-Lorentz- Skalare sind und natürlich
-<math>d{{x}^{\mu }}</math>
-selbst auch ein Vierervektor
-#
-# <math>{{\mu }^{2}}\frac{d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{{\left( dt \right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)}^{2}}</math>
-# ist Lorentz - Invariant.
-Also
-<math>{{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}</math>
-ist Lorentz- Invariant. Also auch
-<math>\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)</math>
-.
-Somit ist
-<math>{{W}_{t}}</math>
-insgesamt Lorentz- Invariant !
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Elektrodynamik Schöll: Difference between revisions

Revision as of 13:24, 20 August 2010

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