Master Gleichung: Difference between revisions

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<math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math>
<math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math>
mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math>
mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math>
und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math>
und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math>


Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]]
Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]]
<math>
<math>
\dot \rho  =  - \mathfrac{i} \left[ {H,\rho } \right]</math>
\dot \rho  =  - \mathfrak{i} \left[ {H,\rho } \right]</math>


(mit der Lösung  
mit der Lösung


<math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math>
<math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math>
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<math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math>
<math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math>


Dann ist  
Dann ist
<math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho  \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math>
<math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho  \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math>
beweis ende
lösung ende
Die LVN-Gln wird zu
<math>\begin{align}
  & {{d}_{t}}\tilde{\rho }={{d}_{t}}\left( U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}} \right) \\
& =\mathfrak{i}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left( \rho  \right){{U}_{0}} \\
& =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ H,\rho  \right]{{U}_{0}} \\
& =-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ +{{H}_{SB}},\rho  \right]{{U}_{0}} \\
& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{SB}},\tilde{\rho } \right] \\
\end{align}</math>

Revision as of 00:00, 8 September 2009

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators H=HS+HB+HI bestehend aus

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir


Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen HI=SLHI+SRHI+LSHI+RSHI

  • Von Links ins System SLHI
  • Vor Rechts ins System SRHI
  • Vom System nach Links LSHI
  • Vom System nach Rechts RSHI

mit SXHI=k,iXVkXakei und XSHI=k,iXVkXakei

ei erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i. ei vernichtet ...

Transformation ins WW-Bild

Operator ins WWBild

A~(t):=U0AU0 mit U0=exp(iH0t) und H0=HS+HB

Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung ρ˙=i[H,ρ]

mit der Lösung

ρ(t)=Uρ0U

mit U=exp(iHt)

Beweis

tU=iHU

sowie

tU=iHU

Dann ist dtρ=iHUρ0U+Uρ0iHUi[H,ρ]+U(tρ0)U0

beweis ende

lösung ende

Die LVN-Gln wird zu


dtρ~=dt(U0ρU0)=iH0U0ρU0iU0ρH0U0+U0dt(ρ)U0=i[H0,ρ~]iU0[H,ρ]U0=iU0[+HSB,ρ]U0=i[H~SB,ρ~]