Verallgemeinerte kanonische Verteilung: Difference between revisions
Unicodifying |
|||
Line 162: | Line 162: | ||
Normierung: | Normierung: | ||
{{Gln| | |||
<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1\Rightarrow {{e}^{-\Psi }}=\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)\equiv Z</math> | <math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1\Rightarrow {{e}^{-\Psi }}=\sum_i \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)\equiv Z</math>}} | ||
Line 186: | Line 186: | ||
<math>M\left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right)</math> | <math>M\left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right)</math> mikrokanonisch Verteilungsfunktion | ||
Line 201: | Line 200: | ||
Aus | Aus <math>\begin{align} | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)=-\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right) \\ | & \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)=-\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right) \\ | ||
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =-\frac{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( -{{M}_{i}}^{n} \right)\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)}{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)} \\ | & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =-\frac{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( -{{M}_{i}}^{n} \right)\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)}{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)} \\ | ||
Line 218: | Line 214: | ||
<math>\Psi (t)\to \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)</math> | <math>\Psi (t)\to \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)</math> '''Variable''' <math>{{\lambda }_{n}}</math> | ||
<math>{{\lambda }_{n}}</math> | |||
<math>M\to \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}</math> | <math>M\to \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}</math> neue Variable <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | ||
<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | |||
<math>I\left( M \right)\to I=\Psi -{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | <math>I\left( M \right)\to I=\Psi -{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> Legendre- Transformierte von <math>\Psi </math> ! | ||
<math>\Psi </math> | |||
Es folgt: | Es folgt: | ||
Line 257: | Line 245: | ||
Dies ist in der Thermodynamik die Gibbsche Fundamentalgleichung !! | Dies ist in der Thermodynamik die {{FB|Gibbsche Fundamentalgleichung}} !! | ||
Betachte Variation: | Betachte Variation: | ||
Line 315: | Line 303: | ||
negativ semidefinit, für alle | negativ semidefinit, für alle <math>\delta {{\lambda }_{m}}</math> | ||
<math>\delta {{\lambda }_{m}}</math> | |||
Definiere Suszeptibilitätsmatrix: | Definiere {{FB|Suszeptibilitätsmatrix}}: | ||
Line 325: | Line 312: | ||
Diese Matrix beschreibt die Änderung von | Diese Matrix beschreibt die Änderung von <math>\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle </math> bei Variation von <math>{{\lambda }_{n}}</math>: | ||
<math>\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle </math> | |||
bei Variation von | |||
<math>{{\lambda }_{n}}</math> | |||
: | |||
<math>\delta \left\langle {\bar{M}} \right\rangle =\bar{\bar{\eta }}\delta \bar{\lambda }</math> | :<math>\delta \left\langle {\bar{M}} \right\rangle =\bar{\bar{\eta }}\delta \bar{\lambda }</math> | ||
Line 363: | Line 344: | ||
Somit: | Somit: | ||
<math>{{\eta }^{nm}}</math> ist symmetrisch | |||
Aus<math>K\left( P+\delta P,P \right)\ge 0</math> folgt: | |||
:<math>{{\eta }^{mn}}\delta {{\lambda }_{m}}\delta {{\lambda }_{n}}=\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta {{\lambda }_{n}}={{\tilde{\eta }}_{nm}}\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \le 0</math> | |||
<math>{{\eta }^{mn}}\delta {{\lambda }_{m}}\delta {{\lambda }_{n}}=\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta {{\lambda }_{n}}={{\tilde{\eta }}_{nm}}\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \le 0</math> | |||
Line 391: | Line 363: | ||
'''Nebenbemerkung:''' | '''Nebenbemerkung:''' | ||
Also sind | Also sind <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> und <math>-\Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)</math> konvex ! | ||
<math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> | |||
und | |||
<math>-\Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)</math> | |||
konvex ! | |||
== Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix == | == Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix == |
Revision as of 15:32, 11 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Verallgemeinerte kanonische Verteilung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=3}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
Motivation
Makroskopische thermodynamische Zustände sind gegeben durch die Mittelwerte von Mikroobservablen M(x), interpretiert als Zufallsvariable.
Rückschlüsse von auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Methode
Vorurteilsfreie Schätzung ( Jaynes , 1957): (unbiased guess; Prinzip des maximalen Nichtwissens)
- Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund.
- Jetzt: Zusätzlich zur Normierung der Pi sind die Mittelwerte von m Zufallsvariablen:
Annahme:
Jedes Elementarereignis hat gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit , das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse gilt Gleichverteilung über den .
Informationstheoretisches Prinzip
(nach (Jaynes 1922-1998))
Suche die Wahrscheinlichkeitsverteilung , die unter der Erfüllung aller bekannten Angaben als Nebenbedingung die minimale Information enthält:
Nebenbed.:
Es gilt: von den N Variationen sind nur N-m-1 unabhängig voneinander !
Anleitung: Wähle so, dass die Koeffizienten von ´s verschwinden, die übrigen N-(m+1) sind dann frei variierbar !
Somit:
Vorsicht: Auch Summe über (Einsteinsche Summenkonvention!)
: verallgemeinerte kanonische Verteilung |
{{#set:Definition=verallgemeinerte kanonische Verteilung|Index=verallgemeinerte kanonische Verteilung}}
Die Lagrange- Multiplikatoren sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt !
Kontinuierliche Ereignismenge
unter der Nebenbedingung
Durchführung einer Funktionalvariation:
Vergleiche: A. Katz, Principles of Statistial Mechanics
ANMERKUNG Schubotz: Siehe auch [1] |
Eigenschaften der verallgemeinerten kanonischen Verteilung
hier: noch rein informationstheoretisch,
später: wichtige Anwendungen in der Thermodynamik
Legendre- Transformation{{#set:Fachbegriff=Legendre- Transformation|Index=Legendre- Transformation}}:
Aus kann die Bahn noch nicht rekonstruiert werden, jedoch aus
mit t=t(M):
Jedenfalls:
heißt legendre- Transformierte von
.
Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung:
Normierung:
Also gilt:
und sind durch vollständig parametrisiert.
Nebenbemerkung
Die Verteilung bzw. wirkt auf dem Raum der Zufallsvariablen (diskret) bzw. (kontinuierlich).
Beispiel:
mit als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen |
Shannon- Information:
Damit können wir die Legendre- Transformation ( verallgemeinert auf mehrere Variablen) identifizieren:
Legendre- Transformierte von !
Es folgt:
wegen:
Zusammengefasst:
Dies ist in der Thermodynamik die Gibbsche Fundamentalgleichung{{#set:Fachbegriff=Gibbsche Fundamentalgleichung|Index=Gibbsche Fundamentalgleichung}} !!
Betachte Variation:
dann:
Informationsgewinn:
Wir können die variierten Funktionen für kleine Variationen
entwickeln:
Vergleiche oben
also folgt:
Definiere Suszeptibilitätsmatrix{{#set:Fachbegriff=Suszeptibilitätsmatrix|Index=Suszeptibilitätsmatrix}}:
Diese Matrix beschreibt die Änderung von bei Variation von :
bzw.:
In Matrixschreibweise:
Wegen
Also: negativ- semidefinite quadratisceh Form:
Nebenbemerkung:
Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix
ist Korrelationsmatrix ( siehe oben)
2. Kumulante
mit Kumulantenerzeugender
Suszeptibilität !
Also: Die Korrelationsmatrix ist das Negative der Suszeptibilität !!
Also:
Fluktuations/ Dissipations- Theorem:
Fluktuationen: Zufällige Schwankungen um den Mittelwert
Dissipation: Systematische Änderung der Mittelwerte !
Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen
Sei
die Verteilung, die
unter Kenntnis der Nebenbedingungen
minimalisiert ( Vorsicht: Index und Laufende sind ungünstigerweise gleich bezeichnet !)
Jetzt:
Zusatzinformationen ( zusätzliche Mittelwerte beobachtet):
Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung
Suche Minimum des Informationsgewinns
unter dieser Nebenbedingung !!
Also:
mit neuen Lagrange- Multiplikatoren
Mit
folgt:
Da nun die Mittelwerte
nicht durch die Zusatzinfo geändert werden muss gelten:
da diese Mittelwerte nicht durch die Zusatzinfo geändert werden !
Das heißt: Der Informationsgewinn entspricht gerade der Änderung der Shannon- Info !
Siehe auch
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.13 (Kap 5.4.3 S46) {{#set:St7B=5.4.13}}