Verallgemeinerte kanonische Verteilung: Difference between revisions
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:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> | {{Def|:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> '''verallgemeinerte kanonische Verteilung'''|verallgemeinerte kanonische Verteilung}} | ||
Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt ! | Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt ! | ||
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<math>\Psi =\Psi \left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> | <math>\Psi =\Psi \left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> und <math>{{P}_{i}}</math> sind durch <math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> vollständig parametrisiert. | ||
<math>{{P}_{i}}</math> | |||
<math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> | |||
'''Nebenbemerkung''' | '''Nebenbemerkung''' | ||
Die Verteilung | Die Verteilung <math>{{P}_{i}}</math> bzw. <math>\rho \left( x \right)</math> wirkt auf dem Raum der Zufallsvariablen <math>{{M}_{i}}^{n}</math> (diskret) bzw. <math>x\in {{R}^{d}}</math>(kontinuierlich). | ||
<math>{{P}_{i}}</math> | :<math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> sind Parameter. | ||
<math>\rho \left( x \right)</math> | |||
<math>{{M}_{i}}^{n}</math> | |||
<math>x\in {{R}^{d}}</math> | |||
( | |||
<math>\left | :<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> sind Erwartungswerte <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \in R</math> | ||
<math>\left | {{Beispiel|'''Beispiel:''' | ||
<math>x=\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{3N}},{{p}_{1}}....,{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> ( Phasenraumelement) | |||
mit <math>\Gamma </math> als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen | |||
mit | |||
<math>\Gamma </math> | |||
als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen | |||
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<math>\left\langle M\left( x \right) \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right) \right\rangle </math> | <math>\left\langle M\left( x \right) \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right) \right\rangle </math> als mittlere Energie | ||
als mittlere Energie | }} | ||
'''Shannon- Information:''' | '''Shannon- Information:''' | ||
Revision as of 15:03, 11 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Verallgemeinerte kanonische Verteilung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=3}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
Motivation
Makroskopische thermodynamische Zustände sind gegeben durch die Mittelwerte von Mikroobservablen M(x), interpretiert als Zufallsvariable.
Rückschlüsse von auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Methode
Vorurteilsfreie Schätzung ( Jaynes , 1957): (unbiased guess; Prinzip des maximalen Nichtwissens)
- Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund.
- Jetzt: Zusätzlich zur Normierung der Pi sind die Mittelwerte von m Zufallsvariablen:
Annahme:
Jedes Elementarereignis hat gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit , das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse gilt Gleichverteilung über den .
Informationstheoretisches Prinzip
(nach (Jaynes 1922-1998))
Suche die Wahrscheinlichkeitsverteilung , die unter der Erfüllung aller bekannten Angaben als Nebenbedingung die minimale Information enthält:
Nebenbed.:
Es gilt: von den N Variationen sind nur N-m-1 unabhängig voneinander !
Anleitung: Wähle so, dass die Koeffizienten von ´s verschwinden, die übrigen N-(m+1) sind dann frei variierbar !
Somit:
Vorsicht: Auch Summe über (Einsteinsche Summenkonvention!)
: verallgemeinerte kanonische Verteilung |
{{#set:Definition=verallgemeinerte kanonische Verteilung|Index=verallgemeinerte kanonische Verteilung}}
Die Lagrange- Multiplikatoren sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt !
Kontinuierliche Ereignismenge
unter der Nebenbedingung
Durchführung einer Funktionalvariation:
Vergleiche: A. Katz, Principles of Statistial Mechanics
ANMERKUNG Schubotz: Siehe auch [1] |
Eigenschaften der verallgemeinerten kanonischen Verteilung
hier: noch rein informationstheoretisch,
später: wichtige Anwendungen in der Thermodynamik
Legendre- Transformation{{#set:Fachbegriff=Legendre- Transformation|Index=Legendre- Transformation}}:
Aus kann die Bahn noch nicht rekonstruiert werden, jedoch aus
mit t=t(M):
Jedenfalls:
heißt legendre- Transformierte von
.
Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung:
Normierung:
Also gilt:
und sind durch vollständig parametrisiert.
Nebenbemerkung
Die Verteilung bzw. wirkt auf dem Raum der Zufallsvariablen (diskret) bzw. (kontinuierlich).
Beispiel:
mit als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen mikrokanonisch Verteilungsfunktion |
Shannon- Information:
Aus
Damit können wir die Legendre- Transformation ( verallgemeinert auf mehrere Variablen) identifizieren:
Variable
neue Variable
Legendre- Transformierte von
!
Es folgt:
wegen:
Zusammengefasst:
Dies ist in der Thermodynamik die Gibbsche Fundamentalgleichung !!
Betachte Variation:
dann:
Informationsgewinn:
Wir können die variierten Funktionen für kleine Variationen
entwickeln:
Vergleiche oben
also folgt:
Definiere Suszeptibilitätsmatrix:
Diese Matrix beschreibt die Änderung von
bzw.:
In Matrixschreibweise:
Wegen
Somit:
ist symmetrisch
Aus
folgt:
Also: negativ- semidefinite quadratisceh Form:
Nebenbemerkung:
Also sind
und
konvex !
Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix
ist Korrelationsmatrix ( siehe oben)
2. Kumulante
mit Kumulantenerzeugender
Suszeptibilität !
Also: Die Korrelationsmatrix ist das Negative der Suszeptibilität !!
Also:
Fluktuations/ Dissipations- Theorem:
Fluktuationen: Zufällige Schwankungen um den Mittelwert
Dissipation: Systematische Änderung der Mittelwerte !
Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen
Sei
die Verteilung, die
unter Kenntnis der Nebenbedingungen
minimalisiert ( Vorsicht: Index und Laufende sind ungünstigerweise gleich bezeichnet !)
Jetzt:
Zusatzinformationen ( zusätzliche Mittelwerte beobachtet):
Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung
Suche Minimum des Informationsgewinns
unter dieser Nebenbedingung !!
Also:
mit neuen Lagrange- Multiplikatoren
Mit
folgt:
Da nun die Mittelwerte
nicht durch die Zusatzinfo geändert werden muss gelten:
da diese Mittelwerte nicht durch die Zusatzinfo geändert werden !
Das heißt: Der Informationsgewinn entspricht gerade der Änderung der Shannon- Info !
Siehe auch
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.13 (Kap 5.4.3 S46) {{#set:St7B=5.4.13}}