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Bilder in der QM

Schrödinger-Bild

nur Zustände ${|\psi ⟩}_t$ zeitabhängig

Eigenvektoren $|n⟩$ und Operatoren ${\hat{A}}_S$ sind nicht zeitabhängig

zeitentwicklung mit Zeitentwicklungsoperator $\hat{U}=\exp (-\frac{\mathfrak{i}}{\hslash }{\hat{H}}_{s}t)$:

${|\psi ⟩}_t=\hat{U}{|\psi ⟩}_0$

${\hat{A}}_S$ definiert eine symmetrische quadratische From

geometrisch

Zustandsvektor wird um feste Hauptachsen mit Zeitentwicklungsooerator gedreht.

Schrödinger Gleichung

$E|\psi ⟩=H|\psi ⟩$

$E=i\hslash {\partial }_t$

Heisenberg-Bild

Zustände zeitunabhängig ${|\psi ⟩}_t={|\psi ⟩}_0$

Operatoren ${\hat{A}}_W\left(t\right)$ und Eigenvektoren ${|n⟩}_t$ zeitabhängig.

transfomration von Operatoren ins Heisenbergbild

$⟨{\hat{A}}_S⟩={}_t{⟨\psi \left|{\hat{A}}_S\right|\psi ⟩}_t={}_0\underset{0}{⟨\psi \left|\underset{:={\hat{A}}_H}{\underbrace{{\hat{U}}^{+}{\hat{A}}_S\hat{U}}}\right|\psi ⟩}=⟨{\hat{A}}_H⟩$

Hamilton Operator

${\hat{H}}_S={\hat{H}}_H$ folgt aus Bewegungsgleichung

Wechselwirkungsbild

${\hat{H}}_w={\hat{H}}_{0,S}+{\hat{H}}_{1,S}$

${\hat{H}}_1$ ist als Störung zu interpretieren

${\hat{A}}_W={\hat{U}}_0^{+}{\hat{A}}_S{U}_0$ mit ${\hat{U}}_0=\exp (-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}_{0}t)$

${\breve{A}}_W=d_t{\hat{A}}_W=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{A}]$

$\begin{array}{rl}& ⟨{\hat{A}}_S⟩={}_t\underset{t}{⟨\underset{⟨{\psi }_W|}{\underbrace{\psi |{\hat{U}}_0}}\underset{{\hat{A}}_W}{\underbrace{{\hat{U}}_0^{+}{\hat{A}}_S{\hat{U}}_0}}{\hat{U}}_0^{+}|\psi ⟩}={}_W{⟨\psi \left|{\hat{A}}_W\right|\psi ⟩}_W\\ & d_t{|\psi ⟩}_W=\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}_{0,S}{\hat{U}}_0^{+}{|\psi ⟩}_t+{\hat{U}}_0^{+}{\partial }_t{|\psi ⟩}_t\\ & {\partial }_t{|\psi ⟩}_t=\frac{1}{i\hslash }{\hat{H}}_{0,S}{|\psi ⟩}_t=\frac{1}{i\hslash }{\hat{H}}_{0,S}{\hat{U}}_0{|\psi ⟩}_W\\ & \Rightarrow d_t{|\psi ⟩}_W=\frac{1}{\hslash i}(-{\hat{H}}_{0,S}+\underset{{\hat{H}}_W=H_{0,S}+H_{1,S}}{\underbrace{{\hat{U}}_0^{+}{\hat{H}}_{0,S}{\hat{U}}_0}}){|\psi ⟩}_W=\frac{1}{i\hslash }\left({\hat{H}}_W\right){|\psi ⟩}_W\\ & \Rightarrow i\hslash d_t{|\psi ⟩}_W={\hat{H}}_W{|\psi ⟩}_W\\ \end{array}$