Symplektische Struktur

$\underset{\_}{\psi }:=\left(\begin{array}{rl}& \underset{\_}{q}\\ & \underset{\_}{p}\\ \end{array}\right)\}2f$

Vektor der Ableitungen

${\underset{\_}{H}}_{\psi }=\left(\begin{array}{rl}& {\partial }_{q}H\\ & {\partial }_{p}H\\ \end{array}\right)$

Metrik im Phasenraum

$\underset{\_}{\underset{\_}{J}}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right)$

symplektisches Skalarprodukt

$⟨\underset{\_}{x},\underset{\_}{y}⟩={\underset{\_}{x}}^T\underset{\_}{\underset{\_}{J}}\underset{\_}{y}$

Eigenschaften:

• schiefsymmetrisch
• bilinear
• nicht entartet

erzeugende Kanonische Trafo

$M_1(q,Q,t):p={\partial }_q{M}_1,P={\partial }_Q{M}_1\Rightarrow \frac{\partial p_i}{\partial q_k}=\frac{{\partial }^2{M}_1}{\partial Q_k\partial q_i}=-\frac{\partial P_k}{\partial q_i}$

analog

$\begin{array}{rl}& M_2(q,P,t)\\ & M_3(p,Q,t)\\ & M_4(p,P,t)\end{array}$

also Insgesamt

$\underset{\_}{\psi }\underset{M}{\underbrace{\to }}\underset{\_}{\varphi }$

mit 

$\underset{\_}{\varphi }:=\left(\begin{array}{rl}& \underset{\_}{Q}\\ & \underset{\_}{P}\\ \end{array}\right)\}2f$

Eigenschaften der Trafo

$\begin{array}{rl}& M^{-1}=J^{-1}{M}^{T}J\\ & J=M^{T}JM\\ & \det \left(M\right)=1\end{array}$

aus LA folgt

$\begin{array}{rl}& \underset{\_}{\dot{\varphi }}=M^{-1}\underset{\_}{\dot{\psi }}\\ & {\underset{\_}{H}}_{\varphi }=M^T{\underset{\_}{H}}_{\psi }\end{array}$