Hamiltonsches Prinzip

auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt

• Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
• Wirkung (S) wird extrenmal (minimal) $\delta S=0$
• Start und Zielpunkt $(q,t)$ sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
• Zeit wird nicht mitvarieiert $\delta t=0$
• Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
• $\underset{\_}{q}\left(t\right),\underset{\_}{q^{\prime }}\left(t\right)\in C^2$ (2 fach stetig diffb. Funktionen)
• unabhängig von Koordinatenwahl
• Allgemein

$\delta S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\delta T-\delta A)dt=0$ mit $\delta A=\sum _i{\underset{\_}{X}}_i\delta \underset{\_}{r_i}$

spezielle Form

• holonome Zwangsbedingungen → generalisierte Koordinaten
• konservative Kräfte → $L=T-V$

führt zur Wirkung $S\left[q\right]:=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}L(q,\dot{q},t)dt$

Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen

$\begin{array}{rl}\delta S\left[q\right]& =\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\delta L(q,\dot{q},t)dt\\ & =\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}({\partial }_{q}L\delta q+{\partial }_{\dot{q}}L\delta \dot{q})dt\end{array}$ oder $\begin{array}{rl}\delta S\left[q\right]& =S\left[q_0\right]-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)dt\\ & =S\left[q_0\right]-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\underset{=S\left[q_0\right]}{\underbrace{L}}+{\partial }_{q}L\delta q+{\partial }_{\dot{q}}L\delta \dot{q})dt\\ & =-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}({\partial }_{q}L\delta q+{\partial }_{\dot{q}}L\delta \dot{q})dt\end{array}$

mit partieller Integration ($\int u^{\prime }v=uv-\int v^{\prime }u$) mit

$u=\delta q,v={\partial }_{\dot{q}}L$

${\partial }_{\dot{q}}L\delta \dot{q}=d_t\left({\partial }_{\dot{q}}L\delta q\right)-d_t\left({\partial }_{\dot{q}}L\right)\delta q$

$\begin{array}{rl}\delta S\left[q\right]& =-\cancel{{\left[{\partial }_{\dot{q}}L\delta q\right]}_{t_1}^{t_2}}-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}({\partial }_{q}L\delta q-d_t\left({\partial }_{\dot{q}}L\right)\delta q)dt\\ & =\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(d_t{\partial }_{\dot{q}}-{\partial }_q)L\delta qdt\end{array}$

$(d_t{\partial }_{\dot{q}}-{\partial }_q)L=0$