Alpha-Zerfall: Difference between revisions

Revision as of 23:24, 1 June 2011

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Alpha-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 11.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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{{#ask: |format=embedded |Kategorie:Kern- und Strahlungsphysik Kapitel::11 Abschnitt::!0 Urheber::Prof. Dr. P. Zimmermann |order=ASC |sort=Abschnitt |offset=0 |limit=20 }} {{#set:Urheber=Prof. Dr. P. Zimmermann|Inhaltstyp=Script|Kapitel=11|Abschnitt=0}} Kategorie:Kern- und Strahlungsphysik __SHOWFACTBOX__

Warum nicht p, n, d-, sondern α-Zerfall?

Grund: Die hohe Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} E_α = 28 MeV bewirkt, daß diese

Energie besonders für schwere Kerne (ab ca. 200) oft größer ist als die Ablösearbeit von 2 Protonen und 2 Neutronen, so daß $α$ -Zerfall energetisch möglich wird.

Warum nicht spontaner Zerfall in für Kernreaktionen typischen Zeiten von 10^-21 s?

Grund: Coulombbarriere, Tunneleffekt

miniatur|hochkant=3|zentriert

$84208 Po: R [10^{- 15} m] = 1, 2 (\sqrt[3]{204} + \sqrt[3]{4}) = 1, 2 (5, 9 + 1, 6) \approx 9$

$V_{C} [M e V] \approx 1, 5 \frac{2 \times 82}{9} \approx 27$

Tunneleffekt (Gamow): "Überspringen der Barriere wegen Energieunschärferelation $Δ E Δ t \approx ℏ$ ". Vereinfacht mit Rechteckbarriere:

miniatur|hochkant=2

Anpassung der Wellenfunktionen und ihrer Ableitungen an den beiden Sprungstellen ergibt 4 Bestimmungsgleichungen für die 5 Amplituden A, B, C, D, F (A Normierung).

Transmission $T= \frac{| F |^{2}}{| A |^{2}} \underset{Rechnung}{=} {[1 + \frac{V_{c}^{2} (e^{K d} - e^{- K d})}{16 E (V_{0} - E)}]}^{- 1}$

Rechnung

Für "dicke" Barriere Kd = 1 ist e^Kd der beherrschende Faktor, d.h. $T \approx e^{- 2 K d}$ . Für allgemeinen Potentialverlauf: $T \approx e^{- 2 G}$ mit Gamowfaktor $G = \int K d r$ , z. B. für Coulombpotential ist der Gamowfaktor in mathematisch geschlossener Form angebbar und tabelliert.

Somit Übergangswahrscheinlichkeit A für α-Zerfall: $λ = λ_{0} e^{- 2 G}$

$λ_{0}$ "Wahrscheinlichkeit für die Bildung eines a-Teilchens mal Zahl der Stößels gegen Potentialwall"

Zahl der Stöße $\approx \frac{v}{R} \approx \frac{10^{7} m / s}{10^{- 14}} \approx 10^{21} s^{- 1}$

Experimentell $λ_{0} \approx 10^{18} - 10^{19} s^{- 1}$

miniatur|zentriert|hochkant=4

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 [[Datei:11.1.alpha.tunneleffekt.png|miniatur|hochkant=3|zentriert]]
+<math>_{84}^{208}\text{Po: }R[{{10}^{-15}}m]=1,2\left( \sqrt[3]{204}+\sqrt[3]{4} \right)=1,2\left( 5,9+1,6 \right)\approx 9</math>
-[MeV] Coulombschwelle Vc =
+<math>{{V}_{C}}[MeV]\approx 1,5\frac{2\times 82}{9}\approx 27</math>
---1 --. Z1z2e2 471'fO R
-Zl Z2
-~ 1,5. 15 MeV
-R[ 10- m]
-mit R = 1,2 (~ + ~). 10-15 m
------ ------ Ea '--_I--________ ""-______ ~ r [10-15 m]
-90
-Kernkräfte
+Tunneleffekt (Gamow): "Überspringen der Barriere wegen Energieunschärferelation
+<math>\Delta E \Delta t \approx \hbar</math>". Vereinfacht mit Rechteckbarriere:
 [[Datei:11.2.alpha.wellenfunktion.png|miniatur|hochkant=2]]
-z. B. 2~~po: R [10-l5m] = 1,2(~2041 + W) = 1,2(5,9 + 1,6) ~ 9
-Vc [MeV] 2.82
-"" 1,5 -9- "" 27
-Tunneleffekt (Gamow): "Überspringen der Barriere wegen Energieunschärferelation
-ßE.ßt ""~". Vereinfacht mit Rechteckbarriere:
-[[Datei:11.2.alpha.wellenfunktion.png]]
 Anpassung der Wellenfunktionen und ihrer Ableitungen an den beiden
 Sprungstellen ergibt 4 Bestimmungsgleichungen für die 5 Amplituden
-A, B, C, D, F (A Normierung). '\
+A, B, C, D, F (A Normierung).
-Transmission T
+Transmission
+<math>\text{T=}\frac{|F{{|}^{2}}}{|A{{|}^{2}}}\underset{\text{Rechnung}}{\mathop{\text{=}}}\,{{\text{ }\!\![\!\!\text{ 1 +}\frac{V_{c}^{2}\left( {{e}^{Kd}}-{{e}^{-Kd}} \right)}{16E\left( {{V}_{0}}-E \right)}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{-1}}</math>
 Rechnung
-[1 +
-~(eKd_e-Kd)2 -1
-E (Vo-E) ]
-Für "dicke" Barriere Kd » 1 ist eKd der beherrschende Faktor, d.h.
-T "" e- 2Kd . Für allgemeinen Potentialverlauf: T "" e- 2G mit Gamowfaktor
-G =JKdr, z. B. für Coulombpotential ist der Gamowfaktor in
-mathematisch geschlossener Form angebbar und tabelliert.
-Somit Übergangswahrscheinlichkeit A für a-Zerfall:
-A = A oe-2G
-o
-T
-"Wahrscheinlichkeit für die Bildung eines a-Teilchens mal Zahl
-der Stößels gegen Potentialwall"
-Zahl der Stöße ~ ~ ~ 10
-m/s ~ 1021s-1
-"< - 10-14m -
-Experimentell AO "" 1018 - 1019 s-1
-[[Datei:11.3.alpha.beispiele.entstehung.png]]
+Für "dicke" Barriere Kd = 1 ist e<sup>Kd</sup> der beherrschende Faktor, d.h.
+<math>T \approx e^{- 2Kd}</math>. Für allgemeinen Potentialverlauf: <math>T \approx e^{- 2G}</math> mit Gamowfaktor <math>G =\int Kdr</math>, z. B. für Coulombpotential ist der Gamowfaktor in mathematisch geschlossener Form angebbar und tabelliert.
+Somit '''Übergangswahrscheinlichkeit''' A für α-Zerfall:
+<math>\lambda=\lambda_0 e^{-2G}</math>
+<math>\lambda_0</math> "Wahrscheinlichkeit für die Bildung eines a-Teilchens mal Zahl der Stößels gegen Potentialwall"
+Zahl der Stöße
+<math>\approx \frac{v}{R}\approx \frac{{{10}^{7}}m/s}{{{10}^{-14}}}\approx {{10}^{21}}{{s}^{-1}}</math>
+Experimentell
+<math>{{\lambda }_{0}}\approx {{10}^{18}}-{{10}^{19}}{{s}^{-1}}</math>
+[[Datei:11.3.alpha.beispiele.entstehung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]

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