Kernkräfte: Difference between revisions
Line 128: | Line 128: | ||
===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ||
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | ||
e ikz = | |||
:<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math> | |||
Sinn: Bei niedrigen Energien ( | <math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen | ||
Reichweite der Kernkräfte nur der 1 = O-Anteil (S- | |||
werden. Teilchen mit 1 | |||
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 MeV</math>) kann wegen der kurzen | |||
Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | |||
werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | |||
genug heran. | genug heran. | ||
Quantitativ: | Quantitativ: | ||
Line 140: | Line 145: | ||
[[Datei:8.6.SWellenAnteil.png]] | [[Datei:8.6.SWellenAnteil.png]] | ||
Wegen k | Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math> | ||
= 0,15 | und <math>r_0= 10^{-15}</math>m ist für <math>E_{LAB}\le MeV</math> | ||
und | die Bedingung <math>kr_0 \le 1</math> erfüllt. | ||
die Bedingung | |||
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>: | |||
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit | |||
:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle | |||
(S-Wellenanteil) = | |||
kr/ | |||
auslaufende einlaufende Kugelwelle | |||
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials V = | Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der | ||
S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. | S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. | ||
Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden | Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden | ||
Kugelwelle geben. | Kugelwelle''' geben. | ||
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | ||
e i (kr+ | |||
<math>\frac{e^{i (kr+2\delta_0}- e^{ikr}}{2ikr}\equiv e^{i\delta_0} \frac{sin(kr+\delta_0)}{kr}</math> | |||
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert | Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert | ||
die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>: | |||
:<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv \frac{e^{i(kr+\delta_0})}{r} \frac{\sin \delta_0}{k}</math> | |||
Kugelwelle | |||
Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase <math>\delta_0</math> | |||
:<math>\frac{d \sigma}{d \Omega} = | f(\theta)|^2= \frac {\sin^2\delta_0}{k^2}</math> | |||
- 2ikr | |||
Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von | Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über | ||
Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential ( | die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>. | ||
die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch E > O. | |||
Innenbereich I Außenbereich 11 | Innenbereich I Außenbereich 11 | ||
2 | 2 | ||
Line 182: | Line 192: | ||
K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k | K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k | ||
k " K | k " K | ||
. Im niederenergetischen Bereich mit k | . | ||
Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \le K</math> kann man die Sinusfunktion | |||
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | ||
u | :<math>u \approx A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>. | ||
Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden | Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden | ||
mit der r-Achse. Je nachdem ( | mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend | ||
ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die | ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die | ||
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch ( | Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | ||
gerade nicht mehr bindend ( | gerade nicht mehr bindend (<math>V_s</math>) ist. | ||
[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]] | [[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]] | ||
Wirkungsquerschnitt | Wirkungsquerschnitt <math>\simga = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math> | ||
unabhängig von E für den Bereich k | unabhängig von E für den Bereich <math>k \le K</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math> und <math>a = | ||
r_ 0-\frac{1}{K} tg Kr_0 </math>. In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter | |||
des Kastenpotentials (<math>V_0, r_0</math>) miteinander verknüpft. | |||
des Kastenpotentials ( | |||
Experimentell: | Experimentell: | ||
Line 207: | Line 219: | ||
Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential | Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential | ||
<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math> . Damit erhält man | |||
aus | aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_s \approx 68 \times 10^{-28}m^ 2</math> und <math>|a_s| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_s < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten | ||
negative Vorzeichen | |||
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | ||
Während der Bereich bis ca. 104 eV vom Si~ulett-Potential beherrscht | Während der Bereich bis ca. 104 eV vom Si~ulett-Potential beherrscht |
Revision as of 17:36, 27 May 2011
65px|Kein GFDL | Der Artikel Kernkräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 8.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann. |
|}}
{{#ask: |format=embedded |Kategorie:Kern- und StrahlungsphysikKapitel::8Abschnitt::!0Urheber::Prof. Dr. P. Zimmermann |order=ASC |sort=Abschnitt |offset=0 |limit=20 }} {{#set:Urheber=Prof. Dr. P. Zimmermann|Inhaltstyp=Script|Kapitel=8|Abschnitt=0}} Kategorie:Kern- und Strahlungsphysik __SHOWFACTBOX__
Wegen Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste Modellsysteme: a) das Deuteron und b) n-p Streuung
a) Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften
- 1) Bindungsenergie
- 2) Kernspin , magn. Kerndipolmoment (-Zustand) el. Quadrupolmoment mb, d.h. sehr klein
- 3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.
Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate und red. Masse
Problem bekannt, V unbekannt. Annahme: Zentralpotential.
Separationsansatz von Radial- und Winkelteil
Radialteil mit Zentrifugalpotential
Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und unterstützt).
Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential ( )
miniatur| Trennung der Radialgleichung in Innen (I)- und Außen (II)-Bereich
Lösung RB: für wegen u/r endlich C = 0
Lösung RB: u = A \sin Kr</math> RB: für D=0
Stetiger Anlschluß von u und \frac{du}{dr} bei :
Damit werden die beiden Parameter ( ) des Kastenpotentials miteinander verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare
Da für nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte spinabhängig, wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch die Nichtexistenz von und durch das Pauli-Prinzip.
Ailsatz V =V1( r) + v 2 (r)0(s--l+o-s-+2 ) (-5-+1 --+ 1 3
05 2 ) :::} 7[S(S+1) 4
Triplett VT = VI (r) + 4 0 V2 (r) S = 1
1
Singulett Vs = VI (r) - 4
3 0 V2 (r) S = 0
Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:
Falls V_s gerade nicht mehr bindender, senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im
Außenraum anfügen kann.
Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen
sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine -Zumischung
ermöglicht.
b) n-p Streuung
Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png
als "Trefferfläche" , z.B. . Festkörpertarget Kerne/cm³, , Targetlänge z.B. , d.h. "dünnes" Target mit .
Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png
Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse und an einem festen Streuzentrum bei .
Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems
Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png
differentieller Wirkungsquerschnitt{{#set:Fachbegriff=differentieller Wirkungsquerschnitt|Index=differentieller Wirkungsquerschnitt}} in Raumwinkel :
Speziell für isotrope Streuung (f(\sigma) = const.) ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt .
Berechnung des Wirkungsquerschnitts:
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.
Sinn: Bei niedrigen Energien () kann wegen der kurzen
Reichweite der Kernkräfte nur der -Anteil (S-Wellen) gestreut
werden. Teilchen mit kommen bei diesen Energien nicht nahe
genug heran.
Quantitativ:
Wegen und m ist für die Bedingung erfüllt.
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit :
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials bleiben der S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden Kugelwelle geben.
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert
die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle :
- Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \frac{e^{i(kr+2\delta_0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv \frac{e^{i(kr+\delta_0})}{r} \frac{\sin \delta_0}{k}}
Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase
Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential () über die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch .
Innenbereich I Außenbereich 11 2 [-~2 - d2 + V ] U = E " u [_h ~ + 0] U = E • u 2p. dr2 0 2p. dr2 u = Al • sinKr u = A2 " sin(kr+oo ) K = ,; 2fL(E-VQ)' (siehe eiOo"sin(~~+Og) und W ~ u ofi2 r k =j~i 112 Stetige Anpassung für u und du/dr bei r = r o ergibt Al sin Kro = A2 " sin (kro+o o ) = A2k(ro-a) K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k k " K .
Im niederenergetischen Bereich mit kann man die Sinusfunktion im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen
Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden
mit der r-Achse. Je nachdem () für bindend oder nichtbindend
ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch () oder
gerade nicht mehr bindend () ist.
Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png
Wirkungsquerschnitt Failed to parse (unknown function "\simga"): {\displaystyle \simga = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2} unabhängig von E für den Bereich mit und . In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter des Kastenpotentials () miteinander verknüpft.
Experimentell:
Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png
Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential und damit . Damit erhält man aus für und . Das negative Vorzeichen folgt aus Messungen der kohärenten Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. Während der Bereich bis ca. 104 eV vom Si~ulett-Potential beherrscht wird, tritt für den Bereich 104 - 107 eV immer mehr das Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab 107 eV müssen verstärkt höhere B'ahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden. Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt werden. Dabei spielen nicht nur die ~-Mesonen, sondern schwere Mesonen (z.B. das w-Meson mit mc 2 = 783 MeV) wegen ihrer kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.