Nakajima-Zwanzig-Gleichung

Die Nakajima-Zwangzig Gleichung{{#set:Fachbegriff=Nakajima-Zwangzig Gleichung|Index=Nakajima-Zwangzig Gleichung}} ist eine Integrodifferentialgleichung{{#set:Fachbegriff=Integrodifferentialgleichung|Index=Integrodifferentialgleichung}} die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung{{#set:Fachbegriff=Mastergleichung|Index=Mastergleichung}} angesehen werden.

Herleitung

Beginnend mit der Liouville von Neumann Gleichung {{#set:Fachbegriff=Liouville von Neumann Gleichung |Index=Liouville von Neumann Gleichung }}

$d_t\chi =L\chi$

wobei der Dichteoperator{{#set:Fachbegriff=Dichteoperator|Index=Dichteoperator}} durch den Projektionsoperator{{#set:Fachbegriff=Projektionsoperator|Index=Projektionsoperator}} $\mathcal{𝒫}$ in zwei Anteile $\chi =(\mathcal{𝒫}+\mathcal{𝒬})\chi$ zerlegt wird. Wobei Q folglich durch $\mathcal{𝒬}\equiv 1-\mathcal{𝒫}$ definiert ist.

Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch

$d_t\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)\chi =\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)L\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)\chi +\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)L\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒬}\\ \mathcal{𝒫}\\ \end{array}\right)\chi$

dargestellt werden.

Die zweite Zeile wird formal durch

$\mathcal{𝒬}\chi =e^{\mathcal{𝒬}Lt}Q\chi (t=0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt{e}^{\mathcal{𝒬}L{t}^{\prime }}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}\chi (t-{t^{\prime }}^{\prime })|$

gelöst wird.

Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:

${\text{d}}_t\mathcal{𝒫}\chi =\mathcal{𝒫}L\mathcal{𝒫}\chi +\underset{=0}{\underbrace{\mathcal{𝒫}L{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}Q\chi (t=0)}}+\mathcal{𝒫}L\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt{e}^{\mathcal{𝒬}L{t}^{\prime }}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}\chi (t-{t^{\prime }}^{\prime })|$

Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung

$\mathcal{𝒦}\left(t\right)=\mathcal{𝒫}L{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}$

sowie der Ausnutzung von ${\mathcal{𝒫}}^2=\mathcal{𝒫}$ erhält man die endgültige Form Template:Gleichung

$\begin{array}{rl}& d_t\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)\chi =\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)L\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)\chi +\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)L\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒬}\\ \mathcal{𝒫}\\ \end{array}\right)\chi \\ & \Rightarrow \mathcal{𝒬}\chi =e^{\mathcal{𝒬}Lt}Q{\chi }_0+{\int }^{\prime }{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}\chi (t-{t^{\prime }}^{\prime })\\ & \Rightarrow {\text{d}}_t\mathcal{𝒫}\chi =\mathcal{𝒫}L\mathcal{𝒫}\chi +\underset{=0}{\underbrace{\mathcal{𝒫}{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}Q{\chi }_0}}+\mathcal{𝒫}L{\int }^{\prime }{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}\chi (t-{t^{\prime }}^{\prime })\\ \end{array}$