Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen): Difference between revisions
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<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> |(1.66)|RawN=.}} | <math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> |(1.66)|RawN=.}} | ||
Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math>(Eigenwertgleichung) | Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math> (Eigenwertgleichung) | ||
<math>{{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} | :<math>{{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} | ||
1 & {} & {} & {} \\ | 1 & {} & {} & {} \\ | ||
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<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} | <math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} | ||
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\end{align} \right) | \end{align} \right) | ||
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Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis | Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis | ||
Revision as of 01:43, 5 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes. |
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{{#set:Urheber=Brandes|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=7}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
Wir starten von
a) Separationsansatz{{#set:Fachbegriff=Separationsansatz|Index=Separationsansatz}}
- (hat 2 Eigenwerte)
Diskussion:
- , zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie
- Zwei Komponenten u1, u2 beschreiben Spin - ½, z.B.
→ Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.
hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).
„Anschauliche Interpretation“
- Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
- Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand{{#set:Fachbegriff=Vakuumzustand|Index=Vakuumzustand}}“), in dem alle Einzelteilchenzustände besetzt sind.
- Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand .
- „Teilchen-Loch{{#set:Fachbegriff=Teilchen-Loch|Index=Teilchen-Loch}}“ Anregung: Anregung von nach lässt „Loch“ im „Fermi-See{{#set:Fachbegriff=Fermi-See|Index=Fermi-See}}“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
- nützliches Konzept für die Halbleiterphysik
Vorteile der Löcher-Theorie:
- Vorrausage des Positron{{#set:Fachbegriff=Positron|Index=Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
- Paarvernichtung / Erzeugung
Nachteile der Löcher-Theorie:
- Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
- Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.
→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): als Feld, das quantisiert wird.
b) Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“) Ansatz mit
(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren).
Lösung wie Matrixgleichung möglich, einfacher Trick:
Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis
AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass
Zeige aber Hierbei gilt