Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

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Der Artikel Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

Die klassische relativistische Dispersionsrelation{{#set:Fachbegriff=Dispersionsrelation|Index=Dispersionsrelation}} $E=E\left(\underset{\_}{p}\right)$ für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet:

$E^2=m^2{c}^4+p^2{c}^2$

(1.15)

• Potential ϕ, Vektorpotential A beschreiben das elektromagnetische Feld der Maxwell-Gleichungen. Wie ädert sich damit (1.15)? Erinnerung:

$\begin{array}{rl}\text{Magnetfeld}\underset{\_}{B}& =\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\times \underset{\_}{A}\\ \text{elektrisches Feld}\underset{\_}{E}& =-\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\varphi -\frac{1}{c}{\partial }_t\underset{\_}{A}\\ \end{array}$

(1.16)

• E und B ändern sich nicht bei Eichtransformation{{#set:Fachbegriff=Eichtransformation|Index=Eichtransformation}}

$\begin{array}{rl}& \underset{\_}{A}\to \underset{\_}{A}+\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}.\chi \\ & \varphi \to \varphi -\frac{1}{c}{\partial }_t\chi \\ \end{array}$

(1.17)

mit einer beliebigen skalaren Funktion $\chi =\chi (\underset{\_}{x},t).$

• Klassische Mechanik: E und B in Hamiltonfunktion{{#set:Fachbegriff=Hamiltonfunktion|Index=Hamiltonfunktion}} eines Teilchens mit Masse m, Ladung e „einbauen“ durch

$H=\frac{p^2}{2m}\to H=\frac{{(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})}^2}{2m}+e\varphi$

(1.18)

aus den Hamilton-Gleichungen{{#set:Fachbegriff=Hamilton-Gleichungen|Index=Hamilton-Gleichungen}} $\underset{\_}{\dot{r}}={\partial }_{\underset{\_}{p}}H\underset{\_}{\dot{p}}=-{\partial }_{\underset{\_}{r}}H$ folgt (AUFGABE)

$m\ddot{\underset{\_}{r}}=e(\dot{\underset{\_}{r}}\times \underset{\_}{B}+\underset{\_}{E})$

d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur E und B in ihr auftreten, d.h. die Bahn $(\dot{\underset{\_}{r}},\underset{\_}{r})$im Phasenraum nicht von $\chi$ vgl. (1.17) abhängt.

• Quantenmechanik
  • Schrödingergleichung durch Korrespondenzprinzip{{#set:Fachbegriff=Korrespondenzprinzip|Index=Korrespondenzprinzip}} $\underset{\_}{p}\to \hat{p}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$

$\mathfrak{i}\hslash {\partial }_t\mathrm{\Psi }=\hat{H}\mathrm{\Psi }=\{\frac{{(\widehat{\underset{\_}{p}}-e\underset{\_}{A})}^2}{2m}+e\varphi \}\mathrm{\Psi }$

(1.19)

(durch Vergleich mit (1.18))

• • Schrödingergleichung + Prinzip der lokalen Eichinvarianz{{#set:Fachbegriff=Prinzip der lokalen Eichinvarianz|Index=Prinzip der lokalen Eichinvarianz}} (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
    • Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung $\mathfrak{i}\hslash {\partial }_t\mathrm{\Psi }=\frac{p^2}{2m}\mathrm{\Psi }$
    • Schritt 2: Mit $\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)$erfüllt auch $\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{i\phi }$mit $\phi \in \mathbb{ℝ}$konstant die Schrödingergleichung und beschreibt dieselbe Physik:

Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen

$\int {\mathrm{\Psi }}^{*}(\underset{\_}{x},t)\hat{O}(\underset{\_}{x},\underset{\_}{\mathrm{\nabla }},{\partial }_t)\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)d^{d}x=\text{invariant}$

(1.20)

• • • Schritt 3: (Prinzip der lokalen Eichinvarianz) ändere die Schrödingergleichung so, dass lokale Eichtransformationen

$\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)\to \mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}$

(1.21)

nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch $\mathrm{\Psi }{e}^{i\phi (\underset{\_}{x},t)}$ eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte.

Lösung

Lösung: In (1.20) machen $\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$ und ${\partial }_t$in

$\hat{O}(\underset{\_}{x},\underset{\_}{\mathrm{\nabla }},{\partial }_t)$

Probleme, da z.B.

$\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{i\phi (\underset{\_}{x},t)}\ne e^{i\phi (\underset{\_}{x},t)}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)$

(1.22)

was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren.

Idee: ersetze Ableitung $\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$durch „kovariante Ableitung{{#set:Fachbegriff=kovariante Ableitung|Index=kovariante Ableitung}}“ D, so dass

${\underset{\_}{D}}_{\varphi }\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}=e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}\underset{\_}{D}\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)$

(1.23)

Mit dem Ansatz ${\underset{\_}{D}}_{\phi }=\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}+{\underset{\_}{f}}_{\phi }(\underset{\_}{x},t)$ und ebenso für die Zeitableitung ${\partial }_t\to D_{\phi }^0={\partial }_t+g_{\phi }\left(t\right)$ folgt dann

$\begin{array}{rl}& {\underset{\_}{D}}_{\phi }\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}=\left(\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }\right)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}+\mathrm{\Psi }\mathfrak{i}\left(\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\phi \right)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}+{\underset{\_}{f}}_{\phi }(\underset{\_}{x},t)=e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}({\underset{\_}{D}}_{\phi }+\mathfrak{i}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\phi )\mathrm{\Psi }\\ & D_{\phi }^0\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}==e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}({\underset{\_}{D}}_{\phi }^0+\mathfrak{i}{\partial }_t\phi )\mathrm{\Psi }\\ \end{array}$

Die lokale Eichtransformation bewirkt also

$\begin{array}{rl}& {\underset{\_}{D}}_{\phi }=\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}+{\underset{\_}{f}}_{\phi }(\underset{\_}{x},t)\leftrightarrow \underset{\_}{D}=\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}+{\underset{\_}{f}}_{\phi }(\underset{\_}{x},t)+\mathfrak{i}\mathrm{\nabla }\phi (\underset{\_}{x},t)\\ & D_0={\partial }_t+g_{\phi }(\underset{\_}{x},t)\leftrightarrow D^0={\partial }_t+g_{\phi }(\underset{\_}{x},t)+\mathfrak{i}{\partial }_t\phi (\underset{\_}{x},t)\\ \end{array}$

(1.24)

Nun liefert der Vergleich mit (1.17)

$\underset{\_}{A}\to \underset{\_}{A}+\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}.\chi \varphi \to \varphi -{\partial }_t\chi \text{mit }\chi \in \mathbb{ℝ}c=1$

${\underset{\_}{f}}_{\phi }=\mathfrak{i}\alpha \underset{\_}{A},\phi =\alpha \chi ,g_{\phi }=-\mathfrak{i}\alpha \phi ,\alpha \in \mathbb{ℝ}$

in der Schrödingergleichung steht also statt $\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$ nun $\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}+\mathfrak{i}\alpha \underset{\_}{A}$ und statt ${\partial }_t$ nun ${\partial }_t-\mathfrak{i}\alpha \phi$ mit ${\underset{\_}{f}}_{\phi },g_{\phi }$ als Eichfelder.

Sei$\hslash =1$. Statt

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=\frac{1}{2m}{\left(\frac{\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}}{\mathfrak{i}}\right)}^2\mathrm{\Psi }\to \text{nun }\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }+\alpha \varphi \mathrm{\Psi }=\frac{1}{2m}{(\frac{\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}}{\mathfrak{i}}+\alpha \underset{\_}{A})}^2\mathrm{\Psi }$

Die Umbenennung von $\alpha \to -e$liefert

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=\{\frac{{(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})}^2}{2m}+e\varphi \}\mathrm{\Psi }$

(1.25)

Diskussion

• Die „Vorschrift“ $\underset{\_}{p}\to \underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A}$ heißt minimale Kopplung{{#set:Fachbegriff=minimale Kopplung|Index=minimale Kopplung}}
• Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und A sowie die Kopplungskonstante{{#set:Fachbegriff=Kopplungskonstante|Index=Kopplungskonstante}} e quasi „hergeleitet“.
  • Jetzt Klein-Gordon-GleichungKlein-Gordon-Gleichung:elektrisches Feld{{#set:Fachbegriff=Klein-Gordon-Gleichung:elektrisches Feld|Index=Klein-Gordon-Gleichung:elektrisches Feld}} mit ϕ, A: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung

$\begin{array}{rl}& \widehat{\underset{\_}{p}}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\to \widehat{\underset{\_}{p}}-e\underset{\_}{A}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}-e\underset{\_}{A}\\ & {\partial }_t\to {\partial }_t+\mathfrak{i}e\varphi \\ \end{array}$

(1.26)

$\begin{array}{rl}& ◻=\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-{\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}}^2\to {({\partial }_t+\mathfrak{i}e\phi )}^2-{(\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}-\frac{\mathfrak{i}e}{\hslash }\underset{\_}{A})}^2\\ & (◻+m^2)\mathrm{\Psi }=0\to \{{({\partial }_t+\mathfrak{i}e\phi )}^2-{(\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}-\mathfrak{i}e\underset{\_}{A})}^2+m^2\}\mathrm{\Psi }=0(\hslash =c=1)\\ \end{array}$

Anwendung: Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: $\underset{\_}{A}=0,e\varphi =-\frac{Z}{\alpha }$. Ähnlich wie bei derSchrödingergleichung{{#set:Fachbegriff=Schrödingergleichung|Index=Schrödingergleichung}} für das Wasserstoffproblem haben wir

$\{{({\partial }_t+\mathfrak{i}e\phi )}^2-\mathrm{\Delta }+m_0^2\}\mathrm{\Psi }=0$

(1.27)

Lösen durch Separationsansatz{{#set:Fachbegriff=Separationsansatz|Index=Separationsansatz}}

$\mathrm{\Psi }(r,\theta ,\phi ;t)=e^{\mathfrak{i}Et}\underset{\text{Kugelfl }\ddot{\mathrm{a}}\text{ chenfunktionen}}{\underbrace{Y_{lm}(\theta ,\phi )}}\frac{\chi \left(r\right)}{x}$

• Radialgleichung für Radialwellenfunktionen{{#set:Fachbegriff=Radialwellenfunktionen|Index=Radialwellenfunktionen}}$\chi \left(r\right)$
• Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung (AUFGABE) liefert

$E=\pm m_0(1-\frac{Z^2{\alpha }^2}{2n^2}+\frac{Z^2{\alpha }^4}{n^4}[\frac{3}{8}-\frac{n}{2l+1}]+O\left(z^6{\alpha }^6\right))$

(1.28)

hier gibt es positive und negative Lösungen $\underset{\text{Hauptquantenzahl}}{\underbrace{n}}\equiv \underset{\text{Radialquantenzahl}}{\underbrace{n_r}}+1+l$

Der 3. Termin in (1.28) ist die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie. Spin wird durch Klein-Gordon-Gleichung nicht beschrieben deshalb ist (1.28) nicht geeignet für Feinstruktur des H-Atoms

Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen.

Spin ½ → Dirac Gleichung