Prüfungsfragen:Quantenmechanik: Difference between revisions

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Wiederholung: Schema der Schrödingerschen Wellenmechanik K::4.1[edit | edit source]

Schrödingergleichung

zeitabh
zeitunabh.
Lösung
Quantenzahlen

Potentialtopf[edit | edit source]

Länge Volumen Energie 1/n^2

http://de.wikipedia.org/wiki/Lippmann-Schwinger-Gleichung

induzierte Emission ?

Formalisierung der Quantenmechanik[edit | edit source]

Hilbertraum, Zustand, dynamische Variable, Observable[edit | edit source]

Vertauschungsrelationen, Messprozess[edit | edit source]

Zeitliches Verhalten: Bewegungsgleichung und Bilder[edit | edit source]

Festlegung Zeitentwicklung Verteilung auf Operatoren und Zustände
Schrödingerbild Zustände zeitabh.
Heisenbergbild Operatoren zeitabh. (Heisenberg fährt mit Hamiltonoperator im Wohnmobil, während Schrödinger zu $\hat{H} a u s e$ mit seiner Katze Hausaufgaben macht.)
WW-Bild

WSK?? bleibt erhalten

Unitärität des Zeitentwicklungsoperators $U = e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} t}$

Harmonischer Oszillator in Besetzungszahldarstellung, Anwendungsmöglichkeiten[edit | edit source]

Der Drehimpuls in der Quantenmechanik K::4.3[edit | edit source]

Drehimpuls[edit | edit source]

Spin Bahn Kopplung[edit | edit source]

von EM-Feld Coulomb-Eichung...
$p A = \sqrt{(} r x B)$ ???
Energiekorrektur linear zum Magnetfeld
Bahndrehimpulsentartung 2l+1 wird aufgehoben
F:Aufhebung der Bahndrehimpulsentartung
- 2l+1 fach Entartet
- Verschiebeun gder Energieniveaus um \mu B
Thermschema
- Nebenquantenzahl
- Feinstrukturaufspaltung2 zeichnen
Spin
- Spin-Bahn Kopplung ohne Magnetfeld
Energiekorrekturen

(neben Darwin-Term /relativistischem Impuls)

LS-Koppplung
Quantenzahlen bei festem l : l=+-1/2
Spin-Bahn-Kopplung für Wasserstoffatom

Drehimpulse in der qM=[edit | edit source]

l=r x p
$[L_{i}, L_{j}] = i ℏ ϵ_{i, j, k} L_{k}$ Vertauschungsrelation
allgemein Kommutatorrelation Quantisiert dadurch?
Haputquantenzahl $n = 1 \to \infty$
Eigenerwertproblem $L^{2} | l m ⟩ = l (l + 1) | l m ⟩$
- z.B: $L_{z} | l m ⟩ = m | l m ⟩$
- gleiche Eigenfunktion $[L^{2}, L_{z}] = 0$ aber $| l m ⟩$ nicht Eigenvektor zu L_y da $[L_{i}, L_{j}] = i ℏ ϵ_{i, j, k} L_{k}$ gilt
- $[L_{i}, L_{i}] = 0$ ??
Koordinaten von L_z: freie Wahl der Koordnaten aber nach Wahl $| l m ⟩$ nicht EV zu anderen Achsen

Allgemeine Drehimpulsoperatoren[edit | edit source]

Bahndrehimpuls, Spin, Drehimpulsaddition, Ortsdarstellung[edit | edit source]

Pauligleichung, Spin-Bahn-Kopplung und Feinstruktur des H-Atoms[edit | edit source]

Teilchen im EM-Feld[edit | edit source]

kanonischer Formalismus
Hamilton mit Herleitung $H = \frac{(p - e A)^{2}}{2 m} + e ϕ (+ V)$ $ϕ$ Kernpotential
$p \to i ℏ \nabla$
Glauber-Zustand $α ⟩ = e^{- \frac{| α |^{2}}{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{α^{n}}{\sqrt{n!}} | n ⟩$
Lagrangegleichung für Teilchen im EM-Feld
zeitabhängige Störung $H_{0} = p^{2}$
vertauschung von vektorpotential und impuls
Coulomb eichung
$- \nabla A = 0; \hat{H}$ nähern
- $A = A (0) c o s (k r - ω t) \to e^{\dots}$
- \lambda \ge Atomdurchmesser
- zu Dipolübergängen
- neue Quantenzahl j=l+s spin+bahndrehimpuls

Pauli Gleichung[edit | edit source]

2

Entwicklung Dirac-Gleichung
Abspaltung Ruheenergie

q/m(1/mc^2-1/r \partial_r \phi s.l

    $i ℏ \partial_{t} φ = \underset{Hamiltonoperator ohne Spin}{\underset{⏟}{(\frac{(\vec{p} - q \vec{A})^{2}}{2 m} + q ϕ)}} φ - g \underset{Spin-Magnetfeld}{\underset{⏟}{\frac{q ℏ}{2 m c} \frac{\vec{σ}}{2} \cdot \vec{B}}} φ .$

http://de.wikipedia.org/wiki/Pauli-Gleichung

Magnetisches Moment und Zeeman-Effekt[edit | edit source]

Näherungsmethoden[edit | edit source]

Zeitabhängige Störungsrechnung[edit | edit source]

Fermis goldene regel[edit | edit source]

gilt für t\to \infty sonst Energie Zeit unschärfe

Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten im Atom[edit | edit source]

Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung[edit | edit source]

stationär energieerhalungssatz

Zeitunabhängige Störungsrechnung mit Entartung[edit | edit source]

Stark-Effekt im H-Atom[edit | edit source]

Wasserstoffatom[edit | edit source]

Energie 1/n^2 Glauberzustand

Chemische Bindung des H2-Moleküls[edit | edit source]

chemische Bindung[edit | edit source]

Bild Kern Elektron
Yukava + Coulomb Potential
$H = H_{f} r e i + H_{w} w (- e^{2} / r)$
Atom Feld WW?
LCAO?
Überlapp WF \psi^2
Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeit Zeichnen

Variationsverfahren, Ritz-Verfahren[edit | edit source]

Systeme identischer Teilchen[edit | edit source]

Fockzustand z.B. Laser

STrahlungszustände

Erwarungswert des EFELDS 0

Ununterscheidbarkeit, Fermionen, Bosonen, Pauli-Prinzip[edit | edit source]

symmetrische und antisymmetrische WF
Pauliprinzip

ununterscheidbarkeit[edit | edit source]

bed an observable -symmetriosierungsoperator Symmetriserung für 2 Elektronen Slater Determinante Pauli Prinzip Störungstheorie bei kostanter Störung / Übergangswahrscheinlichkeit?

Slaterdeterminante, Hartree-Fock, Austauschwechselwirkung, Korrelation[edit | edit source]

Streutheorie[edit | edit source]

Dipolmatrix[edit | edit source]

[1]

Lippmann-Schwinger-Gleichung[edit | edit source]

Herleitung bis Lippmann Schwinger Gleichung

    $ψ_{k} (\vec{r}) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} e^{i \vec{k} \vec{r}} - \frac{2 m}{4 π ℏ^{2}} \int d^{3} \vec{r^{'}} \cdot \frac{e^{i k | \vec{r} - \vec{r^{'}} |}}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} V (\vec{r^{'}}) ψ_{k} (\vec{r^{'}})$

Bornsche Näherung : 0. Nähering ost Lösung ohne WW einsetzen in Lippmann schnwinger gleichung → 1. näherung usw

Streuamplitude und Streuquerschnitt[edit | edit source]

Bornsche Näherung, Drehimpulsdarstellung und Streuphasen[edit | edit source]

Dynamik von Zweiniveausystemen[edit | edit source]

2-Niveau System[edit | edit source]

absorption
Störungsrechnung
Übergangsrate
konstante+periodische Störung
auswahlregeln für dipolübergänge
wie kammt man darauf

2.Quantisierung

dipolmatrixelement
Näherung für H_1= eAp+peA+eA^2
Woher kommt das zeitabhängige Störungsrechnung
absorption fGolden Matrixelement
Matrixelement und Parität?
- 1.3 WF \spi für harm OSC. --abwechselnde parität
- Dipolübergänge \Delta l = +-1
- entsprechung
- funktionen senkrecht aufeinander
Auswahlregeln!!! (f Dipolnäherung)
Übergänge zwischen niveaus

A: Relativistische Quantentheorie[edit | edit source]

Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie[edit | edit source]

Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung[edit | edit source]

Dirac Gleichung[edit | edit source]

Spin ist eine Beobachtungsgröße und wird erst in der relativistischen QM notwendig

und zuwar als offener Freiheitsgrad der Dirac-Gleichung

- Zeemann Effekt [2]
[3]
zum Wasserstoffatom was ändert sich Störungstheorie
Interpretation der WF
$-dim Vektor (2+2)dim
Spinteil
negative Energie Diracsee aus QFT Teilchen und Antitielchen
relativisitesche Theorie immer Vielteilcehntheorie

Übergang Pauli, Schrödinger

- große oder kleine Komponenten bis Ordnung \beta^2 mit \beta=v/c

Verwendung Dirac Gleichung f Elektronen Spin 1/2

Klein Gordon Gleichung[edit | edit source]

   $[\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \nabla^{2} + \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2}}] ϕ (t, x) = 0 . (◻ + m^{2}) ϕ (x) = 0 .$

bedeutuung von \Psi
Lösung : $A \cdot e^{i (k \cdot x - ω t)}$
Spin 1 Teilchen für Welche Teilechen
Energie immer positiv
Quantenzahlen für positive und negative Ladung
Lagrangegleichung $ℒ = \frac{1}{2} [(\partial_{t} φ)^{2} - (\partial_{x} φ)^{2} - (\partial_{y} φ)^{2} - (\partial_{z} φ)^{2} - m^{2} φ^{2}] = \frac{1}{2} [(\partial_{μ} φ) (\partial^{μ} φ) - m^{2} φ^{2}]$

für klein Gordon feld Noetherteorem Ladungserhaltung

Quantezahlen
vgl Schrödingergleichung
Kontinuitätsgleichung → wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Klein-Gordon-Gleichung
keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation
erhaltung der LADUNG

Nichtrelativistischer Grenzfall[edit | edit source]

H-Atom[edit | edit source]

Aspekte der Quantenfeldtheorie[edit | edit source]

B: 2. Quantisierung für Elektronen, Zweiteilchenwechselwirkung[edit | edit source]

Erwartungswerte des Felds in 2. Quantisierung

? $E \neq 0$ a^+, a

Observable, Bewegungsgleichungen, Beispiel[edit | edit source]

Zustände des Strahlungsfeldes[edit | edit source]

Wechselwirkung eines dynamischen mit einem dissipativen System (Oszillator)[edit | edit source]

Übersicht über quantenelektrodynamische Effekte[edit | edit source]

Kategorie:Prüfung

@@ Line 165: / Line 165: @@
 === Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie ===
 === [[Klein-Gordon-Gleichung]], [[Dirac-Gleichung]] ===
-==Dirac Gleichung==
+====Dirac Gleichung====
 *<u>Spin</u> ist eine Beobachtungsgröße und wird erst in der relativistischen QM notwendig
 und zuwar als offener Freiheitsgrad der Dirac-Gleichung
@@ Line 181: / Line 181: @@
 Verwendung Dirac Gleichung f Elektronen Spin 1/2
-==Klein Gordon Gleichung==
+===Klein Gordon Gleichung===
-    \left[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \mathbf{\nabla}^2 + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right] \phi(t, \mathbf{x}) = 0\,.
+   <math> \left[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \mathbf{\nabla}^2 + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right] \phi(t, \mathbf{x}) = 0\,.
-     \left(\Box + m^2 \right) \phi(x) = 0\,.
+     \left(\Box + m^2 \right) \phi(x) = 0\,. </math>
 *bedeutuung von \Psi
-*Lösung :     A \cdot \mathrm e^{\mathrm i \bigl(\mathbf k\cdot \mathbf x - \omega\,t\bigr)}
+*Lösung :     <math>A \cdot \mathrm e^{\mathrm i \bigl(\mathbf k\cdot \mathbf x - \omega\,t\bigr)}</math>
 * Spin 1 Teilchen für Welche Teilechen
 * Energie immer positiv
 * Quantenzahlen für positive und negative Ladung
-* Lagrangegleichung     \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[ (\partial_t \varphi)^2 - (\partial_x \varphi)^2 - (\partial_y \varphi)^2 - (\partial_z \varphi)^2 - m^2 \varphi^2 \right]\ =\frac{1}{2} \left[ (\partial_\mu \varphi)(\partial^\mu \varphi) - m^2 \varphi^2 \right]\,
+* Lagrangegleichung     <math>\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[ (\partial_t \varphi)^2 - (\partial_x \varphi)^2 - (\partial_y \varphi)^2 - (\partial_z \varphi)^2 - m^2 \varphi^2 \right]\ =\frac{1}{2} \left[ (\partial_\mu \varphi)(\partial^\mu \varphi) - m^2 \varphi^2 \right]\,</math>
 für klein Gordon feld
 Noetherteorem
@@ Line 205: / Line 205: @@
 === B: 2. Quantisierung für Elektronen, Zweiteilchenwechselwirkung ===
 *Erwartungswerte des Felds in 2. Quantisierung
-?E\neq 0
+?<math>E\neq 0</math>
 a^+, a