Prüfungsfragen:Quantenmechanik

Grundgleichungen

Dirac Gleichung

• Spin ist eine Beobachtungsgröße und wird erst in der relativistischen QM notwendig

und zuwar als offener Freiheitsgrad der Dirac-Gleichung

• • Zeemann Effekt [1]
• [2]
• zum Wasserstoffatom was ändert sich Störungstheorie

Pauli Gleichung

2

• Entwicklung Dirac-Gleichung
• Abspaltung Ruheenergie

q/m(1/mc^2-1/r \partial_r \phi s.l

   $\mathrm{i}\hslash {\partial }_t\phi =\underset{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}{\underbrace{(\frac{(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2}{2m}+q\varphi )}}\phi -g\underset{\text{Spin-Magnetfeld}}{\underbrace{\frac{q\hslash }{2mc}\frac{\overrightarrow{\sigma }}{2}\cdot \overrightarrow{B}}}\phi .$ 

• http://de.wikipedia.org/wiki/Pauli-Gleichung

Anwendungen

Teilchen im EM-Feld

• kanonischer Formalismus
• Hamilton mit Herleitung $H=\frac{(p-eA{)}^2}{2m}+e\varphi (+V)$ $\varphi$ Kernpotential
• $p\to i\hslash \mathrm{\nabla }$
• Glauber-Zustand $\alpha ⟩=e^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n!}}|n⟩$
• Lagrangegleichung für Teilchen im EM-Feld
• zeitabhängige Störung $H_0=p^2$
• vertauschung von vektorpotential und impuls
• Coulomb eichung
• $-\mathrm{\nabla }A=0;\hat{H}$ nähern
  • $A=A(0)cos(kr-\omega t)\to e^{\dots }$
  • \lambda \ge Atomdurchmesser
  • zu Dipolübergängen
  • neue Quantenzahl j=l+s spin+bahndrehimpuls

Dipolmatrix

[3]

Drehimpuls

Spin Bahn Kopplung

• von EM-Feld Coulomb-Eichung...
• $pA=\sqrt{(}rxB)$???
• Energiekorrektur linear zum Magnetfeld
• Bahndrehimpulsentartung 2l+1 wird aufgehoben
• F:Aufhebung der Bahndrehimpulsentartung
  • 2l+1 fach Entartet
  • Verschiebeun gder Energieniveaus um \mu B
• Thermschema
  • Nebenquantenzahl
  • Feinstrukturaufspaltung2 zeichnen
• Spin
  • Spin-Bahn Kopplung ohne Magnetfeld
• Energiekorrekturen

(neben Darwin-Term /relativistischem Impuls)

• LS-Koppplung
• Quantenzahlen bei festem l : l=+-1/2
• Spin-Bahn-Kopplung für Wasserstoffatom

Drehimpulse in der qM

• l=r x p
• $[L_i,L_j]=i\hslash {ϵ}_{i,j,k}{L}_k$ Vertauschungsrelation
• allgemein Kommutatorrelation Quantisiert dadurch?
• Haputquantenzahl $n=1\to \mathrm{\infty }$
• Eigenerwertproblem $L^2|lm⟩=l(l+1)|lm⟩$
  • z.B: $L_z|lm⟩=m|lm⟩$
  • gleiche Eigenfunktion $[L^2,L_z]=0$ aber $|lm⟩$ nicht Eigenvektor zu L_y da $[L_i,L_j]=i\hslash {ϵ}_{i,j,k}{L}_k$ gilt
  • $[L_i,L_i]=0$??
• Koordinaten von L_z: freie Wahl der Koordnaten aber nach Wahl $|lm⟩$ nicht EV zu anderen Achsen

Sonstiges

Bilder in der QM

• Festlegung Zeitentwicklung Verteilung auf Operatoren und Zustände
• Schrödingerbild Zustände zeitabh.
• Heisenbergbild Operatoren zeitabh. (Heisenberg fährt mit Hamiltonoperator im Wohnmobil, während Schrödinger zu $\hat{H}ause$ mit seiner Katze Hausaufgaben macht. )
• WW-Bild

WSK?? bleibt erhalten

• Unitärität des Zeitentwicklungsoperators $U=e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}$