Paramagnetismus: Difference between revisions
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Energie: | Energie: | ||
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& E=-\mu B{{m}_{l}} \\ | & E=-\mu B{{m}_{l}} \\ | ||
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<u>'''Einteilchen- Zustandssumme'''</u> | <u>'''Einteilchen- Zustandssumme'''</u> | ||
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& Z=\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | & Z=\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | ||
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Beispiel: l = 1/2: | Beispiel: l = 1/2: | ||
<math>\Rightarrow Z=\frac{\sinh \left( \beta \mu B \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)}=2\cosh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | :<math>\Rightarrow Z=\frac{\sinh \left( \beta \mu B \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)}=2\cosh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | ||
Als '''Einteilchenzustandssumme''' | Als '''Einteilchenzustandssumme''' | ||
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<u>'''Magnetisierung M '''</u> ( = mittleres magnetisches Moment pro Volumen ) | <u>'''Magnetisierung M '''</u> ( = mittleres magnetisches Moment pro Volumen ) | ||
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& M=\frac{N}{V}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}{{Z}^{-1}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right)=\frac{N}{V}\frac{1}{Z}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | & M=\frac{N}{V}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}{{Z}^{-1}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right)=\frac{N}{V}\frac{1}{Z}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | ||
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z.B. l= 1/2: | z.B. l= 1/2: | ||
<math>M=\frac{N}{V}\mu \frac{1}{2}\tanh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | :<math>M=\frac{N}{V}\mu \frac{1}{2}\tanh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | ||
( Lorgevin- Funktion ) | ( Lorgevin- Funktion ) | ||
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Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung | Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung | ||
<math>M\left( T,V,B \right)</math> | :<math>M\left( T,V,B \right)</math> | ||
====Hohe Temperaturen==== | ====Hohe Temperaturen==== | ||
<math>kT>>\mu B</math> | :<math>kT>>\mu B</math> | ||
Beispiel: B= 1 Tesla -> T >> 1K | Beispiel: B= 1 Tesla -> T >> 1K | ||
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Entwicklung | Entwicklung | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \coth x\approx \frac{1}{x}+\frac{x}{3}+... \\ | & \coth x\approx \frac{1}{x}+\frac{x}{3}+... \\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\beta {{\mu }^{2}}B</math> | :<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\beta {{\mu }^{2}}B</math> | ||
'''linear '''in B ! | '''linear '''in B ! | ||
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speziell: l= 1/2: | speziell: l= 1/2: | ||
<math>\Rightarrow M\left( T,V,B \right)=\frac{N}{V}\frac{{{\mu }^{2}}B}{4kT}</math> | :<math>\Rightarrow M\left( T,V,B \right)=\frac{N}{V}\frac{{{\mu }^{2}}B}{4kT}</math> | ||
Curie- Gesetz !! | Curie- Gesetz !! | ||
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definiert durch | definiert durch | ||
<math>M={{\chi }_{m}}H</math> | :<math>M={{\chi }_{m}}H</math> | ||
<math>B={{\mu }_{0}}\left( H+M \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)H</math> | :<math>B={{\mu }_{0}}\left( H+M \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)H</math> | ||
mit dem Magnetfeld <math>H</math> | mit dem Magnetfeld <math>H</math> | ||
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als absolute Permeabilität | als absolute Permeabilität | ||
<math>\Rightarrow M=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{m}}}{1+{{\chi }_{m}}}B\approx \frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{\chi }_{m}}B</math> | :<math>\Rightarrow M=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{m}}}{1+{{\chi }_{m}}}B\approx \frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{\chi }_{m}}B</math> | ||
'''Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:''' | '''Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:''' | ||
<math>{{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\frac{{{\mu }^{2}}}{kT}=\frac{C}{T}</math> | :<math>{{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\frac{{{\mu }^{2}}}{kT}=\frac{C}{T}</math> | ||
Mit der Curie- Konstanten C ! | Mit der Curie- Konstanten C ! | ||
Line 131: | Line 131: | ||
'''Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:''' | '''Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:''' | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& kT<<\mu B \\ | & kT<<\mu B \\ | ||
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für <math>x\to \infty </math> | für <math>x\to \infty </math> | ||
<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\mu \left( \left( l+\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \right)=\frac{N}{V}\mu l</math> | :<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\mu \left( \left( l+\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \right)=\frac{N}{V}\mu l</math> | ||
Also: | Also: | ||
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---- | ---- | ||
<math>\bar{\mu }\uparrow \uparrow \bar{B}</math> | :<math>\bar{\mu }\uparrow \uparrow \bar{B}</math> | ||
====Vergleich mit der klassischen rechnung==== | ====Vergleich mit der klassischen rechnung==== | ||
<math>\bar{E}=-\bar{m}\bar{B}=-mB\cos \alpha </math> | :<math>\bar{E}=-\bar{m}\bar{B}=-mB\cos \alpha </math> | ||
mit <math>\left| {\bar{m}} \right|</math> | mit <math>\left| {\bar{m}} \right|</math> | ||
Line 162: | Line 162: | ||
'''Klassische Zustandssumme:''' | '''Klassische Zustandssumme:''' | ||
<math>Z\tilde{\ }\int_{-1}^{1}{{}}d\left( \cos \alpha \right)\exp \left( \beta mB\left( \cos \alpha \right) \right)\tilde{\ }\frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B}</math> | :<math>Z\tilde{\ }\int_{-1}^{1}{{}}d\left( \cos \alpha \right)\exp \left( \beta mB\left( \cos \alpha \right) \right)\tilde{\ }\frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B}</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& M=\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z=\frac{N}{V}\frac{B}{\sinh \left( \beta mB \right)}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\left( \frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B} \right) \\ | & M=\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z=\frac{N}{V}\frac{B}{\sinh \left( \beta mB \right)}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\left( \frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B} \right) \\ | ||
Line 174: | Line 174: | ||
<u>'''Vergleich für l=1/2, g=2 ( Spin)'''</u> | <u>'''Vergleich für l=1/2, g=2 ( Spin)'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{MV}{Nm}=\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)=\left( \coth x-\frac{1}{x} \right) \\ | & \frac{MV}{Nm}=\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)=\left( \coth x-\frac{1}{x} \right) \\ | ||
Line 188: | Line 188: | ||
Also für x-> 0 ( hohe Temperaturen): | Also für x-> 0 ( hohe Temperaturen): | ||
<math>\frac{MV}{Nm}\to \frac{x}{3}</math> | :<math>\frac{MV}{Nm}\to \frac{x}{3}</math> | ||
( klassisch) | ( klassisch) | ||
<math>\frac{MV}{Nm}\to x</math> | :<math>\frac{MV}{Nm}\to x</math> | ||
( quantentheoretisch !) | ( quantentheoretisch !) | ||
Line 200: | Line 200: | ||
( tiefe Temperaturen): | ( tiefe Temperaturen): | ||
<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-\frac{1}{x}</math> | :<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-\frac{1}{x}</math> | ||
( klassisch) | ( klassisch) | ||
<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-{{e}^{-2x}}</math> | :<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-{{e}^{-2x}}</math> | ||
( quantentheoretisch) | ( quantentheoretisch) | ||
Line 222: | Line 222: | ||
und <math>\mu l=m</math> | und <math>\mu l=m</math> | ||
<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{2l}\coth \frac{\beta mB}{2l} \right)</math> | :<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{2l}\coth \frac{\beta mB}{2l} \right)</math> | ||
Klassisch dann mit der Näherung | Klassisch dann mit der Näherung | ||
<math>\coth \frac{\beta mB}{2l}\approx \frac{2l}{\beta mB}</math> | :<math>\coth \frac{\beta mB}{2l}\approx \frac{2l}{\beta mB}</math> | ||
für | für | ||
<math>kT>mB</math> | :<math>kT>mB</math> | ||
klassisch: | klassisch: | ||
<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)</math> | :<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)</math> | ||
( klassische Brillouin- Funktion ) | ( klassische Brillouin- Funktion ) | ||
Line 259: | Line 259: | ||
N- Teilchen- Zustandssumme <math>{{Z}^{N}}</math> | N- Teilchen- Zustandssumme <math>{{Z}^{N}}</math> | ||
<math>S=k\left( \ln {{Z}^{N}}+\beta U \right)</math> | :<math>S=k\left( \ln {{Z}^{N}}+\beta U \right)</math> | ||
Statistischer Operator für kanonische Verteilung: | Statistischer Operator für kanonische Verteilung: | ||
<math>{{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}}</math> | :<math>{{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}}</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln {{Z}^{N}}=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \left[ 2\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right]=-\frac{N\mu B}{2}\frac{\sinh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)}{\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)} \\ | & U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln {{Z}^{N}}=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \left[ 2\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right]=-\frac{N\mu B}{2}\frac{\sinh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)}{\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)} \\ | ||
Line 277: | Line 277: | ||
) | ) | ||
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& S\left( T \right)=kN\left( \ln Z-\beta \frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z \right) \\ | & S\left( T \right)=kN\left( \ln Z-\beta \frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z \right) \\ | ||
Line 287: | Line 287: | ||
'''Limes''' | '''Limes''' | ||
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& T\to \infty \\ | & T\to \infty \\ |
Revision as of 16:32, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Paramagnetismus basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=7}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet ! Keine WW der Elementarmagnete untereinander
Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander ! -> spontane Magnetisierung !
Diamagnetismus: die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert -> Abstoßung ( Lenzsche Regel) !
Modell eines Paramagneten
N ortsfeste ( und somit unterscheidbare Teilchen !) mit Drehimpuls
Drehimpulsquantisierung:
Energie:
= Bohrsches Magneton !
Einteilchen- Zustandssumme
Beispiel: l = 1/2:
Als Einteilchenzustandssumme
Magnetisierung M ( = mittleres magnetisches Moment pro Volumen )
Brillouin- Funktion
z.B. l= 1/2:
( Lorgevin- Funktion )
Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung
Hohe Temperaturen
Beispiel: B= 1 Tesla -> T >> 1K
Entwicklung
linear in B !
speziell: l= 1/2:
Curie- Gesetz !!
definiert durch
als absolute Permeabilität
Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:
Mit der Curie- Konstanten C !
( Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört ! )
Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:
Also:
Vollständige Ausrichtung aller Momente
Vergleich mit der klassischen rechnung
fest ( magnetisches Moment !) und
Phasenraumvariable !, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten !
Klassische Zustandssumme:
Vergleich für l=1/2, g=2 ( Spin)
klassisch
im Gegensatz zu quantentheoretisch:
Also für x-> 0 ( hohe Temperaturen):
( klassisch)
( quantentheoretisch !)
( tiefe Temperaturen):
( klassisch)
( quantentheoretisch)
Somit folgt ( die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte):
Abszisse: x = mB/(kT)
Ordinate: MV/Nm
Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab !
Vergleich für l>>1
Klassisch dann mit der Näherung
für
klassisch:
( klassische Brillouin- Funktion )
Für l=2 folgt:
Dabei ist die klassische Kurve nun steiler ! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist !
Für l=5:
und schließlich l=10:
Dabei wurde wieder
Abszisse: x = mB/(kT)
Ordinate: MV/Nm
Energie und Entropie
Statistischer Operator für kanonische Verteilung:
( kalorische Zustandsgleichung
)
Limes
Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur ( arbitrary units) geplottet:
Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld ( a.u.) verdoppelt !
Adiabatische Entmagnetisierung
Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung ( insbesondere mit Kernspin)