Entropie von Gleichgewichtszuständen: Difference between revisions
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'''Definition''' | {{Def|'''Definition''': | ||
Extensive thermodynamische Variablen sind additiv bei Systemzusammensetzung: | '''Extensive thermodynamische Variablen''' sind additiv bei Systemzusammensetzung: | ||
Gesamtsystem: <math>\Sigma ={{\Sigma }_{1}}+{{\Sigma }_{2}}</math> | Gesamtsystem: <math>\Sigma ={{\Sigma }_{1}}+{{\Sigma }_{2}}</math> | ||
Extensive Variablen: <math>\left\langle M \right\rangle ={{\left\langle M \right\rangle }_{I}}+{{\left\langle M \right\rangle }_{II}}</math> | Extensive Variablen: <math>\left\langle M \right\rangle ={{\left\langle M \right\rangle }_{I}}+{{\left\langle M \right\rangle }_{II}}</math>|Extensive thermodynamische Variablen}} | ||
Beispiele: | Beispiele: | ||
Volumen V | ; V : Volumen V | ||
; U : innere Energie U | |||
; N : Teilchenzahl N | |||
; M : Magnetisierung M | |||
; Q : Elektrische Ladung Q | |||
; ~V : alle Variablen ~ V ( " extension of system") | |||
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'''Definition''' | |||
'''Intensive '''thermodynamische Variablen nehmen bei thermodynamischem Gleichgewicht zwischen 2 Subsystemen den gleichen Wert an: | '''Intensive '''thermodynamische Variablen nehmen bei thermodynamischem Gleichgewicht zwischen 2 Subsystemen den gleichen Wert an: | ||
Intensive Variablen: <math>\lambda ={{\lambda }_{I}}={{\lambda }_{II}}</math> | Intensive Variablen: <math>\lambda ={{\lambda }_{I}}={{\lambda }_{II}}</math>|intensive thermodynamische Variablen}} | ||
( folgt aus verallgemeinerter kanonischer Verteilung). | ( folgt aus verallgemeinerter kanonischer Verteilung). | ||
'''Beispiele: ''' Druck p ( mechanisches Gleichgewicht) | '''Beispiele: ''' | ||
;p:Druck p ( mechanisches Gleichgewicht) | |||
Temperatur T ( thermodynamisches Gleichgewicht) | ;T:Temperatur T ( thermodynamisches Gleichgewicht) | ||
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Subsysteme sind in sich im Gleichgewicht, jedoch nicht untereinander ! | Subsysteme sind in sich im Gleichgewicht, jedoch nicht untereinander ! | ||
== Thermodynamisches Prinzip: == | |||
Zu jeder extensiven thermodynamischen Variable <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | Zu jeder extensiven thermodynamischen Variable <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | ||
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hängt nur vom gegenwärtigen thermodynamischen Zustand, nicht jedoch von der Vorgeschichte ( also von der prozessführung) ab ! | hängt nur vom gegenwärtigen thermodynamischen Zustand, nicht jedoch von der Vorgeschichte ( also von der prozessführung) ab ! | ||
== Verknüpfung der Statistik mit der phänomenologischen Thermodynamik == | |||
( Fundamentalzusammenhang) | ( Fundamentalzusammenhang) | ||
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== Anwendung: Kanonische Verteilung == | |||
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Revision as of 13:50, 1 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Entropie von Gleichgewichtszuständen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=4}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
Einheitliche Notation für klassische Mechanik und QM:
Definition:
Extensive thermodynamische Variablen sind additiv bei Systemzusammensetzung: |
{{#set:Definition=Extensive thermodynamische Variablen|Index=Extensive thermodynamische Variablen}}
Beispiele:
- V
- Volumen V
- U
- innere Energie U
- N
- Teilchenzahl N
- M
- Magnetisierung M
- Q
- Elektrische Ladung Q
- ~V
- alle Variablen ~ V ( " extension of system")
Definition
Intensive thermodynamische Variablen nehmen bei thermodynamischem Gleichgewicht zwischen 2 Subsystemen den gleichen Wert an: |
{{#set:Definition=intensive thermodynamische Variablen|Index=intensive thermodynamische Variablen}}
( folgt aus verallgemeinerter kanonischer Verteilung).
Beispiele:
- p
- Druck p ( mechanisches Gleichgewicht)
- T
- Temperatur T ( thermodynamisches Gleichgewicht)
Allgemein:
heißt thermodynamisch konjugierte intensive Kontaktvariable
Lagrange- Multiplikatoren !
Nebenbemerkung:
Die aus den intensiven Variablen
gebildeten Dichten
sind intensiv !
Aber sind dennoch KEINE thermodynamisch konjugierten Kontaktvariablen !
Satz:
Sind 2 Systeme im Gleichgewicht mit einem 3. System, so sind sie auch untereinander im Gleichgewicht
( " Transitivität")
( folgt aus der Gleichheit der intensiven Parameter)
Absolutes Gleichgewicht: Alle Systeme sind miteinander im Gleichgewicht
Relatives Gleichgewicht ( gehemmtes Gleichgewicht !)
Subsysteme sind in sich im Gleichgewicht, jedoch nicht untereinander !
Thermodynamisches Prinzip:
Zu jeder extensiven thermodynamischen Variable
gibt es eine Wand oder "Hemmung", die bezüglich deren Austausch isolierend ist !
Beispiel: V-> unverschiebbare Wand
T -> isolierende Wand
N-> nichtpermeable Wand
Q-> elektrisch isolierende Wand Ha , Ha !
Explosives Gas:
Gehemmtes Gleichgewicht der chemischen Komponenten bis zur Zündung/ Zugabe eines Katalysators
Einführung einer weiteren extensiven thermodynamischen größe:
Entropie S-> Existenz irreversibler Prozesse
Entropie Postulat
( Clausius , 1860)
Zu jedem isolierten thermodynamischen System gibt es eine eindeutige Zustandsfunktion
, die mit wachsender zeit nicht abnimmt !
Definition Zustandsfunktion
hängt nur vom gegenwärtigen thermodynamischen Zustand, nicht jedoch von der Vorgeschichte ( also von der prozessführung) ab !
Verknüpfung der Statistik mit der phänomenologischen Thermodynamik
( Fundamentalzusammenhang)
Zusammenhang zwischen Entropie und Informationsunkenntnis nach Shannon
S: Entropie
I: fehlende Kenntnis nach Shannon
= Boltzmann- Kosntante
I = Shannon- Information
( kann nach der letzten Messung nicht zunehmen !)
durch das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung:
- statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik !
Eigenschaften der Entropiegrundfunktion
Anwendung: Kanonische Verteilung
Definition der absoluten Temperatur T:
die thermodynamisch konjugierte intensive Variable zu U
- Bei Energieaustausch zwischen 2 Subsystemen ist T im Gleichgewicht gleich !
Quasistatischer Prozess ( reversibel):
Folge von Gleichgewichtszuständen.
Voraussetzung: Zeitskalentrennung zwischen Prozessgeschwindigkeit und Gleichgewichtseinstellung möglich !
Arbeitskoordinaten ( äußere Parameter)
- Extensive thermodynamische Variable, durch die ohne Änderung der materiellen Zusammensetzung von außen auf das System eingewirkt wird:
Beispiel: Volumen V: Gas in Volumen V kann durch Kolben komprimiert werden !
Quasistatisch geleistete Arbeit am System:
also bei Kompression !
p: Druck: instantaner, räumlich homogener Wert, falls Gleichgewichtszustände durchlaufen werden ( quasistatisch).
Druckensemble
das Volumen fluktuiert !
Definition
dann gilt in Übereinstimmung mit der phänomenologischen Thermodynamik:
Dabei:
Erster Hauptsatz der Thermodynamik ( Energieerhaltungssatz)
- Vom System reversibel aufgenommene Wärmemenge
- Vom System quasistatisch geleistete Arbeit
Nebenbemerkung:
Q und W sind keine Zustandsfunktionen, daher keine exakten Funktionale
- Energiezustandsfunktion eines einfachen thermischen Systems U(S,V)
Zur Unterscheidung der Differenziale dU und
dU ist totales ( = exaktes) Differenzial einer Zustandsfunktion
eine Pfaffsche Differenzialform
Exakte Differenziale sind dabei spezielle Differenzialformen:
Es gilt:
Beweis:
" -> "
"<-"
Aus
Also:
- Integrierender Faktor
kein exaktes Differenzial, aber
existiert, so dass
=df exaktes Differenzial, dann heißt
integrierender Faktor:
Zusammenfassung
verallgemeinerte kanonische Verteilung
->
- Entropie
Verallgemeinerte relation zwischen den extensiven Variablen
und dem thermodynamisch konjugierten intensiven Parametern
Gibbsche Fundamentalrelation
- phänomenologische Definition der intensiven Variablen