Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen: Difference between revisions

Revision as of 16:21, 11 September 2010

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__

Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen

Mikrozustände:

Klassischer Zustandsraum $Γ$ mit $ξ \in Γ \subseteq R^{6 N}$ -> quantenmechanischer Zustandsraum $H$ ( Hilbertraum)

| Ψ ⟩ \in H

Basis (vollständiges ONS): $| α ⟩$ mit

\begin{aligned} ⟨ α \overset{´}{} | α ⟩ = δ_{α \overset{´}{} α} \\ \sum_{α}^{} | α ⟩ ⟨ α | = 1 \end{aligned}

Orthonormierung und Vollständigkeit

$| Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩$ Entwicklung

$⟨ \bar{r} | Ψ ⟩ = Ψ (\bar{r})$ Ortsdarstellung der Wellenfunktion

Mikroobservable

Klassische Phasenraumfunktion M: $Γ - > R$ ( Ms kommutieren):

--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch): $\hat{M} : H - > H$ kommutieren im Allgemeinen nicht !

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !

Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen

\Rightarrow | α ⟩

Klassische Messwerte: $M (ξ)$

$M_{α} \in R$ als Eigenwerte im Eigenzustand $| α ⟩$ $\hat{M} | α ⟩ = M_{α} | α ⟩$

Spektraldarstellung{{#set:Fachbegriff=Spektraldarstellung|Index=Spektraldarstellung}}:

\hat{M} | α ⟩ = \sum_{}^{} | α \overset{´}{} ⟩ M_{α} ⟨ α \overset{´}{} | | α ⟩

denn:

\begin{aligned} \hat{M} = \sum_{α}^{} \hat{M} | α ⟩ ⟨ α | = \sum_{α}^{} | α ⟩ M_{α} ⟨ α | \\ | α ⟩ ⟨ α | : = {\hat{P}}_{α} \end{aligned}

Projektionsoperator auf den Zustand Alpha: Observable: Ist das System im Zustand $| α ⟩$

Projektionsoperator{{#set:Fachbegriff=Projektionsoperator|Index=Projektionsoperator}} auf $| α ⟩$

Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung

=reine Zustände

 $| Ψ ⟩$   heißt {{FB|reiner Zustand} (Vektorzustand)

Wahrscheinlichkeit für das Resultat $| α ⟩$ im Zustand $| Ψ ⟩$ (Maximalmessung):

{| ⟨ α | Ψ ⟩ |}^{2} = ⟨ Ψ | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ = ⟨ Ψ | {\hat{P}}_{α} | Ψ ⟩ = P_{α}

Erwartungswert von $\hat{M}$ im Zustand $| Ψ ⟩$ :

⟨ \hat{M} ⟩ = ⟨ Ψ | \hat{M} | Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} ⟨ Ψ | \hat{M} | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ = \sum_{α, α \overset{´}{}}^{} ⟨ Ψ | α \overset{´}{} ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ ⟨ α \overset{´}{} | \hat{M} | α ⟩

Falls $| α ⟩$ Eigenbasis zu $\hat{M}$ :

\begin{aligned} ⟨ \hat{M} ⟩ = ⟨ Ψ | \hat{M} | Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} ⟨ Ψ | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ M_{α} = \\ = \sum_{α}^{} P_{α} M_{α} \end{aligned}

Schreibweise mit Projektor auf Zustand $| Ψ ⟩$ :

\begin{aligned} ⟨ \hat{M} ⟩ = ⟨ Ψ | \hat{M} | Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} ⟨ α | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | \hat{M} | α ⟩ = \sum_{α}^{} ⟨ α | {\hat{P}}_{Ψ} \hat{M} | α ⟩ : = t r ({\hat{P}}_{Ψ} \hat{M}) = t r (\hat{M} {\hat{P}}_{Ψ}) \\ t r \hat{X} : = \sum_{α}^{} ⟨ α | \hat{X} | α ⟩ \end{aligned}

in einer völlig beliebigen Basis $| α ⟩$

Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel: $\begin{aligned} t r \hat{X} : = \sum_{α}^{} ⟨ α | \hat{X} | α ⟩ = \sum_{α, β, β \overset{´}{}}^{} ⟨ α | β ⟩ ⟨ β | \hat{X} | β \overset{´}{} ⟩ ⟨ β \overset{´}{} | α ⟩ = \sum_{β, β}^{} ⟨ β | \hat{X} | β \overset{´}{} ⟩ \sum_{α}^{} ⟨ β \overset{´}{} | α ⟩ ⟨ α | β ⟩ \\ \sum_{α}^{} ⟨ β \overset{´}{} | α ⟩ ⟨ α | β ⟩ = ⟨ β \overset{´}{} | β ⟩ = δ_{β \overset{´}{} β} \\ t r \hat{X} = \sum_{β}^{} ⟨ β | \hat{X} | β ⟩ \end{aligned}$

Also gleich in Basis Alpha wie Beta !

Quantenmechanisches Gemisch

Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7

QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)

Wahrscheinlichkeitsamplitude $⟨ α | Ψ ⟩$

Zusätzliche Statistik

Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand $| Ψ ⟩$
wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !

Basis der Mikrozustände : $| α ⟩$ -> sample set der Zufallsereignisse $P_{α}$ Wahrscheinlichkeitsverteilung

$⟨ \hat{M} ⟩ = \sum_{α}^{} P_{α} ⟨ α | \hat{M} | α ⟩$ Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand $| α ⟩$

$⟨ \hat{M} ⟩ = \sum_{α, β}^{} P_{α} ⟨ α | \hat{M} | β ⟩ ⟨ β | α ⟩ = \sum_{β}^{} \sum_{α}^{} ⟨ β | α ⟩ P_{α} ⟨ α | \hat{M} | β ⟩ = \sum_{β}^{} ⟨ β | \hat{ρ} \hat{M} | β ⟩$

Also: $⟨ \hat{M} ⟩ = t r (\hat{ρ} \hat{M})$

mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix ${\hat{ρ}}_{α β}$ ):

$\hat{ρ} = \sum_{α}^{} | α ⟩ P_{α} ⟨ α | = \sum_{α}^{} P_{α} {\hat{P}}_{α}$

Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !

Summary

Bemerkung:

Reine Zustände -> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden: $\begin{aligned} | Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ \\ ⟨ \hat{M} ⟩ = \sum_{α, α \overset{´}{}}^{} ⟨ Ψ | α ⟩ ⟨ α | \hat{M} | α \overset{´}{} ⟩ ⟨ α \overset{´}{} | Ψ ⟩ \end{aligned}$

mit den quantenmechanischen Phasen $⟨ Ψ | α ⟩, ⟨ α \overset{´}{} | Ψ ⟩$

es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls $\hat{M}$
nicht diagonal in $| α ⟩$

Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen: $\hat{ρ} = \sum_{α}^{} | α ⟩ P_{α} ⟨ α | = \sum_{α}^{} P_{α} {\hat{P}}_{α}$

$⟨ \hat{M} ⟩ = t r (\hat{M} \hat{ρ}) = \sum_{α, β}^{} ⟨ β | \hat{M} | α ⟩ P_{α} ⟨ α | β ⟩ = \sum_{β}^{} P_{β} ⟨ β | \hat{M} | β ⟩$

keine quantenmechanischen Interferenzterme !
-> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !

Normierung des statistischen Operators:

$\begin{aligned} t r \hat{ρ} = \sum_{α, β}^{} ⟨ β | α ⟩ P_{α} ⟨ α | β ⟩ \\ ⟨ α | β ⟩ = δ_{α β} \\ t r \hat{ρ} = \sum_{α}^{} P_{α} = 1 \end{aligned}$

Darstellung reiner Zustände $| Ψ ⟩ : \hat{ρ} = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |$

Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand ! $\begin{aligned} \hat{ρ} = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | = {\hat{P}}_{Ψ} \\ \Rightarrow ⟨ \hat{M} ⟩ = t r (\hat{ρ} \hat{M}) \end{aligned}$

einheitliche Darstellung !! Nebenbemerkung

Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)

Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra $M$ der Observablen:

$\begin{aligned} \hat{ρ} : M \to R \\ \hat{M} \to t r (\hat{ρ} \hat{M}) = ⟨ \hat{M} ⟩ \end{aligned}$

reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !

Informationsmaße

Shannon- Information: $I (ρ) = \sum_{α}^{} P_{α} \ln P_{α} = t r (\hat{ρ} \ln \hat{ρ})$

Nebenbemerkung: $\ln \hat{ρ}$ ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung: $\ln \hat{ρ} = \sum_{α}^{} \ln P_{α} | α ⟩ ⟨ α |$

Informationsgewinn: $K (ρ, ρ \overset{´}{}) = t r [\hat{ρ} (\ln \hat{ρ} - \ln \hat{ρ} \overset{´}{})]$

Eigenschaften wie im klassischen Fall: $K (ρ, ρ \overset{´}{}) = t r [\hat{ρ} (\ln \hat{ρ} - \ln \hat{ρ} \overset{´}{})] \geq 0$

Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator

Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen $K (ρ, ρ \overset{´}{}) = t r [\hat{ρ} (\ln \hat{ρ} - \ln \hat{ρ} \overset{´}{})]$

Voraussetzung: Die reinen Zustände ${\hat{P}}_{α}$ haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit $| α ⟩$ ist durch Maximalmessung gegeben !

$\begin{aligned} \hat{ρ} = \exp (Ψ - λ_{n} {\hat{M}}^{n}) \\ Ψ = - \ln t r (\exp (- λ_{n} {\hat{M}}^{n})) \end{aligned}$

Nebenbemerkung: Die ${\hat{M}}^{n}$ müssen nicht miteinander kommutieren,

aber $\begin{aligned} [{\hat{M}}^{n}, H] = 0 \\ n = 1, . . ., m \end{aligned}$

damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)

Kanonischer Statistischer Operator: $\begin{aligned} \hat{ρ} = Z^{- 1} \exp (- β H) \\ Z = t r (\exp (- β H)) \end{aligned}$

Übung: Berechnung der Fermi / Boseverteilung $⟨ \hat{N} ⟩ = t r (\hat{ρ} \hat{N})$

Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators: $H = \sum_{N = 0}^{\infty} H^{N}$ ( Fock- Raum)

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 * {{FB|Projektionsoperator}} auf <math>\left| \alpha  \right\rangle </math>
-====Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung====
+==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==
+===reine Zustände==
+ <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>  heißt {{FB|reiner Zustand} (Vektorzustand)
-# <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
+Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha  \right\rangle </math> im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math> (Maximalmessung):
-#  heißt reiner Zustand ( Vektorzustand)
-Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha  \right\rangle </math>
-im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
-( Maximalmessung):
-<math>{{\left| \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}=\left\langle  \Psi   |  \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left| \Psi  \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math>
+:<math>{{\left| \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}=\left\langle  \Psi   |  \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left| \Psi  \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math>
-Erwartungswert von <math>\hat{M}</math>
+Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>:
-im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
+:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   |  \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle \left\langle  \alpha \acute{\ } \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle </math>
-:
-<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   |  \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle \left\langle  \alpha \acute{\ } \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle </math>
-Falls <math>\left| \alpha  \right\rangle </math>
+Falls <math>\left| \alpha  \right\rangle </math> Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math>:
-Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math>
+:<math>\begin{align}
-:
-<math>\begin{align}
 & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   |  \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\
 & =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\
 \end{align}</math>
-Schreibweise mit  Projektor auf Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
+Schreibweise mit  Projektor auf Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>:
-:
+:<math>\begin{align}
-<math>\begin{align}
 & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha  \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\
 & tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha  \right|\hat{X}\left| \alpha  \right\rangle  \\
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 Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
+===Quantenmechanisches Gemisch===
-# <u>'''Quantenmechanisches Gemisch'''</u>
 Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7

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Mikrozustände:

Mikroobservable

Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung

=reine Zustände

Quantenmechanisches Gemisch

Summary

Informationsmaße

Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator

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Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung

=reine Zustände

Quantenmechanisches Gemisch

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