Beispiel des Großkanonischen Ensenbles

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

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Der Artikel Beispiel des Großkanonischen Ensenbles basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. A. Knorr|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=4}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__

Illustration am Anhand von $\begin{array}{ll}& G_{\nu }=\{H,N\}\\ & h_{\alpha }=\left\{V\right\}\\ \end{array}$ definiert das großkanonische Ensemble man kannt durch die Wahl sofort R, $S=S_{gk}$

$\begin{array}{ll}& R=\frac{1}{Z}{e}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}\\ & R_{gk}=\frac{1}{Z_{gk}}{e}^{-{\lambda }_{1}H-{\lambda }_{2}N}\end{array}$

oftmals ${\lambda }_1=\beta ,{\lambda }_2=-\beta \mu$

$({\lambda }_1,{\lambda }_2)\to (\beta ,\mu )$

wir zeigen: $\beta =\frac{1}{kT}$ Temperatur taucht auf muss gezeigt werden $\mu$ = Chemisches Potential ist die Energie die man braucht um 1 Teilchen hinzu zufügen

$R_{gk}=\frac{1}{Z}{e}^{-\beta (H-\mu N)}$

Entropie

braucht man um Zustandsgleichung festzulegen

$S=S(⟨G_{\nu }⟩,h_{\alpha })$

$\Rightarrow S_{gk}=S_{gk}(⟨H⟩,⟨N⟩,V)$

$S_{gk}(E,\bar{N},V)=k\beta E-k\beta \mu \bar{N}+k\ln Z_{gk}\left(\beta \mu V\right)$

Formel für Entropie siehe anfang der VL

Lagrangeparameter /Zustandsgleichung

Beziehungen der partiellen Ableitungen aus Gibbsgleichung

$k{\lambda }_{\nu }={\partial }_{⟨G_{\nu }⟩}S;k\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{M}_{\nu ,\alpha }={\partial }_{h_{\alpha }}S$ für $\nu =1$

$k{\lambda }_{\nu }={\partial }_{⟨G_{\nu }⟩}S\Rightarrow k\beta ={\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,\overline{N}};k\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{M}_{\nu ,\alpha }={\partial }_{h_{\alpha }}S\Rightarrow {\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)}_{E,\overline{N}}=-k\beta \mathrm{T}\mathrm{r}\left(\frac{\partial H}{\partial V}R\right)$

$\begin{array}{ll}& k{\lambda }_{\nu }={\partial }_{⟨G_{\nu }⟩}S\Rightarrow k\beta ={\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,\overline{N}\left((\text{V},\text{N sind nicht anzufassen bei der partiellen Ableitung})\right)}\\ & k\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{M}_{\nu ,\alpha }={\partial }_{h_{\alpha }}S\Rightarrow {\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)}_{E,\overline{N}}=-k\beta \mathrm{T}\mathrm{r}\left(\frac{\partial H}{\partial V}R\right)({\partial }_{V}N\to 0)\\ \end{array}$

für $\nu =2$

$\begin{array}{ll}& -k\beta \mu ={\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,\overline{N}}\\ & k{\partial }_V\ln Z_{gk}=k\beta p\Rightarrow p=\frac{1}{\beta }{\partial }_V\ln Z_{gk}\\ \end{array}$

Man hat also Gleichungen für die Lagrangeparameter und die Zustandsgleichung für den Druck gewonnen. Lagrangeparameter noch nicht physikalisch bestimmt!

vorweg genommen

$\begin{array}{ll}& T^{-1}={\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,\overline{N}}\\ & \mu =-T{\left(\frac{\partial S}{\partial \overline{N}}\right)}_{V,E}\\ & p=kT{\partial }_V(\ln Z_{gk})\end{array}$

Temperatur und chemisches Potential

es ist zu zeigen, dass die Temperaturdefinition sinnvoll ist

$T^{-1}=\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)$

sonst darf man es nicht Temeratur nennen

dazu zeigen: ${\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,\overline{N}}$ ist als Eigenschaft bei 2 System die in Konakt über eine Grenzfläche stehen gleich

2 insgesamt Abgeschlossene Systeme, die in Konakt über eine Grenzfläche stehen

System 1	System 2
${\overline{N}}_1,V_1,E_1$	${\overline{N}}_2,V_2,E_2$

$\begin{array}{ll}& E=E_1+E_2\\ & V=V_1+V_2\\ & \overline{N}={\overline{N}}_1+{\overline{N}}_2\\ & S\stackrel{!}{=}{S}_1+S_2\end{array}$

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik

Es existiert eine skalare Größe T (Temperatur) zur Charaktersierung eines Systems; bei Kontakt (und langem Warten) sind die Temperaturen zweier Systeme gleich. anlog Potential, Druck