Multipolstrahlung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Multipolstrahlung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel:

Die retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.

Voraussetzung: Lorentz- Eichung

$\dot{\mathrm{\Phi }}(\overline{r},t)+c^2\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0$

Somit kann aus

$\overline{A}(\overline{r},t)$ dann $\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$

und somit auch

$\overline{E}(\overline{r},t)$

$\overline{B}(\overline{r},t)$

berechnet werden.

1. Näherung:

r>>a ( Ausdehnung der Quelle)

Mit

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r^3}(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+...$

folgt:

$\overline{A}(\overline{r},t)\approx \frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi r}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi r^3}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})$

Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt !

1. Näherung

$\begin{array}{rl}& t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}\approx t-\frac{r}{c}+\frac{\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{}}{cr}+....\\ & t-\frac{r}{c}:=\tau \\ \end{array}$

Diese Näherung sollte gut sein, falls

$\tau >>\frac{\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{}}{cr}\approx \frac{a}{c}$

Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander !

a~ Ausdehnung der Quelle

$\tau$

ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von

$\overline{j}$

Beispielsweise: harmonische Erregung:

$\begin{array}{rl}& \overline{j}\stackrel{~}{}{e}^{i\omega t}\\ & \omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau =\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{ck}=\frac{\lambda }{c}\\ & \Rightarrow a<<\lambda \\ \end{array}$

Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes !

Dann gilt:

$\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\approx \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{r}{c})+\frac{\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{}}{cr}\frac{\partial \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{r}{c})}{\partial (t-\frac{r}{c})}=\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )+\frac{\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{}}{cr}\frac{\partial \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )}{\partial \tau }$

Also folgt für das Vektorpotenzial:

Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}\ne 0$

Mit:

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left(x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)=x_k\stackrel{´}{}\left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)+j_k$

mit der Kontinuitäätsgleichung:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=-\dot{\rho }(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\\ & \Rightarrow {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left(x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)=j_k-x_k\stackrel{´}{}\dot{\rho }(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\\ \end{array}$

und wegen

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left(x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)=0$

(Gauß)

folgt dann:

$\begin{array}{rl}& \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left(x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)=0=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}(j_k-x_k\stackrel{´}{}\dot{\rho }(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau ))\\ & \Rightarrow \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\dot{\rho }(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=:\dot{\overline{p}}\left(\tau \right)\\ \end{array}$

mit dem elektrischen Dipolmoment:

$\overline{p}\left(\tau \right)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )$

Somit für die erste Ordnung:

${\overline{A}}^{(1)}(\overline{r},t)\approx \frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})$

Elektrische Dipolstrahlung

Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)

$\overline{p}\left(t\right)=\overline{p}\left(t_0\right)e^{-i\omega t}$

$\overline{p}$

$\begin{array}{rl}& {\overline{A}}^{(1)}(\overline{r},t)\approx \frac{-i\omega {\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\frac{\overline{p}\left(t_0\right)e^{-i\omega (t-\frac{r}{c})}}{r}=\frac{-i\omega {\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\frac{\overline{p}\left(t_0\right)e^{i(kr-\omega t)}}{r}\\ & k:=\frac{\omega }{c}\\ \end{array}$

Die Kugelwelle !

Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:

$\begin{array}{rl}& \dot{\mathrm{\Phi }}(\overline{r},t)+c^2\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0\\ & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\left[\frac{1}{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\right]\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\left[\frac{1}{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})\right]+{\mathrm{\Phi }}_{stat.}\left(\overline{r}\right)\\ & {\mathrm{\Phi }}_{stat.}\left(\overline{r}\right)=0(obda)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\left[\frac{1}{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})\right]=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}[\frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})+\frac{1}{r^3}\overline{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})]\\ & \frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\stackrel{~}{}\frac{1}{r}\\ & \frac{1}{r^3}\overline{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})\stackrel{~}{}\frac{1}{r^2}\\ \end{array}$

Grenzfälle:

1) Fernzone / Wellenzone:

$\begin{array}{rl}& r>>\lambda >>\left(a\right)\iff kr>>1\iff \frac{\omega }{c}r>>1\\ & \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\overline{p}}\stackrel{~}{}\frac{\omega }{c}\overline{p}>>\frac{\overline{p}}{r}\\ \end{array}$

In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !!

Es gilt die Näherung

$\mathrm{\Phi }{(\overline{r},t)}_{fern}\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})$

2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):

$\begin{array}{rl}& \lambda >>r>>>\left(a\right)\\ & \iff kr<<1\iff \frac{\omega }{c}r<<11\\ & \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\overline{p}}\stackrel{~}{}\frac{\omega }{c}\overline{p}<<\frac{\overline{p}}{r}\\ \end{array}$

Also:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^3}\overline{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})$

Dies kann man noch entwickeln nach

$\overline{p}\left(t\right)$

. dadurch entstehen Terme:

$\frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}\left(t\right)-\frac{1}{r^3}\frac{r}{c}\overline{r}\dot{\overline{p}}\left(t\right)$

Diese kompensieren sich gegenseitig. Also: Die Retardierung kompensiert den

$\dot{\overline{p}}\left(t\right)$

- Term.

Wir schreiben:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^3}\overline{r}\overline{p}\left(t\right)$

in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung

$\mathrm{\Phi }{(\overline{r},t)}_{fern}\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})$

$\begin{array}{rl}& \overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\approx \frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times \frac{1}{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})=\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi c}\frac{1}{r^2}[\ddot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}]+O\left(\frac{1}{r^2}\right)\\ & \overline{E}(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\dot{\overline{A}}(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{1}{r^3}[\ddot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}]\times \overline{r}+O\left(\frac{1}{r^2}\right)\\ \end{array}$

Es gilt:

$\begin{array}{rl}& \overline{B}(\overline{r},t)\times \frac{\overline{r}}{r}=\frac{{\mu }_0}{4\pi c}\frac{1}{r^3}[\ddot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}]\times \overline{r}=\frac{1}{c}\overline{E}(\overline{r},t)\\ & \frac{{\mu }_0}{4\pi c}=\frac{{\mu }_0{\epsilon }_0}{4\pi c{\epsilon }_0}=\frac{1}{4\pi c^3{\epsilon }_0}\\ \end{array}$

F Fazit:

$\overline{r},\overline{E}(\overline{r},t),\overline{B}(\overline{r},t)$

bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander ! Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !!

Nebenbemerkung: In der Nahzone gilt immer noch wegen

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}(\overline{r},t)=0$

, dass r und B senkrecht stehen.

Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind).

Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)

$\begin{array}{rl}& \overline{S}=\overline{E}\times \overline{H}=\frac{-1}{{\mu }_0}\overline{B}\times \overline{E}=\frac{-c}{{\mu }_{0}r}\overline{B}\times (\overline{B}\times \overline{r})=\frac{-c}{{\mu }_{0}r}[(\overline{B}\cdot \overline{r})\overline{B}-B^2\overline{r}]\\ & (\overline{B}\cdot \overline{r})=0\\ & \Rightarrow \overline{S}=\frac{c}{{\mu }_{0}r}{B}^2\overline{r}\\ \end{array}$

$\overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\approx \frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times \frac{1}{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})=\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi c}\frac{1}{r^2}[\ddot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}]+O\left(\frac{1}{r^2}\right)$

Also:

entspricht

$l=1,m=0$

Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:

$\begin{array}{rl}& \overline{p}(t)={\overline{p}}_0{e}^{-i\omega t}\\ & {\left|\ddot{\overline{p}}\right|}^2={{\overline{p}}_0}^2{\omega }^4\\ \end{array}$

Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt ! Nebenbemerkung: Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne

Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung

Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

(mit der Coulomb- Eichung

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=0$

)

mit den Randbedingungen

$\overline{A}(\overline{r})\to 0$

für r→ unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:

Taylorentwicklung nach

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

von analog zum elektrischen Fall: Die Stromverteilung

$\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})$

sei stationär für

$r>>r\stackrel{´}{}$

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r^3}(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+...$

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})+\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+...$

Monopol- Term

Mit

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=x_k\stackrel{´}{}({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))+\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\cdot \left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}{x}_k\stackrel{´}{}\right)$

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=0$

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\cdot \left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}{x}_k\stackrel{´}{}\right)=j_l{\delta }_{kl}=j_k$

Mit

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=j_k$

folgt dann:

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{j}_k(\overline{r}\stackrel{´}{})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }d\overline{f}[x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=0$

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.

Also: Falls

$\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )$

quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A: Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=0\\ & \Rightarrow \dot{\overline{p}}(\tau )=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\dot{\rho }=0\\ & \Rightarrow A^{(1)}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}\dot{\overline{p}}(\tau )\equiv 0\\ \end{array}$

Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung)

Beispiel: geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne):

Mit

$I(t)=I_0{e}^{-i\omega t}$

2. Ordnung:

${\overline{A}}^{(2)}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})(1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau })\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )$

Mit

$\begin{array}{rl}& \left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=\frac{1}{2}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j})\times \overline{r}+\frac{1}{2}[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}+\left(\overline{r}\overline{j}\right)\overline{r}\stackrel{´}{}]\\ & und\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)j_k+x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{j}\right)+x_{k\stackrel{´}{}}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}]\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\\ \end{array}$

Kontinuitätsgleichung Dann folgt integriert:

Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik):

$\overline{\overline{Q}}\left(\tau \right)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )(3\overline{r}\stackrel{´}{}\otimes \overline{r}\stackrel{´}{}-r{\stackrel{´}{}}^2\overline{\overline{1}})=:\widetilde{\overline{\overline{Q}}}-\frac{1}{3}\left(tr\left(\widetilde{\overline{\overline{Q}}}\right)\right)\overline{\overline{1}}$

Falls

$\tilde{Q}\left(\tau \right)$

oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt

$\frac{1}{3}\left(tr\left(\widetilde{\overline{\overline{Q}}}\right)\right)\overline{\overline{1}}$

keinen Beitrag zu

$\overline{E},\overline{B}$

• verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen

→

$\overline{\overline{Q}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}=3\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\overline{r}\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\cdot \overline{r})$

Also:

$\begin{array}{rl}& {\overline{A}}^{(2)}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}(1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau })[\overline{m}\left(\tau \right)\times \overline{r}+\frac{1}{6}\dot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}]\\ & =\frac{{\mu }_0}{4\pi }(\frac{1}{r^3}\overline{m}\times \overline{r}+\frac{1}{c{r}^2}\dot{\overline{m}}\times \overline{r}+\frac{1}{6r^3}\dot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}+\frac{1}{6c{r}^2}\ddot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r})\\ \end{array}$

Mit der magnetischen Dipolstrahlung

$\frac{1}{r^3}\overline{m}\times \overline{r}+\frac{1}{c{r}^2}\dot{\overline{m}}\times \overline{r}$

und elektrischer Quadrupolstrahlung

$\frac{1}{6r^3}\dot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}+\frac{1}{6c{r}^2}\ddot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}$

Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe

$\mathrm{\nabla }\times \frac{1}{r}\overline{m}(t-\frac{r}{c})=\frac{1}{r^3}\overline{m}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}+\frac{1}{c{r}^2}\dot{\overline{m}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}$

schreiben als:

Die magnetische Dipolstrahlung

Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung

$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-c^2\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{{\mu }_0{c}^2}{4\pi }\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \frac{1}{r}\overline{m})\equiv 0\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=!=0\\ \end{array}$

O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:

das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung

Nebenbemerkung

Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung

$\frac{q}{m}$ ist $\overline{p}\stackrel{~}{}\overline{R}$

(Schwerpunkt) und

$\overline{m}\stackrel{~}{}\overline{L}$

( Gesamtdrehimpuls)

$\Rightarrow \dot{\overline{p}}=\dot{\overline{m}}=0$

In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich

vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung