Induktionsgesetz: Difference between revisions
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Die Maxwellgleichung | Die Maxwellgleichung | ||
<math>{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math> | :<math>{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math> | ||
wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand | wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand | ||
<math>\partial F</math> | :<math>\partial F</math> | ||
integriert: | integriert: | ||
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& \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\left( {{\nabla }_{r}}\times \bar{E} \right)=-\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\dot{\bar{B}} \\ | & \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\left( {{\nabla }_{r}}\times \bar{E} \right)=-\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\dot{\bar{B}} \\ | ||
& \Rightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B} \\ | & \Rightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B} \\ | ||
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Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung | Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung | ||
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& \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t) \\ | & \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t) \\ | ||
& \Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A} \\ | & \Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A} \\ | ||
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Der magnetische Fluß | Der magnetische Fluß | ||
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der Fläche ab ! | der Fläche ab ! | ||
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& \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}-\int_{F\acute{\ }}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | & \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}-\int_{F\acute{\ }}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | ||
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Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um | Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um | ||
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<math>\Delta \Phi :=-\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}</math> | :<math>\Delta \Phi :=-\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}</math> | ||
Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld) | Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld) | ||
Somit folgt das | Somit folgt das | ||
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Faradaysche Induktionsgesetz: | Faradaysche Induktionsgesetz: | ||
<math>\Delta \Phi =\frac{\partial }{\partial t}{{\Phi }_{mag}}</math> | :<math>\Delta \Phi =\frac{\partial }{\partial t}{{\Phi }_{mag}}</math> | ||
mit dem magnetischen Fluß | mit dem magnetischen Fluß | ||
<math>{{\Phi }_{mag}}</math> | :<math>{{\Phi }_{mag}}</math> | ||
<u>'''Die Lenzsche Regel:'''</u> | <u>'''Die Lenzsche Regel:'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \dot{\bar{B}}\to \bar{E} \\ | & \dot{\bar{B}}\to \bar{E} \\ | ||
& \nabla \times \bar{E}=-\bar{B} \\ | & \nabla \times \bar{E}=-\bar{B} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> induziert <math>\bar{E}\to \bar{j}\tilde{\ }\bar{E}</math> | ||
induziert | |||
<math>\bar{E}\to \bar{j}\tilde{\ }\bar{E}</math> | |||
Ladungsverschiebung/- Bewegung | Ladungsverschiebung/- Bewegung | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{j}\to \bar{H} \\ | & \bar{j}\to \bar{H} \\ | ||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}=\bar{j} \\ | & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}=\bar{j} \\ | ||
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erzeugt | erzeugt | ||
Also: | Also: | ||
<math>\bar{H}</math> | :<math>\bar{H}</math> ist <math>\dot{\bar{B}}</math> | ||
ist | |||
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entgegengerichtet ! | entgegengerichtet ! | ||
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<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)</math> | :<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)</math> | ||
Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses: | Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses: | ||
<math>\Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A}</math> | :<math>\Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A}</math> | ||
<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=0</math> | :<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=0</math> | ||
Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL | Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL | ||
<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{E}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | :<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{E}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | ||
Der Fluß des elektrischen Feldes durch | Der Fluß des elektrischen Feldes durch | ||
<math>\partial V</math> | :<math>\partial V</math> | ||
ist gleich der eingeschlossenen Ladung | ist gleich der eingeschlossenen Ladung | ||
<math>\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | :<math>\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | ||
<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{H}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}+I</math> | :<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{H}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}+I</math> | ||
Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom | Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom | ||
<math>\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}</math> | :<math>\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}</math> | ||
und dem Konvektionsstrom | und dem Konvektionsstrom | ||
<math>I=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{j}</math> | :<math>I=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{j}</math> |
Revision as of 17:54, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Induktionsgesetz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=3}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Die Maxwellgleichung
wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand
integriert:
Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest !
Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung
Der magnetische Fluß !
Der magnetische Fluß
hängt nur vom Rand
der Fläche ab !
Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :
Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um
beträgt:
Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld) Somit folgt das
Faradaysche Induktionsgesetz:
mit dem magnetischen Fluß
Die Lenzsche Regel:
Ladungsverschiebung/- Bewegung
erzeugt Also:
entgegengerichtet !
Zusammenfassung
Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:
Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL
Der Fluß des elektrischen Feldes durch
ist gleich der eingeschlossenen Ladung
Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom
und dem Konvektionsstrom