Stabilität und Langzeitverhalten: Difference between revisions
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
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'''Fixpunkte ''' | '''Fixpunkte ''' | ||
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'''des autonomen dynamischen Systems ''' | '''des autonomen dynamischen Systems ''' | ||
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heißt stabil ( auch : Ljapunov- stabil), wenn zu jeder Umgebung U von | heißt stabil ( auch : Ljapunov- stabil), wenn zu jeder Umgebung U von | ||
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eine Umgebung V von | eine Umgebung V von | ||
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existiert, so dass: | existiert, so dass: | ||
<math>\bar{x}\in V\Rightarrow \varphi (\bar{x},t)\in U\quad \forall t\ge 0</math> | :<math>\bar{x}\in V\Rightarrow \varphi (\bar{x},t)\in U\quad \forall t\ge 0</math> | ||
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heißt asymptotisch stabil ( auch : Ljapunov- stabil), wenn zu | heißt asymptotisch stabil ( auch : Ljapunov- stabil), wenn zu | ||
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eine Umgebung U und eine Umgebung U´ von | eine Umgebung U und eine Umgebung U´ von | ||
<math>\bar{x}*</math> | :<math>\bar{x}*</math> | ||
existiert, so dass: | existiert, so dass: | ||
<math>\varphi (U,{{t}_{2}})\in U\acute{\ }\subset \varphi (U,{{t}_{1}})\in U\quad f\ddot{u}r\ {{t}_{2}}>{{t}_{1}}\ge 0</math> und <math>\begin{matrix} | :<math>\varphi (U,{{t}_{2}})\in U\acute{\ }\subset \varphi (U,{{t}_{1}})\in U\quad f\ddot{u}r\ {{t}_{2}}>{{t}_{1}}\ge 0</math> und <math>\begin{matrix} | ||
\lim \\ | \lim \\ | ||
t\to \infty \\ | t\to \infty \\ | ||
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Das heißt anschaulich: Die Umgebung U schrumpft mit wachsendem t auf | Das heißt anschaulich: Die Umgebung U schrumpft mit wachsendem t auf | ||
<math>\bar{x}*</math> | :<math>\bar{x}*</math> | ||
zusammen. Das heißt: Phasenraumvolumina schrumpfen. | zusammen. Das heißt: Phasenraumvolumina schrumpfen. | ||
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Wenn | Wenn | ||
<math>\bar{x}*</math> | :<math>\bar{x}*</math> | ||
stabil ist, dann hat keiner der Eigenwerte der Jacobimatrix | stabil ist, dann hat keiner der Eigenwerte der Jacobimatrix | ||
<math>{{(DF)}_{\bar{x}*}}</math> | :<math>{{(DF)}_{\bar{x}*}}</math> | ||
einen positiven Realteil | einen positiven Realteil | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left( \begin{matrix} | & \left( \begin{matrix} | ||
\delta {{{\dot{x}}}_{1}} \\ | \delta {{{\dot{x}}}_{1}} \\ | ||
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Eigenwertgleichung: | Eigenwertgleichung: | ||
<math>\det (A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left| \left( \begin{matrix} | :<math>\det (A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left| \left( \begin{matrix} | ||
{{a}_{11}}-\lambda & {{a}_{12}} \\ | {{a}_{11}}-\lambda & {{a}_{12}} \\ | ||
{{a}_{21}} & {{a}_{22}}-\lambda \\ | {{a}_{21}} & {{a}_{22}}-\lambda \\ | ||
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Somit: | Somit: | ||
<math>{{\lambda }_{1/2}}=\frac{1}{2}\left( trA\pm \sqrt{{{\left( trA \right)}^{2}}-4\det A} \right)</math> mit <math>trA=\sum\limits_{i}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{i}}}=div\bar{F}}</math> | :<math>{{\lambda }_{1/2}}=\frac{1}{2}\left( trA\pm \sqrt{{{\left( trA \right)}^{2}}-4\det A} \right)</math> mit <math>trA=\sum\limits_{i}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{i}}}=div\bar{F}}</math> | ||
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<math>{{\left( trA \right)}^{2}}<4\det A</math> | :<math>{{\left( trA \right)}^{2}}<4\det A</math> | ||
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& {{\lambda }_{1/2}}=-{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\ | & {{\lambda }_{1/2}}=-{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\ | ||
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<math>{{\left( trA \right)}^{2}}>4\det A</math> | :<math>{{\left( trA \right)}^{2}}>4\det A</math> | ||
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& {{\lambda }_{1/2}}<0 \\ | & {{\lambda }_{1/2}}<0 \\ | ||
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& {{\lambda }_{1/2}}>0 \\ | & {{\lambda }_{1/2}}>0 \\ | ||
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& {{\lambda }_{1}}>0 \\ | & {{\lambda }_{1}}>0 \\ | ||
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& {{\lambda }_{1/2}}=\pm i\omega \\ | & {{\lambda }_{1/2}}=\pm i\omega \\ | ||
& {{\lambda }_{1/2}}\in I \\ | & {{\lambda }_{1/2}}\in I \\ | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \dot{\bar{x}}:=J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\ | & \dot{\bar{x}}:=J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\ | ||
& \Leftrightarrow {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}},{{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ | & \Leftrightarrow {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}},{{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ | ||
Line 227: | Line 227: | ||
'''Linearisierung zum Fixpunkt ''' | '''Linearisierung zum Fixpunkt ''' | ||
<math>\bar{x}*</math> | :<math>\bar{x}*</math> | ||
: | : | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \delta \bar{x}:=\bar{x}-\bar{x}* \\ | & \delta \bar{x}:=\bar{x}-\bar{x}* \\ | ||
& \delta \dot{\bar{x}}=A\delta \bar{x} \\ | & \delta \dot{\bar{x}}=A\delta \bar{x} \\ | ||
Line 240: | Line 240: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& trA=div\bar{F}=\sum\limits_{k=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)=}0 \\ | & trA=div\bar{F}=\sum\limits_{k=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)=}0 \\ | ||
& trA=0=\sum\limits_{i=1}^{2f}{{{\lambda }_{i}}} \\ | & trA=0=\sum\limits_{i=1}^{2f}{{{\lambda }_{i}}} \\ | ||
Line 251: | Line 251: | ||
'''Beweis: '''Asymptotische Stabilität nur, wenn alle | '''Beweis: '''Asymptotische Stabilität nur, wenn alle | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}<0 \\ | & \operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}<0 \\ | ||
& \Rightarrow trA=\sum\limits_{i}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}+\sum\limits_{i}{\operatorname{Im}{{\lambda }_{i}}} \\ | & \Rightarrow trA=\sum\limits_{i}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}+\sum\limits_{i}{\operatorname{Im}{{\lambda }_{i}}} \\ | ||
Line 258: | Line 258: | ||
aber: | aber: | ||
<math>\sum\limits_{i}{\operatorname{Im}{{\lambda }_{i}}}</math> | :<math>\sum\limits_{i}{\operatorname{Im}{{\lambda }_{i}}}</math> | ||
besteht aus komplex konjugierten Paaren, da die Eigenwertgleichung reell ist ! | besteht aus komplex konjugierten Paaren, da die Eigenwertgleichung reell ist ! | ||
Somit gilt jedoch | Somit gilt jedoch | ||
<math>trA=\sum\limits_{i}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}<0</math> | :<math>trA=\sum\limits_{i}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}<0</math> | ||
, was ein Widerspruch zur Voraussetzung für asymptotische Stabilität, mit trA=0 | , was ein Widerspruch zur Voraussetzung für asymptotische Stabilität, mit trA=0 | ||
Line 268: | Line 268: | ||
'''Nicht asymptotische Stabilität nur wenn ''' | '''Nicht asymptotische Stabilität nur wenn ''' | ||
<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}\le 0</math> | :<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}\le 0</math> | ||
, also kein | , also kein | ||
<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}>0</math> | :<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}>0</math> | ||
Aus genannten Gründen kann dann aber nur | Aus genannten Gründen kann dann aber nur | ||
<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}=0\quad \forall i</math> | :<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}=0\quad \forall i</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math> | :<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math> | ||
Line 286: | Line 286: | ||
In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren ( falls det A > 0 -> | In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren ( falls det A > 0 -> | ||
<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math> | :<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math> | ||
) oder Sattelpunkte | ) oder Sattelpunkte | ||
( falls detA <0 -> | ( falls detA <0 -> | ||
<math>{{\lambda }_{1}}>0,{{\lambda }_{2}}<0,{{\lambda }_{i}}\in R</math> | :<math>{{\lambda }_{1}}>0,{{\lambda }_{2}}<0,{{\lambda }_{i}}\in R</math> | ||
) sein ! | ) sein ! | ||
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<u>oBdA: </u> | <u>oBdA: </u> | ||
<math>0<{{J}_{1}}<{{J}_{2}}<{{J}_{3}}</math> | :<math>0<{{J}_{1}}<{{J}_{2}}<{{J}_{3}}</math> | ||
Folgende sind die Eulerschen Gleichungen für | Folgende sind die Eulerschen Gleichungen für | ||
<math>{{\omega }_{i}}</math> | :<math>{{\omega }_{i}}</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{J}_{1}}{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{2}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\ | & {{J}_{1}}{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{2}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\ | ||
& {{J}_{2}}{{{\dot{\omega }}}_{2}}=\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\ | & {{J}_{2}}{{{\dot{\omega }}}_{2}}=\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\ | ||
Line 316: | Line 316: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{{\dot{\omega }}}_{1}}=-\frac{\left( {{J}_{3}}-{{J}_{2}} \right)}{{{J}_{1}}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{k}_{1}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\ | & {{{\dot{\omega }}}_{1}}=-\frac{\left( {{J}_{3}}-{{J}_{2}} \right)}{{{J}_{1}}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{k}_{1}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\ | ||
& {{{\dot{\omega }}}_{2}}=\frac{\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right)}{{{J}_{2}}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}={{k}_{2}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\ | & {{{\dot{\omega }}}_{2}}=\frac{\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right)}{{{J}_{2}}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}={{k}_{2}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\ | ||
Line 326: | Line 326: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{\varpi }{{*}^{(1)}}=\left( \begin{matrix} | & \bar{\varpi }{{*}^{(1)}}=\left( \begin{matrix} | ||
\omega & 0 & 0 \\ | \omega & 0 & 0 \\ | ||
Line 344: | Line 344: | ||
<math>{{\dot{\omega }}_{1}}={{\dot{\omega }}_{2}}={{\dot{\omega }}_{3}}=0</math> | :<math>{{\dot{\omega }}_{1}}={{\dot{\omega }}_{2}}={{\dot{\omega }}_{3}}=0</math> | ||
Line 350: | Line 350: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | :<math>\left( \begin{matrix} | ||
\delta {{{\dot{\omega }}}_{1}} \\ | \delta {{{\dot{\omega }}}_{1}} \\ | ||
\delta {{{\dot{\omega }}}_{2}} \\ | \delta {{{\dot{\omega }}}_{2}} \\ | ||
Line 370: | Line 370: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{\varpi }{{*}^{(1)}}:{{\varpi }_{1}}=\varpi ,{{\varpi }_{2}}=0,{{\varpi }_{3}}=0 \\ | & \bar{\varpi }{{*}^{(1)}}:{{\varpi }_{1}}=\varpi ,{{\varpi }_{2}}=0,{{\varpi }_{3}}=0 \\ | ||
& 0=\det (A-\lambda 1)=\left| \begin{matrix} | & 0=\det (A-\lambda 1)=\left| \begin{matrix} | ||
Line 384: | Line 384: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{\varpi }{{*}^{(2)}}=\left( \begin{matrix} | & \bar{\varpi }{{*}^{(2)}}=\left( \begin{matrix} | ||
0 & \omega & 0 \\ | 0 & \omega & 0 \\ | ||
Line 400: | Line 400: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{\varpi }{{*}^{(3)}}=\left( \begin{matrix} | & \bar{\varpi }{{*}^{(3)}}=\left( \begin{matrix} | ||
0 & 0 & \omega \\ | 0 & 0 & \omega \\ | ||
Line 420: | Line 420: | ||
Hier folgt aus | Hier folgt aus | ||
<math>trA=div\bar{F}=0</math> | :<math>trA=div\bar{F}=0</math> | ||
der Satz von Liouville ( § 4.5) | der Satz von Liouville ( § 4.5) | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{V}_{t}}=\int_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}x}=\int_{{{U}_{t}}_{0}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det D{{\Phi }_{t}}({{{\bar{x}}}_{0}})=\int_{{{U}_{t}}_{0}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left[ 1+(t-{{t}_{0}})\sum\limits_{i=1}^{2f}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}+...} \right] \\ | & {{V}_{t}}=\int_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}x}=\int_{{{U}_{t}}_{0}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det D{{\Phi }_{t}}({{{\bar{x}}}_{0}})=\int_{{{U}_{t}}_{0}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left[ 1+(t-{{t}_{0}})\sum\limits_{i=1}^{2f}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}+...} \right] \\ | ||
& \sum\limits_{i=1}^{2f}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}={{\left( div\bar{F} \right)}_{{{{\bar{x}}}_{0}}}}} \\ | & \sum\limits_{i=1}^{2f}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}={{\left( div\bar{F} \right)}_{{{{\bar{x}}}_{0}}}}} \\ | ||
Line 439: | Line 439: | ||
Für '''dissipative '''Systeme gilt für kleine Volumiona, die einen asymptotisch stabilen Fixpunkt | Für '''dissipative '''Systeme gilt für kleine Volumiona, die einen asymptotisch stabilen Fixpunkt | ||
<math>\bar{x}*</math> | :<math>\bar{x}*</math> | ||
umschließen: | umschließen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{d{{V}_{t}}}{dt}\approx \int_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}x}{{\left( div\bar{F} \right)}_{\bar{x}*}}=\Lambda {{V}_{t}} \\ | & \frac{d{{V}_{t}}}{dt}\approx \int_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}x}{{\left( div\bar{F} \right)}_{\bar{x}*}}=\Lambda {{V}_{t}} \\ | ||
& \Rightarrow V(t)={{e}^{\Lambda t}}{{V}_{0}} \\ | & \Rightarrow V(t)={{e}^{\Lambda t}}{{V}_{0}} \\ | ||
Line 450: | Line 450: | ||
Mit der Phasenraumkontraktionsrate | Mit der Phasenraumkontraktionsrate | ||
<math>\Lambda :=div\bar{F}<0</math> wegen <math>div\bar{F}=\sum\limits_{i}^{{}}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}<0</math> | :<math>\Lambda :=div\bar{F}<0</math> wegen <math>div\bar{F}=\sum\limits_{i}^{{}}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}<0</math> | ||
, da sonst der Fixpunkt nicht stabil wäre ( Voraussetzung). | , da sonst der Fixpunkt nicht stabil wäre ( Voraussetzung). | ||
Line 460: | Line 460: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \dot{x}=-\sigma x+\sigma y \\ | & \dot{x}=-\sigma x+\sigma y \\ | ||
& \dot{y}=-zx-xz+rz-y \\ | & \dot{y}=-zx-xz+rz-y \\ | ||
Line 472: | Line 472: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& A=\left( \begin{matrix} | & A=\left( \begin{matrix} | ||
-\sigma & \sigma & 0 \\ | -\sigma & \sigma & 0 \\ | ||
Line 500: | Line 500: | ||
Sei | Sei | ||
<math>\bar{F}</math> | :<math>\bar{F}</math> | ||
ein vektorfeld auf | ein vektorfeld auf | ||
<math>M={{R}^{n}}</math> | :<math>M={{R}^{n}}</math> | ||
. Eine abgeschlossene, unter dem Fluß | . Eine abgeschlossene, unter dem Fluß | ||
<math>{{\Phi }_{t}}</math> invariante <math>{{\Phi }_{t}}(A)\subseteq A</math> | :<math>{{\Phi }_{t}}</math> invariante <math>{{\Phi }_{t}}(A)\subseteq A</math> | ||
, unzerlegbare Teilmenge | , unzerlegbare Teilmenge | ||
<math>A\subset M</math> | :<math>A\subset M</math> | ||
heißt Attraktor, falls: | heißt Attraktor, falls: | ||
# | # | ||
<math>A\subset {{U}_{0}}</math> | :<math>A\subset {{U}_{0}}</math> | ||
(offene Umgebung von A) mit | (offene Umgebung von A) mit | ||
<math>{{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subseteq {{U}_{0}}</math> | :<math>{{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subseteq {{U}_{0}}</math> | ||
(t>0) | (t>0) | ||
# | # | ||
<math>\forall V</math> mit <math>A\subset V\subset {{U}_{0}}</math> | :<math>\forall V</math> mit <math>A\subset V\subset {{U}_{0}}</math> | ||
<math>\exists T>0</math> | :<math>\exists T>0</math> | ||
, so dass | , so dass | ||
<math>{{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subset V</math> | :<math>{{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subset V</math> | ||
(t>T) | (t>T) | ||
Das heißt, es existiert ein Attraktorbecken Uo, aus dem der Fluß asymptotisch in den Attraktor A läuft : | Das heißt, es existiert ein Attraktorbecken Uo, aus dem der Fluß asymptotisch in den Attraktor A läuft : |
Revision as of 17:28, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Stabilität und Langzeitverhalten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=7|Abschnitt=2}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Hier soll eine allgemeinere Definition von Stabilität gegeben werden.
Fixpunkte
des autonomen dynamischen Systems
Definition:
heißt stabil ( auch : Ljapunov- stabil), wenn zu jeder Umgebung U von
eine Umgebung V von
existiert, so dass:
Definition:
heißt asymptotisch stabil ( auch : Ljapunov- stabil), wenn zu
eine Umgebung U und eine Umgebung U´ von
existiert, so dass:
Das heißt anschaulich: Die Umgebung U schrumpft mit wachsendem t auf
zusammen. Das heißt: Phasenraumvolumina schrumpfen.
asymptotisch stabile Fixpunkte treten somit nur in nicht hamiltonschen Systemen ( also bei nicht alleine konservativen Kräften) auf. ( Vergl. Kapitel 4.5: Satz von Liouville)
Def.: Ein dynamisches System heißt dissipativ, wenn Phasenraumvolumina schrumpfen.
Lokales Kriterium für Stabilität
Wenn
stabil ist, dann hat keiner der Eigenwerte der Jacobimatrix
einen positiven Realteil
Beispiel: Fixpunkt a) des Pendels mit / ohne Reibung, also der Fixpunkt mit Winkel und Ort =0, x1=x2=0
Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität:
Alle Eigenwerte haben negative Realteile
Somit wird die Lösung für die Störung für unendliche Zeit beliebig klein und divergiert nicht. Imaginärteile sind oszillierend und damit irrelevant für die Stabilität. Sie geben an, in welcher Zeit die Annäherung an den Fixpunkt ( falls vorhanden) erfolgt.
Beispiel für Instabilität: Fixpunkte b)
Allgemeines System mit n=2:
Linearisierung
Eigenwertgleichung:
Somit:
Fallunterscheidung
Stabiler Fokus ( Strudelpunkt)
detA>0
trA<0
Dies ist eine gedämpfte Schwingung im Phasenraum. Die Phasenraumkruve ist eine elliptische Spirale:
Instabiler Fokus
detA>0
trA>0
Dies ist eine entdämpfte Schwingung. Die Phasenraumkurve ist ebenfalls eine elliptische Spirale, die jedoch in positiver Zeitrichtung nach Außen durchlaufen wird. Damit tr A >0 muss dem System von Außen zugeführt werden ( Beispiel: "negative Reibung"):
Stabiler Knoten
detA>0
trA<0
Dies ist ein exponenzieller Zerfall. Fast alle Trajektorien nähern sich dabei entlang des Eigenvektors, der zum betragsmäßig kleineren Eigenwert gehört. Weil hier das "Kriechen" zum Fixpunkt, also der Zerfall langsamer stattfindet:
Instabiler Knoten
detA>0
trA>0
Das System ist exponenziell entdämpft.
Sattelpunkt
detA>0
Summary:
Grenze zwischen den 5 Bereichen: entartete Fälle:
- in diesem Fall versagt die lineare Stabilitätsanalyse völlig. Es ist nötig, höhere Terme der Taylorentwicklung um den Fixpunkt zu betrachten.
Beispiel:
trA=0
detA>0
Dies kann ZENTRUM sein, also der Mittelpunkt der Phasenraumtrajektorien, die ungedämpfte Schwingungen beschreiben ( energieabhängige, aber unveränderliche Ellipsen).
Dieses Zentrum ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil !
Vergleiche: ungedämpfter Oszillator.
Es kann sich aber auch um einen schwach stabilen oder instabilen Fokus handeln ( der dann auch asymptotisch stabil ist)
- es sind in diesem Fall auch qualitative Änderungen im Verhalten des Flusses möglich ( Bifurkationen = Verzweigungen der Lösungsmannigfaltigkeit)
Speziell: Hamiltonsche Vektorfelder:
Linearisierung zum Fixpunkt
Möglichkeit zur asymptotischen Stabilität
Wegen trA=0 folgt Keine asymptotische Stabilität möglich.
Beweis: Asymptotische Stabilität nur, wenn alle
aber:
besteht aus komplex konjugierten Paaren, da die Eigenwertgleichung reell ist !
Somit gilt jedoch
, was ein Widerspruch zur Voraussetzung für asymptotische Stabilität, mit trA=0
Nicht asymptotisch Stabilität
Nicht asymptotische Stabilität nur wenn
, also kein
Aus genannten Gründen kann dann aber nur
Also:
Also: Zentrum, reine Oszillationen, keine Dämpfung oder Unterdämpfung
Fall f=1 -> n=2
In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren ( falls det A > 0 ->
) oder Sattelpunkte
( falls detA <0 ->
) sein !
Beispiel zur Stabilität
Der kräftefreie unsymmetrische Kreisel
oBdA:
Folgende sind die Eulerschen Gleichungen für
Somit:
Die Fixpunkte seien:
Also: Rotation um x1, x2, bzw x3- Achse.
Diese drei Fixpunkte erfüllen die Gleichung:
Linearisierung zum Fixpunkt:
Der Fixpunkt ist also stabil ( Zentrum)
Der Fixpunkt ist instabil ( Sattelpunkt)
- Fixpunkt stabil ( Zentrum)
Fazit: Bei asymmetrischen Kreiseln ist nur die Rotation um die Achse zum größten und zum kleinsten Trägheitsmoment stabil !
Hamiltonsche Systeme
Hier folgt aus
der Satz von Liouville ( § 4.5)
Das heißt: Die Phasenraumvolumina sind erhalten, der Fluß ist inkompressibel !
Für dissipative Systeme gilt für kleine Volumiona, die einen asymptotisch stabilen Fixpunkt
umschließen:
Mit der Phasenraumkontraktionsrate
, da sonst der Fixpunkt nicht stabil wäre ( Voraussetzung).
Allgemien gilt:
Def.: Dissipative Systeme sind solche, die Phasenraumvolumina kontrahieren. Asymptotisch stabile Fixpunkte (Knoten und Fokus, jeweils stabil), heißen SENKEN oder ATTRAKTOREN im Phasenraum.
Beispiel für ein dissipatives System: LORENZMODELL ( 1963)
Dies leitet sich ab aus der Temperatur- und Strömungsverteilung einer inkompressiblen Flüssigkeit: Das Rayleigh - Bénard- System
Linearisierung:
Phasenraumvolumina schrumpfen also monoton!
Das Lorenzmodell produziert weiterhin chaotisch Lösungen:
Der Stereoplot eines numerisch bestimmten Attraktors im Phasenraum liefert folgendes Bild:
Dies ist so zu verstehen, dass sich die Phasenraumkurven, die sich übrigens nie schneiden ! im Raum dieses Attraktors konzentrieren:
Insbesondere enden gleich Anfangszustände immer wieder am selben Attraktor.
Das Langzeitverhalten dissipativer Systeme wird durch Attraktoren bestimmt:
Def.:
Sei
ein vektorfeld auf
. Eine abgeschlossene, unter dem Fluß
, unzerlegbare Teilmenge
heißt Attraktor, falls:
(offene Umgebung von A) mit
(t>0)
, so dass
(t>T) Das heißt, es existiert ein Attraktorbecken Uo, aus dem der Fluß asymptotisch in den Attraktor A läuft :
Nebenbemerkung: Es kann grundsätzlich mehrere koexistierende Attraktoren auf M geben !
Ein Attraktor von heißt fraktal , wenn er weder eine endliche Anzahl von Punkten, eine stückweise differenzierbare Kurve oder Fläche noch eine Menge, die von einer geschlossenen stückweise differenzierbaren Fläche umgeben wird, darstellt. Ein Attraktor heißt seltsam , wenn er chaotisch, fraktal oder beides ist. Die Begriffe chaotisch, fraktal und seltsam werden für kompakte invariante Mengen, die keine Attraktoren sind, analog benutzt. Ein dynamisches System heißt chaotisch , wenn es eine kompakte invariante chaotische Menge besitzt.
Beispiele für Attraktoren:
Stabiler Fixpunkt:
Mindestdimension des Phasenraumes: 1
Dimension des Attraktors: 0
Stabiler Grenzzyklus:
Mindestdimension des Phasenraumes: 2
Dimension des Attraktors: 1
periodische Bewegung im Phasenraum
Stabiler Torus T²
Mindestdimension des Phasenraumes: 3
Dimension des Attraktors: 2
quasiperiodische Bewegung im Phasenraum
Seltsamer Attraktor
Mindestdimension des Phasenraumes: 3
Dimension des Attraktors: 2<D<3 ( fraktaldimensional)
chaotische Bewegung im Phasenraum