Deterministisches Chaos

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Deterministisches Chaos basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit

$n\geq 3$

(autonom):

Seltsamer (chaotischer) Attraktor

komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.

Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:

quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen

wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-

niedrigdimensionaler Phasenraum grade. (Statistisches Ensemble)

Attraktor: Torus

${{T}^{d}}$

d=2,3,4,...	seltsamer Attraktor, fraktale Dimension

$f{\tilde {\ }}{{10}^{24}}$ Autokorrelationsfunktion $\left\langle x(t)x(t+\tau )\right\rangle :={\begin{matrix}\lim \\T\to \infty \\\end{matrix}}{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }$

periodisch in

$\tau$

$\to 0$

für

$\tau \to \infty$

$=0$

für

$\tau >{{\tau }_{c}}$

Fourierspektrum (bzw. Leistungsspektrum):

$S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau )\right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }$

diskrete Frequenzen

${{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...$

b r e i t e s F r e q u e n z b a n d

Instabilität der Bewegung bei kleinen

Störungen der Anfangsbedingungen

typische universelle

Bifurkationszenarien

Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.

Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:

Bahnstabilität / Orbitale Stabilität

bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer

$\varepsilon$

- Röhre um

$\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})$

Aymptotisch bahnstabil:

Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t→ unendlich

Ljapunov- stabil

Für DASSELBE t gilt:

$\left|\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})-\Phi (t,{{\bar {y}}_{0}})\right|\to 0$

für t→ unendlich (t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve

$\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})$

${\begin{aligned}&\delta {{\dot {x}}_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{}{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}({\bar {x}}(t),t)\delta {{x}_{k}}\\&{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}({\bar {x}}(t),t):={{A}_{ik}}(t)\\\end{aligned}}$

Dabei:

${{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)$

Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren

${{\bar {\xi }}^{(k)}}(t)$

Formale Lösung:

$\delta {\bar {x}}(t)={{e}^{\int _{0}^{t}{dt{\acute {\ }}A(t{\acute {\ }})}}}\delta {\bar {x}}(0)$

Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um

${{\bar {x}}_{0}}$,

also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen

${{p}_{k}}(t){\tilde {\ }}{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}$

Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten

${{\bar {\lambda }}_{k}}:={\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\ {\frac {1}{t}}\ln {\frac {{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}}$

Nebenbemerkung: Sei

$\lambda$

der führende (größte) Ljapunov- Exponent

$\lambda :={\begin{matrix}\lim \ \sup \\t\to \infty \\\end{matrix}}\ {\frac {1}{t}}\ln \left|{\bar {x}}(t)-{\bar {y}}(t)\right|$

$\Rightarrow$

$\left|\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})-\Phi (t,{{\bar {y}}_{0}})\right|{\tilde {\ }}{{e}^{\lambda t}}$

Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit

${{e}^{\lambda t}}$.

Für

$\lambda$

<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft

$\lambda$

>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander (Kriterium für Chaos)

Für den chaotischen Attraktor im

${{R}^{3}}$

gilt:

Auf dem Attraktor:

${{\bar {\lambda }}_{1}}>0$

auf dem Attraktor: chaotische Bewegung

${{\bar {\lambda }}_{2}}=0$

Bifurkationspunkte

${{\bar {\lambda }}_{3}}<0$

Von außen Annäherung an den Attraktor (Abstand verringert sich exponenziell).

Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: