Deterministisches Chaos: Difference between revisions
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Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit | Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit | ||
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( autonom): | ( autonom): | ||
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Attraktor: Torus | Attraktor: Torus | ||
<math>{{T}^{d}}</math> | :<math>{{T}^{d}}</math> | ||
d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension | d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension | ||
<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math> Autokorrelationsfunktion <math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix} | :<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math> Autokorrelationsfunktion <math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix} | ||
\lim \\ | \lim \\ | ||
T\to \infty \\ | T\to \infty \\ | ||
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periodisch in | periodisch in | ||
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für | für | ||
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für | für | ||
<math>\tau >{{\tau }_{c}}</math> | :<math>\tau >{{\tau }_{c}}</math> | ||
: Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum): | : Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum): | ||
<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math> | :<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math> | ||
diskrete Frequenzen | diskrete Frequenzen | ||
<math>{{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...</math> | :<math>{{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...</math> | ||
b r e i t e s F r e q u e n z b a n d | b r e i t e s F r e q u e n z b a n d | ||
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bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer | bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer | ||
<math>\varepsilon </math> | :<math>\varepsilon </math> | ||
- Röhre um | - Röhre um | ||
<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math> | :<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math> | ||
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Für DASSELBE t gilt: | Für DASSELBE t gilt: | ||
<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\to 0</math> | :<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\to 0</math> | ||
für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen) | für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen) | ||
Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve | Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve | ||
<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math> | :<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math> | ||
: | : | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{}}\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t)\delta {{x}_{k}} \\ | & \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{}}\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t)\delta {{x}_{k}} \\ | ||
& \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t):={{A}_{ik}}(t) \\ | & \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t):={{A}_{ik}}(t) \\ | ||
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<math>{{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)</math> | :<math>{{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)</math> | ||
Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren | Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren | ||
<math>{{\bar{\xi }}^{(k)}}(t)</math> | :<math>{{\bar{\xi }}^{(k)}}(t)</math> | ||
Line 103: | Line 103: | ||
<math>\delta \bar{x}(t)={{e}^{\int_{0}^{t}{dt\acute{\ }A(t\acute{\ })}}}\delta \bar{x}(0)</math> | :<math>\delta \bar{x}(t)={{e}^{\int_{0}^{t}{dt\acute{\ }A(t\acute{\ })}}}\delta \bar{x}(0)</math> | ||
Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um | Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um | ||
<math>{{\bar{x}}_{0}}</math> | :<math>{{\bar{x}}_{0}}</math> | ||
, also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen | , also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen | ||
<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math> | :<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math> | ||
<u>'''Definition: '''</u>Stabilität ist bestimmt durch die <u>'''Ljapunov-Exponenten '''</u> | <u>'''Definition: '''</u>Stabilität ist bestimmt durch die <u>'''Ljapunov-Exponenten '''</u> | ||
<math>{{\bar{\lambda }}_{k}}:=\begin{matrix} | :<math>{{\bar{\lambda }}_{k}}:=\begin{matrix} | ||
\lim \\ | \lim \\ | ||
t\to \infty \\ | t\to \infty \\ | ||
Line 120: | Line 120: | ||
Nebenbemerkung: Sei | Nebenbemerkung: Sei | ||
<math>\lambda </math> | :<math>\lambda </math> | ||
der führende ( größte) Ljapunov- Exponent | der führende ( größte) Ljapunov- Exponent | ||
<math>\lambda :=\begin{matrix} | :<math>\lambda :=\begin{matrix} | ||
\lim \ \sup \\ | \lim \ \sup \\ | ||
t\to \infty \\ | t\to \infty \\ | ||
\end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \left| \bar{x}(t)-\bar{y}(t) \right|</math> | \end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \left| \bar{x}(t)-\bar{y}(t) \right|</math> | ||
<math>\Rightarrow </math> | :<math>\Rightarrow </math> | ||
<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\tilde{\ }{{e}^{\lambda t}}</math> | :<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\tilde{\ }{{e}^{\lambda t}}</math> | ||
Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit | Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit | ||
<math>{{e}^{\lambda t}}</math> | :<math>{{e}^{\lambda t}}</math> | ||
. | . | ||
Für | Für | ||
<math>\lambda </math> | :<math>\lambda </math> | ||
<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft | <0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft | ||
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>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos) | >0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos) | ||
Für den chaotischen Attraktor im | Für den chaotischen Attraktor im | ||
<math>{{R}^{3}}</math> | :<math>{{R}^{3}}</math> | ||
gilt: | gilt: | ||
Auf dem Attraktor: | Auf dem Attraktor: | ||
<math>{{\bar{\lambda }}_{1}}>0</math> | :<math>{{\bar{\lambda }}_{1}}>0</math> | ||
auf dem Attraktor: chaotische Bewegung | auf dem Attraktor: chaotische Bewegung | ||
<math>{{\bar{\lambda }}_{2}}=0</math> | :<math>{{\bar{\lambda }}_{2}}=0</math> | ||
: Bifurkationspunkte | : Bifurkationspunkte | ||
<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math> | :<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math> | ||
: Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell). | : Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell). | ||
<u>'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''</u> | <u>'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''</u> |
Revision as of 17:25, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Deterministisches Chaos basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=7|Abschnitt=4}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit
( autonom):
Seltsamer ( chaotischer) Attraktor
komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.
Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:
quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen
wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-
niedrigdimensionaler Phasenraum grade. ( Statistisches Ensemble)
Attraktor: Torus
d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
periodisch in
für
für
diskrete Frequenzen
b r e i t e s F r e q u e n z b a n d
Instabilität der Bewegung bei kleinen
Störungen der Anfangsbedingungen
typische universelle
Bifurkationszenarien
Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.
Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:
Bahnstabilität / Orbitale Stabilität
bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer
- Röhre um
Aymptotisch bahnstabil:
Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t-> unendlich
Ljapunov- stabil
Für DASSELBE t gilt:
für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)
Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve
Dabei:
Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren
Formale Lösung:
Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um
, also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten
Nebenbemerkung: Sei
der führende ( größte) Ljapunov- Exponent
Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit
.
Für
<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft
>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)
Für den chaotischen Attraktor im
gilt:
Auf dem Attraktor:
auf dem Attraktor: chaotische Bewegung
Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: