Symplektische Struktur des Phasenraums

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Symplektische Struktur des Phasenraums basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

$\overline{x}:=\left(\begin{array}{c}q\\ p\\ \end{array}\right)$

ist Vektor im Phasenraum

${H_{,}}_x:=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial q}\\ \frac{\partial H}{\partial p}\\ \end{array}\right)$

ist Ableitungsvektor

$J:=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right)$

ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

$\dot{\overline{x}}:=J{H}_{,x}\iff -J\dot{\overline{x}}=H_{,x}\iff \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$

Leicht läßt sich zeigen:

$\begin{array}{rl}& J^2=-1\\ & J^{-1}=J^T=-J\\ \end{array}$

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

$\begin{array}{rl}& \overline{x}:=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ ...\\ q_f\\ p_1\\ ...\\ p_f\\ \end{array}\right)\\ & {\overline{H}}_x:=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial q_1}\\ ...\\ \frac{\partial H}{\partial q_f}\\ \frac{\partial H}{\partial p_1}\\ ...\\ \frac{\partial H}{\partial p_f}\\ \end{array}\right)J:=\left(\begin{array}{cc}0& 1_f\\ -1_f& 0\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Die kanonischen Gleichungen lauten

$\dot{\overline{x}}:=J{H}_x\iff -J\dot{\overline{x}}=H_x$

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

$\dot{\overline{x}}:=A\overline{x}=J{H}_x$

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

$H=\frac{1}{2}(a{q}^2+2bqp+c{p}^2)z.\mathbf{B}.a={{\omega }_0}^2,b=0,c=1$

$\Rightarrow \dot{\overline{x}}:=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial q}\\ \frac{\partial H}{\partial p}\\ \end{array}\right)=\begin{array}{c}bq+cp\\ -aq-bp\\ \end{array}$

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

$\begin{array}{rl}& A=\left(\begin{array}{cc}b& c\\ -a& -b\\ \end{array}\right)\\ & tr\left(A\right)=0\\ \end{array}$

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

$\begin{array}{rl}& M_1(\overline{q},\overline{Q},t):\\ & \Rightarrow p_j=\frac{\partial M_1}{\partial q_j}\\ & P_j=-\frac{\partial M_1}{\partial Q_j}\\ & \Rightarrow \frac{\partial p_j}{\partial Q_k}=\frac{{\partial }^2{M}_1}{\partial Q_k\partial q_j}=-\frac{\partial P_k}{\partial q_j}\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& M_2(\overline{q},\overline{P},t)=M_1(\overline{q},\overline{Q},t)-\sum _{j=1}^f\frac{\partial M_1}{\partial Q_j}{Q}_j\\ & \Rightarrow p_j=\frac{\partial M_2}{\partial q_j}\\ & Q_j=\frac{\partial M_2}{\partial P_j}\\ & \Rightarrow \frac{\partial p_j}{\partial P_k}=\frac{{\partial }^2{M}_2}{\partial P_k\partial q_j}=\frac{\partial Q_k}{\partial q_j}\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& M_3(\overline{p},\overline{Q},t)=M_1(\overline{q},\overline{Q},t)-\sum _{j=1}^f\frac{\partial M_1}{\partial q_j}{q}_j\\ & \Rightarrow q_j=\frac{\partial M_3}{\partial p_j}\\ & P_j=-\frac{\partial M_3}{\partial Q_j}\\ & \Rightarrow \frac{\partial q_j}{\partial Q_k}=-\frac{{\partial }^2{M}_3}{\partial Q_k\partial p_j}=\frac{\partial P_k}{\partial p_j}\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& M_4(\overline{p},\overline{P},t)=M_1(\overline{q},\overline{Q},t)-\sum _{j=1}^f(\frac{\partial M_1}{\partial Q_j}{Q}_j+\frac{\partial M_1}{\partial q_j}{q}_j)\\ & \Rightarrow q_j=-\frac{\partial M_4}{\partial p_j}\\ & Q_j=\frac{\partial M_1}{\partial P_j}=q_j\\ & \Rightarrow \frac{\partial q_j}{\partial P_k}=\frac{{\partial }^2{M}_1}{\partial P_k\partial p_j}=-\frac{\partial Q_k}{\partial p_j}\\ \end{array}$

Dabei sind:

$\overline{x}:=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ ...\\ q_f\\ p_1\\ ...\\ p_f\\ \end{array}\right)\overline{y}:=\left(\begin{array}{c}{Q}_1\\ ...\\ Q_f\\ P_1\\ ...\\ P_f\\ \end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}& M_{\alpha \beta }=\frac{\partial x_{\alpha }}{\partial y_{\beta }}\\ & {\left(M^{-1}\right)}_{\alpha \beta }:=\frac{\partial y_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}\alpha ,\beta =1,...,2f\\ \end{array}$

Beweis:

$\sum _{\gamma =1}^{2f}{M}_{\alpha \gamma }{\left(M^{-1}\right)}_{\gamma \beta }=\sum _{\gamma =1}^{2f}\frac{\partial x_{\alpha }}{\partial y_{\gamma }}\frac{\partial y_{\gamma }}{\partial x_{\beta }}=\frac{\partial x_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}={\delta }_{\alpha \beta }$

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

$M_{\alpha \beta }=\sum _{\mu ,\nu =1}^{2f}{J}_{\alpha \mu }{J}_{\beta \nu }{\left(M^{-1}\right)}_{\mu \nu }$

You’re a real deep thikenr. Thanks for sharing.

Definition:

Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit

$M^{T}JM=J$

bildet die reelle symplektische Gruppe S über

$R^{2f}$.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Furrealz? That's marvelosluy good to know.